湖北省随州市2026届高三上学期1月期末质量检测数学试卷（含解析）

湖北省随州市2025-2026学年高三上学期1月期末质量检测数学试题一、单选题1．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．2．函数的极大值点为（

）A．0 B． C． D．3．在梯形中，，，则（

）A． B． C． D．4．一个装有水的圆柱形玻璃杯，测得其内部半径为，将一个半径为的玻璃球完全浸入水中，水没有溢出，则杯中水面上升了（

）A． B． C． D．5．已知圆与抛物线交于A，B两点，若为正三角形，则（

）A． B． C． D．6．已知函数是定义在上的偶函数，对任意不相等的两个正实数，，恒成立，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．7．某操场的正前方有两根高度均为、相距6m的旗杆，（两根旗杆都与地面垂直）．有一条10m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部B，D处，中间某处系在地面的点，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内，假定这条绳子的长度没有改变，则（

）A． B． C． D．1m8．在正项数列中，，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．若复数，，则（

）A．的实部为1 B．的虚部为 C．为纯虚数 D．10．在等差数列和等比数列中，，，数列的前项和为，则（

）A．的公差为3 B．的公比为2 C． D．11．平面中有个不同的点，且任意3点均不共线．从某点开始与其他点连线（连线均为线段），笔不能离开纸面，也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点），最后到达某个点结束，这个图形为一个“通路”．在“通路”中，若起点和终点重合了，则这个图形为一个“回路”．对于下列三个图形，结论正确的有（

）A．在图1中，可以绘制7个不同的“通路”B．在图2中，可以绘制18个仅由3条线段组成的不同的“通路”C．在图2中，可以绘制7个不同的“回路”D．在图3中，可以绘制37个至多由5条线段组成的不同的“回路”三、填空题12．假设某超市今年上半年每个月的销售额（单位：万元）与广告支出（单位：万元）的经验回归方程为．若该超市计划明年5月份的销售额为10万元，则估计该超市明年5月份的广告支出为万元．13．若，且，则，．14．如图，单位圆的圆心为坐标原点，将轴右侧半圆上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到曲线．若水平直线与曲线交于点，则的最大值为．

四、解答题15．已知的内角、、的对边分别为、、，且．(1)求；(2)若的面积为，求的最小值．16．如图1，在中，，，D，E，F分别是，，的中点．将沿着线段翻折至的位置，连接，，得到四棱锥，如图2所示，连接．(1)证明：．(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．17．如图，甲、乙准备玩跳格子游戏，规则如下：每一轮游戏先进行成语接龙，获胜的人等可能地前进1格或2格，失败的人原地不动，一轮游戏结束．在成语接龙中，甲获胜的概率为，没有平局，且每轮比赛的结果都相互独立．

(1)求第1轮游戏结束，甲前进2格的概率；(2)求第2轮游戏结束，甲前进的格数比乙前进的格数大的概率；(3)若第3轮游戏结束，甲前进的格数与乙前进的格数之和为，求的分布列与数学期望．18．已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求；(3)若函数有且只有两个零点，求的取值范围．19．已知是双曲线的右焦点，且经过点．(1)求的标准方程．(2)已知斜率为的直线与的右支相交于A，B两点，直线，的一个方向向量分别为，，，且．（ⅰ）求．（ⅱ）判断是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

参考答案1．B【详解】根据补集的概念可知，.故选：B.2．A【详解】由题意得，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，所以的极大值点为0．故选：A.3．D【详解】在梯形中，，，所以．故选：D.

4．B【详解】因为玻璃球的半径为，可得玻璃球的体积为，设圆柱形玻璃杯水面上升了，可得，解得，所以杯中水面上升了．故选：B.5．C【详解】如图，设直线与轴交于点，因为为正三角形，所以，则，，则，由，得．故选：C6．D【详解】对任意不相等的两个正实数，，恒成立，不妨设，，，，，在上单调递增，是定义在上的偶函数，在上单调递减，，的解集为．故选：D.7．A【详解】因为，所以的轨迹是焦点为B，D，长轴长为10，短轴长为的椭圆．如图，以直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．易得该椭圆的方程为．当时，，得，所以．故选：A.8．C【详解】由，得，得，则是首项为，公比为的等比数列，所以，即．当为奇数时，为递增数列，所以，即．当为偶数时，为递减数列，所以，所以．又，所以，所以.故选：C9．AC【详解】对于A，因为，所以的实部为1，故A正确；对于BC，，所以的虚部为2，为纯虚数，故B错误，C正确；对于D，因为，，所以，故D错误.故选：AC.10．ACD【详解】设的公差为．由，得，A正确；设的公比为．由，得，B错误；因为，或，所以，C正确；因为，所以，D正确．故选：ACD11．ACD【详解】在图1中，一共可以组成条线段，仅由1条线段组成的“通路”有个，仅由2条线段组成的“通路”有个，由3条线段组成的“通路”有1个，所以可以绘制个不同的“通路”，A正确．在图2中，4个点两两连接，最多有条线段，仅由3条线段组成的图形有个，但三条线段共一个端点的图形不能组成“通路”，所以仅由3条线段组成的不同的“通路”有个，B错误．在图2中，任意三点首尾相连可以组成个“回路”；由4个端点4条线段组成的不同的“回路”有如下3种，其他情况不能组成“回路”，所以可以绘制个不同的“回路”，C正确．在图3中，任意三点首尾相连（3条线段）可以组成个“回路”；由4个端点4条线段组成的不同的“回路”有种（由C选项可知）；如图4，任选一个点，该点最多在四条线段上，在这4条线段中任选两条线段，有种不同的选法，如图5，在每一种选法上，将在线段上的点A，B与不在线段上的点C，D，2个为一组分别连接起来，有种不同的选法，最后连接，如图6、图7所示，由5个端点5条线段组成的“回路”有个．故可以绘制个至多由5条线段组成的不同的“回路”，D正确．故选：ACD.12．2.5/【详解】由，得，则估计该超市明年5月份的广告支出为2.5万元.故答案为：.13．23【详解】由，得，，则．由得．因为，所以，得，解得（舍去）．故答案为：2；3.14．/【详解】由题意可得与曲线交于点时，可使最大，设直线与轴右侧半圆交于点，连接．设，则，从而，，则．因为，所以，从而仅当时，等号成立，所以的最大值为．

故答案为：.15．(1)(2)2．【详解】（1）由已知及正弦定理得，由，得，得，由，得，得，得，得，得；（2）由，得，由余弦定理得，因为，当且仅当时，等号成立，所以，得．故的最小值为2．16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图1，连接，交于点．因为，F是的中点．所以．因为，分别是，的中点，所以，所以．如图2，连接，，因为，，，平面，所以平面．因为平面，所以．（2）由（1）知即，又，所以，故，则，因为，所以．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图2所示的空间直角坐标系.，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，得，易得平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为．17．(1)(2)(3)分布列见解析，【详解】（1）第1轮游戏结束，甲前进2格的概率为．（2）当乙前进0格时，即2轮中甲均获胜，①每轮均前进2格的概率为；②仅有1轮前进2格的概率为；③每轮均前进1格的概率为；当乙前进1格时，即2轮中甲、乙各获胜1轮，甲获胜前进2格，乙获胜前进1格的概率为；综上，第2轮游戏结束，甲前进的格数比乙前进的格数大的概率为．（3）在一轮游戏中，甲获胜前进1格、2格的概率均为，乙获胜前进1格、2格的概率均为，所以每轮游戏甲前进的格数与乙前进的格数之和为1的概率为，为2的概率为．的取值可能为3，4，5，6．，，，，的分布列为3456故．18．(1)答案见解析(2)0(3)【详解】（1）由题意得的定义域为，．当时，，单调递增．当时，令，得．当时，，单调递增，当时，，单调递减．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）由题意得，则，．设曲线的切点为，由（1）可得．因为曲线在点处的切线也是曲线的切线，所以，得（3）令，得．因为有且只有两个零点，所以直线与的图象有且只有两个公共点．设函数，则．当时，，单调递减，当0时，，单调递增，则，所以，当且仅当时，等号成立．因为在上单调递增，，，所以存在，使得．，当且仅当时，等号成立.当时，，