正方形课时2课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章四边形八下数学RJ21.3.3正方形

第2课时21.3特殊的平行四边形1.经历正方形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握正方形的判定定理．2.能应用正方形的判定解决简单的证明题和计算题.问题1

正方形的定义是什么？有一组邻边相等,而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.问题2

正方形与菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，其中正方形也是特殊的矩形、菱形.思考矩形得满足什么条件才能变成正方形？菱形呢？矩形菱形正方形有一个角是直角(或对角线相等)有一组邻边相等(或对角线互相垂直)要判定一个四边形是正方形，可以先判定它是矩形，再判定这个矩形也是菱形；或者先判定它是菱形，再判定这个菱形也是矩形.思考

分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论.探究1

准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，观察边、角、对角线，推测满足怎样条件的矩形是正方形？思考

如何证明你的猜想？一组邻边相等对角线互相垂直证明：有一组邻边相等的矩形是正方形.已知：四边形ABCD是矩形，且AB=BC.求证：四边形ABCD是正方形.ADCB证明：∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°.又∵AB=BC，∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）.证明：

对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：如图,在矩形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC⊥DB

.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形.∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.

∵AC⊥DB，∴AD=AB,∴四边形ABCD是正方形.ABCDO从矩形出发：

(1)有一组邻边相等的矩形是正方形;(2)对角线互相垂直的矩形是正方形.一组邻边相等对角线互相垂直探究2

准备一个可以活动的菱形框架，改变角的大小，得到一个正方形，观察边、角、对角线，推测满足怎样条件的菱形是正方形？思考

如何证明你的猜想？有一个角是直角对角线相等证明：

有一个角是直角的菱形是正方形.已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°.求证：四边形ABCD

是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是平行四边形，AB=BC.又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）.ADCB证明：

对角线相等的菱形是正方形.已知：如图，在菱形ABCD中，AC,DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形.∴AB=BC，AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO,∴△AOB,△BOC是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴四边形ABCD是正方形.ABCDO从菱形出发：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)对角线相等的菱形是正方形.有一个角是直角对角线相等从平行四边形出发：证明有一个内角是直角，有一组邻边相等.(定义法)平行四边形一组邻边相等一个内角是直角正方形思考从四边形出发呢？四边形平行四边形矩形正方形菱形两组对边分别平行(或两组对边分别相等或一组对边平行且相等)两条对角线互相平分两组对角分别相等有一个角是直角(或对角线相等)有一组邻边相等(或对角线互相垂直)有一组邻边相等，有一个角是直角（定义）有一组邻边相等(或对角线互相垂直)有一个角是直角(或对角线相等)有三个角是直角四条边都相等例如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形．分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由

△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出.ABCDHGFE

ABCDHGFE解析：①②组合：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC=BD，∴菱形ABCD是正方形.(对角线相等的菱形是正方形)跟踪训练如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③∠ADC=90°.则正确的组合是_______________(只需填一种组合即可).①③组合：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形.又∵∠ADC=90°，∴菱形ABCD是正方形.(有一个角是直角的菱形是正方形)跟踪训练如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③∠ADC=90°.则正确的组合是_______________(只需填一种组合即可).①②或①③1.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形；(2)对角线互相垂直的矩形；(3)对角线相等的菱形；(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形.判定一个四边形是正方形的思路思考角度证明思路边矩形+一组邻边相等→正方形.角菱形+一个角是直角→正方形.对角线矩形+对角线互相垂直→正方形.菱形+对角线相等→正方形.平行四边形+对角线相等且互相垂直→正方形.四边形+对角线相等且互相垂直平分→正方形.2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC,DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形CEDF是正方形.证明：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC,∴四边形CEDF是矩形.又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF，∴矩形CEDF是正方形.ABCDFE3.王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式，于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示），让王芳看丝巾是否完全重合，见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合，王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾，你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？3解：这条丝巾不一定是正方形样式.理由：根据售货员的方法，只能说明这条丝巾的两组对角分别相等，四条边都相等，也就是说这条丝巾的两条对角线所在直线是对称轴，这只能保证这条丝巾是菱形，并不能保证它是正方形.因为正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线所在直线外，还有两条是对边中点的连线所在的直线，所以只要拉起一组对边的中点将这条丝巾对折，看另一组对边是否重合，若另一组对边不能重合，那么此丝巾不是正方形；若另一组对边能重合，那么此丝巾一定是正方形.解：（1）能．理由如下：∵DF∥AC，EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形.∵AF平分∠BAC,∴∠EAF=∠FAD.∵AE∥DF，∴∠EAF=∠DFA，∴∠FAD=∠DFA，∴DF=DA，∴四边形ADFE是菱形.4.△ABC中，DF∥AC，EF∥AB，AF平分∠BAC．

(1)你能判断四边形ADFE是菱形吗？并说明理由．解：（2）当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形.∵四边形AEDF是菱形，∠BAC=90°