2024年考研最优化方法冲刺考卷

2024年考研最优化方法冲刺考卷2024年考研最优化方法冲刺考卷

姓名：______班级：______学号：______得分：______

（考试时间：90分钟，满分：100分）

1.选择题（共5题，每题2分，计10分）

2.填空题（共5题，每题2分，计10分）

3.计算题（共3题，每题10分，计30分）

4.证明题（共2题，每题10分，计20分）

5.应用题（共5题，每题4分，计20分）

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**1.选择题（共5题，每题2分，计10分）**

1.1设函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且f(x,y)在(x0,y0)处可微，则必有（）

A.∇f(x0,y0)=0

B.∇f(x0,y0)≠0

C.f(x0,y0)存在二阶偏导数

D.f(x0,y0)连续

1.2下列说法正确的是（）

A.函数的极大值一定大于极小值

B.若函数在闭区域上连续，则必有最值

C.梯度方向是函数值下降最快的方向

D.条件极值一定优于无条件极值

1.3在以下方法中，适用于求解无约束优化问题的是（）

A.拉格朗日乘数法

B.最速下降法

C.可行方向法

D.对偶单纯形法

1.4若函数f(x,y)在区域D上满足fxx≥0且fxy=0，则f(x,y)在D上（）

A.必有极值

B.必无极值

C.可能存在极值

D.无法判断

1.5下列说法错误的是（）

A.罚函数法适用于求解约束优化问题

B.共轭梯度法适用于求解大规模优化问题

C.遗传算法属于启发式算法

D.线性规划问题的解一定唯一

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**2.填空题（共5题，每题2分，计10分）**

2.1函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,1)处的梯度为______。

2.2若函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得无条件极值，且fxx(x0,y0)存在，则当fxx(x0,y0)>0时，f(x,y)在(x0,y0)处取得______极值。

2.3求解约束优化问题minf(x,y)subjecttog(x,y)=0时，拉格朗日函数为______。

2.4最速下降法的迭代公式为______。

2.5设线性规划问题为maxc^TxsubjecttoAx≤b,x≥0，则其对偶问题为______。

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**3.计算题（共3题，每题10分，计30分）**

3.1求函数f(x,y)=x^3+y^3-3xy的极值点。

3.2用拉格朗日乘数法求解函数f(x,y)=x+y在约束x^2+y^2=1下的条件极值。

3.3用单纯形法求解线性规划问题：

maxz=3x1+2x2

subjecttox1+x2≤4

2x1+x2≤6

x1,x2≥0

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**4.证明题（共2题，每题10分，计20分）**

4.1证明：若函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得无条件极值，且f(x,y)在(x0,y0)处二阶连续可偏导，则(x0,y0)必满足Hessian矩阵Δ=

|fxxfxy|

|fyxfyy|

的行列式Δ>0且fxx(x0,y0)与Δ同号。

4.2证明：线性规划问题的对偶定理，即若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且最优值相等。

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**5.应用题（共5题，每题4分，计20分）**

5.1某工厂生产两种产品A和B，利润分别为每件10元和8元，生产每件产品A需消耗原料3kg，生产每件产品B需消耗原料2kg，工厂每周原料供应量为100kg，问如何安排生产使利润最大？

5.2用最速下降法求解f(x,y)=x^2+y^2从点(2,2)开始迭代两次的近似值（取步长为0.1）。

5.3设函数f(x,y)=x^2+2y^2在区域D=x^2+y^2≤1上，用KKT条件判断点(0,1)是否为最优解。

5.4若函数f(x,y)=x^2y在区域D=x+y≤2,x≥0,y≥0上，写出其罚函数法形式。

5.5解释为什么梯度下降法在求解非凸问题时可能陷入局部最优解。

6.判断题（共5题，每题2分，计10分）

6.1若函数在一点可微，则该点必为极值点。

6.2最速下降法总是能找到最优解。

6.3约束优化问题的最优解一定在可行域的边界上。

6.4遗传算法可以保证找到全局最优解。

6.5线性规划问题的单纯形法每次迭代都会使目标函数值改善。

7.简答题（共3题，每题10分，计30分）

7.1简述牛顿法的迭代公式及其优缺点。

7.2解释什么是KKT条件及其在约束优化中的作用。

7.3比较解析法和数值法求解最优解的优缺点。

8.综合题（共2题，每题15分，计30分）

8.1某公司生产两种产品，成本分别为每件50元和40元，售价分别为每件80元和70元，市场需求量受价格影响，分别为Q1=60-0.5P1，Q2=80-0.4P2，其中P1,P2为两种产品的价格，公司希望最小化成本，同时保证两种产品都不亏损，建立并求解该问题的数学模型。

8.2设函数f(x,y)=x^4-4x^2+y^2-4y+3，用多极值点判别法分析该函数的极值点。

9.案例分析题（共1题，20分）

9.1某物流公司需要规划一条从仓库A到目的地B的运输路线，中间经过三个中转站C、D、E，各段路线的运输成本如下表所示：

||A→C|A→D|C→D|C→E|D→E|D→B|E→B|

|---|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|

|成本|2|3|1|4|2|5|3|

公司希望找到总成本最低的运输方案，请建立该问题的线性规划模型，并用单纯形法求解。

10.算法设计题（共1题，10分）

10.1设计一个简单的遗传算法框架，用于求解函数f(x)=x^2在区间[-5,5]上的最小值，要求说明选择、交叉、变异操作的具体实现方式。

11.参数估计题（共1题，10分）

11.1已知一组实验数据(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，假设y与x满足关系y=ax+bx^2+e，其中e为误差项，请写出最小二乘法估计a和b的公式。

12.敏感性分析题（共1题，10分）

12.1对于线性规划问题maxz=3x1+2x2subjecttox1+x2≤4,2x1+x2≤6,x1,x2≥0，当约束条件2x1+x2≤6变为2x1+x2≤7时，最优解会发生什么变化？

13.最优控制题（共1题，10分）

13.1设系统状态方程为x'(t)=x(t)-2y(t)，输出方程为z(t)=x(t)+y(t)，初始状态x(0)=1,y(0)=0，求使性能指标J=∫(0,1)(x^2(t)+y^2(t))dt最小化的最优控制u(t)。

14.最小二乘法应用题（共1题，10分）

14.1收集一组关于温度T（单位：℃）和电阻R（单位：Ω）的数据，假设R与T满足线性关系R=a+bT，用最小二乘法拟合这组数据，并预测当T=25℃时R的值。

15.约束优化题（共1题，10分）

15.1求函数f(x,y)=x^2+y^2在约束x+y=1下的最小值，可以用拉格朗日乘数法或其它方法求解。

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**6.判断题（共5题，每题2分，计10分）**

6.1×6.2×6.3√6.4×6.5×

**7.简答题（共3题，每题10分，计30分）**

7.1牛顿法的迭代公式为xk+1=xk-H(f(xk))^(-1)∇f(xk)，其中H(f(xk))为Hessian矩阵。优点是收敛速度快，缺点是可能陷入局部最优解或发散，且需要计算Hessian矩阵及其逆矩阵。

7.2KKT条件是约束优化问题中最优解必须满足的一组必要条件，包括primalfeasibility（原始可行性）、dualfeasibility（对偶可行性）、complementaryslackness（互补松弛性）和stationarity（平稳性）。在约束优化中，KKT条件用于判断一个点是否为最优解。

7.3解析法通过建立数学模型并求解得到最优解，优点是精确，缺点是可能无法建立数学模型或模型求解困难。数值法通过迭代算法逐步逼近最优解，优点是通用性强，缺点是可能陷入局部最优解且收敛速度不确定。

**8.综合题（共2题，每题15分，计30分）**

8.1建立数学模型如下：

maxz=3x1+2x2

subjecttox1+x2≤4

2x1+x2≤6

x1,x2≥0

用单纯形法求解：

初始表：

||z|x1|x2|s1|s2|

|---|---|----|----|----|----|

||1|-3|-2|0|0|

|s1|0|1|1|1|0|

|s2|0|2|1|0|1|

迭代1：

||z|x1|x2|s1|s2|

|---|---|----|----|----|----|

||1|0|-1|3|0|

|s1|0|1|1|1|0|

|x1|0|2|1|0|1|

迭代2：

||z|x1|x2|s1|s2|

|---|---|----|----|----|----|

||1|0|0|2|1|

|x2|0|1|1|1|0|

|x1|0|-1|0|-1|1|

最优解为x1=0,x2=4,z=8。

8.2多极值点判别法分析：

fxx=12x^2-8,fyy=2,fxy=0

在点(0,0)：fxx=-8<0,不是极值点

在点(1,-2)：fxx=16>0,fyy=2>0,Δ=32>0,是极小值点

在点(-1,2)：fxx=16>0,fyy=2>0,Δ=32>0,是极小值点

**9.案例分析题（共1题，20分）**

建立线性规划模型：

minz=2x1+3x2+x3+4x4+2x5+5x6+3x7

subjecttox1+x2+x3+x4=1

x1+x2+x5+x6=1

x3+x4+x7=1

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0

用单纯形法求解：

（此处省略单纯形表计算过程）

最优解为x1=0,x2=0,x3=0,x4=0,x5=1,x6=0,x7=0,z=7。

**10.算法设计题（共1题，10分）**

选择：轮盘赌选择，概率与适应度成正比

交叉：单点交叉，随机选择交叉点

变异：随机变异，概率为0.01

框架：初始化种群，计算适应度，选择，交叉，变异，判断终止条件，输出最优解

**11.参数估计题（共1题，10分）**

最小二乘法估计公式：

a=(ΣxiyiΣxi^2-ΣxiΣxiyi)/(nΣxi^2-Σxi^2)

b=(nΣxiyi-ΣxiΣyi)/(nΣxi^2-Σxi^2)

**12.敏感性分析题（共1题，10分）**

当约束条件变为2x1+x2≤7时，最优解为x1=0,x2=7,z=14，最优解发生改变。

**13.最优控制题（共1题，10分）**

最优控制u(t)=0，最优解为x(t)=cos(2t),y(t)=sin(2t)。

**14.最小二乘法应用题（共1题，10分）**

假设数据为(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，最小二乘法拟合得到a和b如11题所示，预测R=80.5Ω。

**15.约束优化题（共1题，10分）**

用拉格朗日乘数法：

L(x,y,λ)=x^2+y^2+λ(x+y-1)

解得x=y=1/2,λ=-1，最小值为1/2。

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**知识点分类和总结**

1.**无约束优化**

-梯度法：最速下降法、牛顿法、共轭梯度法

-极值点判别：一阶条件、二阶条件、Hessian矩阵

-多极值点判别：Hessian矩阵的符号

2.**约束优化**

-拉格朗日乘数法：建立拉格朗日函数，求解KKT条件

-罚函数法：将约束优化转化为无约束优化

-可行方向法：在可行方向上寻找最优解

-单纯形法：求解线性规划问题

3.**线性规划**

-对偶理论：原问题与对偶问题的关系

-单纯形法：表迭代过程、最优解判别

-敏感性分析：约束条件变化对最优解的影响

4.**数值方法**

-遗传算法：选择、交叉、变异操作

-最小二乘法：参数估计、数据拟合

5.**应用**

-最优控制：状态方程、输出方程、性能指标

-案例分析：实际问题的建模与求解

**各题型所考察学生的知识点详解及示例**

1.**选择题**

-考察基础概念和定理，如极值点的必要条件、梯度方向等。

-示例：判断函数在一点可微是否必为极值点，考察对可微性与极值关系的理解。

2.**填空题**

-考察基本公式和符号，如梯度、Hessian矩阵、拉格朗日函数等。

-示例：写出拉格朗日函数，考察对约束优化基本公式的记忆。

3.**计算题**

-考察具体算法的求解过程，如极值点求解、拉格朗日乘数法、单纯形法等。

-示例：用拉格朗日乘数法求解条件极值，考察对算法步骤的掌握。

4.**证明题**

-考察定理的证