2024年教师资格之中学数学学科知识与教学能力能力提升试卷（附答案）

2024年教师资格之中学数学学科知识与教学能力能力提升试卷（附答案）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设函数\(f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}\)（\(x\neq0\)），\(f(0)=1\)，则\(f(x)\)在\(x=0\)处的二阶导数\(f''(0)\)为（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)2.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&t\\3&6&9\end{pmatrix}\)，若\(A\)的秩为2，则\(t\)的值为（）A.5B.6C.7D.83.若椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左焦点为\(F\)，过\(F\)且斜率为\(\sqrt{3}\)的直线交椭圆于\(A\)、\(B\)两点，若\(|AF|=2|FB|\)，则椭圆的离心率为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)4.下列关于“数学核心素养”的表述中，不符合《义务教育数学课程标准（2022年版）》的是（）A.数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养B.逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的素养C.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养D.数据分析仅指对数据的收集、整理和描述，不涉及对数据的分析和推断5.某教师在“函数单调性”教学中，先让学生观察\(y=x^2\)的图像，提出“图像上升或下降的规律如何用数学符号描述”，这一问题设计的主要目的是（）A.巩固已学的函数图像知识B.引导学生从直观感知向符号化表达过渡C.培养学生的计算能力D.训练学生的作图技能二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）6.简述“向量的数量级”概念教学中，如何通过具体实例帮助学生理解其几何意义与代数意义的联系。7.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，求其前\(n\)项和\(S_n\)。8.分析“解一元二次不等式\(ax^2+bx+c>0\)（\(a\neq0\)）”时，学生常见的错误及成因。9.列举三种培养学生数学运算素养的教学策略，并简要说明其依据。三、案例分析题（本大题1小题，共20分）10.以下是某教师在“直线与平面垂直的判定”教学中的片段：教师：同学们，我们已经知道直线与平面垂直的定义是“直线与平面内的所有直线都垂直”，但用定义判定是否垂直需要验证无数条直线，操作起来很麻烦。那有没有更简便的方法？学生1：可能只需要和平面内的两条直线垂直？教师：好，假设直线\(l\)垂直于平面\(\alpha\)内的两条直线\(a\)和\(b\)，能否推出\(l\perp\alpha\)？学生2：如果\(a\)和\(b\)平行，那\(l\)可能只垂直于一个方向，不能保证垂直平面。教师：对！所以这两条直线需要满足什么条件？学生3：相交！教师：对，若直线\(l\)垂直于平面\(\alpha\)内的两条相交直线，则\(l\perp\alpha\)。这就是直线与平面垂直的判定定理。问题：（1）分析该教学片段中教师如何引导学生探究判定定理；（2）指出该片段在培养学生核心素养方面的作用。四、教学设计题（本大题1小题，共35分）11.请以“等差数列的前\(n\)项和”为课题，设计一份完整的教学设计，要求包括：教学目标、教学重难点、教学过程（含导入、新授、巩固练习、小结与作业），并说明设计意图。参考答案及解析一、单项选择题1.A解析：利用泰勒展开\(\ln(1+x)=x\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\cdots\)，则\(f(x)=1\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}\cdots\)，二阶导数\(f''(x)\)在\(x=0\)处为\(\frac{1}{3}\)。2.B解析：矩阵的前两行成比例（第二行是第一行的2倍），第三行是第一行的3倍，故当\(t=6\)时，第三列也满足比例关系，秩为2。3.C解析：设直线方程为\(y=\sqrt{3}(x+c)\)（\(c\)为焦距），代入椭圆方程，利用向量关系\(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}\)，结合韦达定理可得离心率\(e=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。4.D解析：数据分析素养包括数据的收集、整理、描述、分析和推断，D项表述不完整。5.B解析：问题引导学生从图像直观（上升/下降）转向数学符号（自变量与函数值的关系），体现直观到抽象的过渡。二、简答题6.实例1：物理中“力做的功”——力\(\vec{F}\)与位移\(\vec{s}\)的夹角为\(\theta\)，功\(W=|\vec{F}||\vec{s}|\cos\theta\)，对应数量积的几何意义（投影与模长的乘积）。实例2：坐标计算——若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)，体现代数意义。通过对比两个实例，说明几何定义（\(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)）与代数公式（坐标运算）的一致性，帮助学生理解两者联系。7.由递推式\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，知\(\{a_n+1\}\)是首项为2、公比为2的等比数列，故\(a_n=2^n1\)。前\(n\)项和\(S_n=(2^1+2^2+\cdots+2^n)n=2^{n+1}2n\)。8.常见错误：（1）忽略二次项系数\(a\)的符号，直接解不等式；（2）解集书写时混淆“或”与“且”（如将\(x<1\)或\(x>3\)写成\(1<x<3\)）；（3）忘记讨论判别式\(\Delta\)的情况（如\(\Delta<0\)时不等式恒成立或无解）。成因：对二次函数图像与不等式的关系理解不深刻，符号意识薄弱；逻辑表达不严谨，未掌握分类讨论的方法。9.策略1：设计分层计算任务（如从简单有理数运算到复杂代数式化简），依据“最近发展区”理论，逐步提升运算难度；策略2：要求学生写出运算步骤并说明依据（如合并同类项时标注“乘法分配律”），培养运算的合理性；策略3：利用错题本分析运算错误（如符号错误、公式记错），通过反思提升准确性，依据元认知理论。三、案例分析题（1）教师通过问题链引导探究：首先由定义的局限性引发认知冲突（“用定义判定麻烦”），激发探究需求；接着通过学生猜想（“和两条直线垂直”），引导辨析特殊情况（“平行直线不满足”），逐步修正猜想，最终得出“两条相交直线”的关键条件，体现“观察—猜想—验证—修正”的探究过程。（2）核心素养培养：①逻辑推理——通过对特殊情况的辨析（平行直线不充分），培养学生严谨的推理能力；②直观想象——结合平面内直线的位置关系（相交/平行），发展空间想象能力；③数学抽象——从具体直线的位置关系抽象出判定定理的条件，提升抽象概括能力。四、教学设计题教学目标知识与技能：掌握等差数列前\(n\)项和公式，能运用公式解决简单问题。过程与方法：通过“倒序相加法”的探究，体会转化与化归思想，发展数学运算素养。情感态度与价值观：感受数学与生活的联系（如求台阶总数），激发学习兴趣。教学重难点重点：等差数列前\(n\)项和公式的推导与应用；难点：“倒序相加法”的探究过程及公式的灵活运用。教学过程1.导入（5分钟）问题：学校台阶共10级，第一级高10cm，第二级高12cm，…，第十级高28cm，求所有台阶的总高度。学生计算：10+12+14+…+28。教师提问：直接相加是否简便？是否有规律？设计意图：从生活实例引入，激发兴趣，明确学习需求。2.新授（20分钟）（1）探究公式：①引导学生观察数列特点（等差数列，首项\(a_1=10\)，公差\(d=2\)，项数\(n=10\)）。②提问：若将数列倒序排列（28+26+…+10），与原数列相加，每对和有何规律？学生计算：（10+28）+（12+26）+…+（28+10）=10×38=380，故原和为380÷2=190。③推广到一般：设等差数列\(\{a_n\}\)前\(n\)项和为\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)，倒序得\(S_n=a_n+a_{n1}+\cdots+a_1\)，相加得\(2S_n=n(a_1+a_n)\)，故\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。结合\(a_n=a_1+(n1)d\)，得另一形式\(S_n=na_1+\frac{n(n1)}{2}d\)。（2）公式理解：提问：公式中\(a_1\)、\(a_n\)、\(n\)、\(d\)分别代表什么？两个公式的适用场景？（已知首项和末项用第一个，已知首项和公差用第二个）设计意图：通过具体实例推导一般公式，渗透“特殊到一般”的思想，理解“倒序相加”的本质是配对求和。3.巩固练习（10分钟）（1）基础题：已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(a_{10}=21\)，求\(S_{10}\)；（2）变式题：已知\(S_5=35\)，\(d=2\)，求\(a_1\)；（3）应用题：剧场第一排有20个座位，后一排