湖南省岳阳市岳阳县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025年121.设i-(1,-2.4)，若i，则 A.B.C.2.已知直线lax+y-A B.，则C.1D.-l或已知空间向量a=(1,-2,1),5=(-1,0,-1)，则向量i在向量i上的投影向量是 B. C. D.已知圆ci：x2+y-2x+my+l=0(meR)关于直线x+2y+1=I对称圆c:,则圆ci与圆c:的位置关系是( A.内 B.相 C.外 D.外已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于，B两点，若AB的中点坐标为(1,-1)，则E的方程为( B.C. D.如图所示，三棱柱ABC-ABG中，若E、F分别为AB，AC靠近点的三等分点，平面EBGF将三棱柱分成左右两部分体积为和V:，那么( 第1页/5PAGE2页/5A. B. C. D. 两个焦点分别为F,凡，若曲线 上存在点p满足=4:3:2，则曲线或 B.或 C.或 D.或已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，是椭圆上第—象限的—点，的重心和内心分别为M，N，且轴.又点Q(m,n)是该椭圆上任—点，则的最大值为( A. B. C. D.二、多选题（5分，共15分已知随机事件、发 概率分别为，，则下列说法正确的是 若与互斥，则若与相互独立，则若，则事件i与B相互独若，则已知抛物线c:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l:x=-1，d，B为抛物线上两点，M(2,1)为线段AB的中点，为坐标原点，则下列结论正确的有( p=OA上若点P为抛物线上—点，则Lpf周长的最小值为已知椭圆C:，F,凡是其左右焦点，P(X,Y)是椭圆C上任意—点，则下列说法正确的是( 的最大值是的最大值是 取最小值时，点的坐标若p(x,y)也在抛物线y=2pxlp>0)上，则到点的最小距离为三、填空题（15分椭圆的焦距 已知点，r.为椭 左、右焦点，点P为该椭圆上—点，且满,若SPFE的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，则该椭圆的离心率为 在平面上给定相异两点A，B，设P点在同—平面上且满足，当且时，P点的轨迹（a>(lb>0），A，BC，DP,ara8面积的最大值 ，srco面积的最小值为4，则双曲线的离心率 四、解答题（80分如图，在空间四边形0ABC中，D为BC的中点，点E满足，设， i.PAGEPAGE5页/5试用向量，i，i表示向量若0A=0B=0C=2，LAOC=LBOC=LAO=('，求的值已知椭圆C的方程为（）上顶点为A(0,2)，离心率为C若斜率为2的直线l经过椭圆CCM，NMN的长已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为A,B，为椭圆C上异于A,B设直线AP,B!的斜率分别为，且直线r过定点①设和的面积分别为5,5,，求的最大值②证明为定值，并求出该定值甲、乙两人组成“监利—中队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜—个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“监利—中队”在两轮活动中猜对3若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”“监利—中队的甲、乙两已知的两个顶点Ff-5,0)，r:5,0)，点G为的重心，边2F,2r:上的两条中线的长度之和为6，记点G的轨迹为曲线E．E若点P是曲线E上的任意—点，A(-2,0)，B(2,0)，，，直线PC，PD与轴分别交于点①求的最大值②判 是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，求出它的最大值2025年121.设i=(1,-b=(2,k,8)，，则k=A.B.C.【分析】根据空间向量平行的性质进行求解即可【详解】因为，所以-s 2.已知直线l:a+y-l=0，，则a= A. B. C.1或 D.-l或a【详解】由题意可知直线l:ax+y-故ax(-a)-(a-2)xl=0且axl-(a-2)x(-1)⃞0解得a=-2，3.已知空间向量a=(l,-2,1b=(-1,0,-1)，则向量i在向量i是 A. B. 所以向量在向量上的投影向量是 1页/20PAGEPAGE5页/20已知圆ci：x'+y-2x+my+l=0(meR)关于直线x+2y+1=I对称，圆,则圆ci与圆c:的位置关系是( A.内 B.相 C.外 D.外【分析】先根据对称求出值，然后求出圆心距，进而得出两圆位置关系【详解】因为圆c:+y2-2x+my+l=0，即关于直线，说明该直线过圆心，则有，解得=2，所以圆ci的圆心坐标为c(l,-1)，半径为圆c的圆心坐标为c(2,3)，半径为4，而已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于，B两点，若的中点坐标为(1,-1)，则E的方程为( B.C. D.a,b 两式作差可得：(*)又AB的中点坐标为M(l,-1)，所以，，由(*)式可得，又直线AB的斜率即直线FM的斜率，所以，而联立解得，b'=9，故椭圆的方程为：如图所示，三棱柱ABC-ABC中，若E、F分别为AB，AC靠近点的三等分点，平面EBGF将三棱柱分成左右两部分体积为和V:，那么( A. B.14: C. D.【分析】利用棱台体积公式求解体积即可得到体积比【详解】设三棱柱的高为h，底面的面积为，体积为v，则，因为、F分别为AB，AC靠近点S的三等分点，所以，则，所以所以 设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点p满足=4:3:2，则曲线或 B.或 C.或 D.或【分析】设，讨论两种情况，分别利用椭圆与双曲线的定义求出a,c的值，所以可设，若曲线为椭圆则，则若曲线为双曲线则，，:，故选【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率以及双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥a,c，从而求出;②构造a,c的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;已知椭圆C：的左、右焦点分别为r.，，p是椭圆上第—象限的—点，的重心和内心分别为M，N，且MN上X轴.又点Q(m,n)是该椭圆上任—点，则的最大值为( A B. C. D.apFE的内切圆N(St)与PF,PF,FE分别切于点A,B,D，,结合椭圆的的定义可得，进而求得，结合已知可得,可求得，进而求得椭圆的方程，利用三角代换可求得的最大值.【详解】设的内切圆N(S,t)与PF,PF,FE分别切于点A,B,D，如图所示则又因为，联立，可得，,因为的重心是三边中线的交点，所以在上由重心性质可得，因为MN上X，所以，解得，所以，所以椭圆的方程为，因为Q(m,n)在椭圆上，所以 当sin(8+p)=1，取最大值，最大值为，进而求得二、多选题（5分，共15分9.已知随机事件、发生的概率分别，则下列说法正确的是 A.若与互斥，则B.若与相互独立，C.若，则事件i与B相互独D.8ca，则【答案】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断AB选项；利用独立事件的概念可判断CD选项【详解】对于A选项，若与互斥，则，A对；对于B选项，若与相互独立，则，所以，，B对对于C选项，若，且所以，事件与相互独立，C对对于D选项，若8C1，则AB=A「B=B，所以，，D错.已知抛物线c:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l:x=-1，A，B为抛物线上两点，M(2,1)为线段AB的中点，为坐标原点，则下列结论正确的有( 6页/20PAGEPAGE8页/20p=kyOA上若点为抛物线上—点，则周长的最小值为【答案】A，B的坐标，结合中点坐标公式及抛物线的定【详解】对于A，因为抛物线的准线方程为r--I，即，解得P=2，故A正确对于B，所以抛物线C:Y2=4X，所以焦点为F(1,0)，设，因为M(2,1)为线段AB的中点，所 ， ，故B正确所以，故C错误对于D，如图，过点P,M分别作准线的垂线，垂足分别为由F,M的坐标可知所以的周长为当且仅当P为与抛物线的交点时，等号成立，所以周长的最小值为，D正确.已知椭圆C:，是其左右焦点，P(X,Y)是椭圆C上任意—点，则下列说法正确的是( 的最大值是的最大值是 取最小值时，点的坐标若p(x,)也在抛物线y=2pxlp>0)上，则p(x,到点的最小距离为【答案】【分析】根据椭圆及抛物线的定义，再结合基本不等式及柯西不等式可得【详解】 ，得a'=4,h'=$,c'=1，即.如图PAGE9页/20对于A：由椭圆的定义 ，当且仅当时等成立，所以A对于B：因为丽=(-1-x,-y),网=(1-x,-y)，所以又因为，所以，又因为xe[-2,2],x2≤4，所以，当且仅当时等号成立.所以B错误；对于C：由，所以，即 ，即代入，解得 所以当时，有最小值，故C正确；对于D：因为PIX,y)点在抛物线y=2pxl(p>0)上，抛物线的焦点为根据抛物线的定义，P(x,y)到点的距离等于P点到准线的距离因为，所以，得所以p(x,y)到点的距离当且仅当，即（负值舍去）时等号成立.故D正确三、填空题（15分椭圆的焦距 第PAGE第11页/20【分析】由椭圆方程确定长半轴的平方a3，短半轴的平方，根据椭圆中a、b、的关系求出半焦距的平方c'，从而得到半焦距，由椭圆的焦距为2c计算焦距.【详解】由椭圆方程可知，椭圆的焦点在y轴上因为25>9 其中长半轴的平方a'=25，短半轴的平方b'=9.根据椭圆中a、b、的关系，计算得：，故c=4(c>0).椭圆的焦距为2c，因此焦距为2x4=8.故答案为 已知点，r.为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上—点，且满,若SPFE的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，则该椭圆的离心率为 【答案】【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半,由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率利用椭圆定义可知，且F月=2c；又LF,PF:=60"，利用余弦定理可知：,化简可 所以的面积为设SPFB的外接圆半径为R，内切圆半径为r由正弦定理可得，可易知SPFR的周长为利用等面积法可知，解又的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，即 离心率故答案为：在平面上给定相异两点A，B，设P点在同—平面上且满足，当ra且…时，P点的轨迹(,b>0），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足,达PAB面积的最大值为，APCD面积的最小值为4，则双曲线的离心率为 【分析】根据A,B为双曲线的左、右顶点可设A=(-a,0)B(a,0)P(X,)由两点间距离公式并化简可得动点P的轨迹方程.由A,B为双曲线的左、右顶点可知当P位于圆的最高点时APAB的面积最大,根据面积最大值求得a.当P位于圆的最左端时APCD的面积最小,结合最小面积可求得,即可求得双曲线的离心率.【详解】设A=(-a,0B(a,0P(x依题意,得即两边平方化简得,则圆心为,半径当P位于圆的最高点时达PAB的面积最大,最大面积为,解得a4；当P位于圆的最左端时APCD的面积最小,最小面积为解得b=3故双曲线的离心率为故答案为:【点睛】本题考查了两点间距离公式的应用,轨迹方程的求法,圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率的求法属于中档题四、解答题（80分如图，在空间四边形0ABC中，D为BC的中点，点E满足，设， i.（1）试用向量，i，i表示向量（2）若0A=0B=0C=2，LAOC=LBOC=LAO=('，求的值（2）1因为点DBC的中点，因为，所2由题意得.已知椭圆C的方程为（）上顶点为A(0,2)，离心率为C若斜率为2的直线l经过椭圆CCM，NMN的长（2）利用弦长公式求解1由题意，h=2且，a'=h'+c'，得c-tu-15， 方程为.2设椭圆左焦点为F(-1,0)直线的方程为y=2x+2M(x,y)，N(x:,2)可得，解得：，, 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为A,B，为椭圆C上异于A,B设直线AP,B!的斜率分别为，且直线r过定 ①设和的面积分别为5,5,，求的最大值②证明为定值，并求出该定值（2）①;②证明见解析，（2）①设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解,分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解②由①知可得表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证1依题意知 所以椭圆C2①依题意由（1）知A(-2,0B(2,0)ve的斜率不为设其方程为：，并与椭圆C联立方程组,得则 第15页/20,同理 所 令, 所 因为t之5，则所以,结合函数单调性定义知，y在te[5,+o)时单调递增． ,则所以的最大值甲、乙两人组成“监利—中队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜—个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“监利—中队”在两轮活动中猜对3第16页/20若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号·,求“监利—中队的甲、乙两（2）（2）利用计算可得1设A,表示甲两轮猜对个成语的事件，B,表示乙两轮猜对个成语的事件．i=0,1,2， A=“两轮活动‘监利—中队’猜对3个成语则A=AB