重庆市大足区2026届数学高二上期末监测模拟试题含解析

重庆市大足区2026届数学高二上期末监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则在方向上的投影为（）A. B.C. D.2．已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为（）A. B.C. D.3．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（）A. B.C. D.4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为、，其中，.如果这时气球的高度，则河流的宽度BC为（）A. B.C. D.5．已知点是抛物线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（）A. B.C. D.6．已知：，直线l：，M为直线l上的动点，过点M作的切线MA，MB，切点为A，B，则四边形MACB面积的最小值为（）A.1 B.2C. D.47．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID—19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0＜p＜1）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f（p），当p=p0时，f（p）最大，则p0=（）A. B.C. D.8．函数的图象的大致形状是（）A. B.C. D.9．等比数列，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前10项和（）A. B.C. D.10．如下图，边长为2的正方体中，O是正方体的中心，M，N，T分别是棱BC，，的中点，下列说法错误的是（）A. B.C. D.到平面MON的距离为111．直线平分圆的周长，过点作圆的一条切线，切点为，则（）A.5 B.C.3 D.12．已知事件A，B相互独立，，则（）A.0.24 B.0.8C.0.3 D.0.16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线和直线垂直，则实数___________.14．根据如下样本数据34567402.5-0.50.5-2得到的回归方程为若，则的值为___________.15．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且．若，则外接圆面积的最小值为______16．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行从左向右的第2个数为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的焦点，点在抛物线上.（1）求；（2）过点向轴作垂线，垂足为，过点的直线与抛物线交于两点，证明：为直角三角形（为坐标原点）.18．（12分）解下列不等式：（1）；（2）.19．（12分）在数列中，,，数列满足（1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）数列前项和为，且满足，求的表达式；（3）令，对于大于的正整数、（其中），若、、三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组.20．（12分）已知圆C的圆心C在直线上，且与直线相切于点.（1）求圆C的方程；（2）过点的直线与圆C交于两点，线段的中点为M，直线与直线的交点为N.判断是否为定值.若是，求出这个定值，若不是，说明理由.21．（12分）已知O为坐标原点，、为椭圆C的左、右焦点，，P为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过、的圆与直线相切（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由22．（10分）在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用向量数量积的几何意义即得【详解】,故在方向上的投影为：故选：C2、D【解析】根据空间中射影的定义即可得到答案.【详解】因为点是点在坐标平面内的射影，所以的竖坐标为0，横、纵坐标与A点的横、纵坐标相同，所以点的坐标为.故选：D3、B【解析】不妨设点为第一象限的交点，结合椭圆与双曲线的定义得到，进而结合余弦定理得到，即，令然后结合三角函数即可求出结果.【详解】不妨设点为第一象限的交点，则由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以当时，有最大值，最大值为，故选：B.【点睛】一、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)二、双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)4、D【解析】由题意得，，，然后在和求出，从而可求出的值【详解】如图，由题意得，，，在中，，在中，，所以，故选：D5、C【解析】分析可知圆的圆心为抛物线的焦点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.【详解】设点的坐标为，有，由圆的圆心坐标为，是抛物线的焦点坐标，有，由圆的几何性质可得，又由，可得的最小值为故选：C.6、B【解析】易知四边形MACB的面积为，然后由最小，根据与直线l：垂直求解.【详解】：化为标准方程为：,由切线长得：,四边形MACB的面积为，若四边形MACB的面积最小，则最小，此时与直线l：垂直，所以，所以四边形MACB面积的最小值，故选：B7、A【解析】解设事件A为：检测了5人确定为“感染高危户”，设事件B为：检测了6人确定为“感染高危户”，则，再利用基本不等式法求解.【详解】解：设事件A为：检测了5人确定为“感染高危户”，设事件B为：检测了6人确定为“感染高危户”，则，，所以，令，则，，当且仅当，即时，等号成立，即，故选：A8、B【解析】对A，根据当时，的值即可判断；对B，根据函数在上的单调性即可判断；对C，根据函数的奇偶性即可判断；对D，根据函数在上的单调性即可判断.【详解】解：对A，当时，，故A错误；对B，的定义域为，且，故为奇函数；，当时，当时，，即，又，，故存在，故在单调递增，单调递减，单调递增，故B正确；对C，为奇函数，故C错误；对D，函数在上不单调，故D错误.故选：B.9、C【解析】先设等比数列的公比为，结合条件可知，由等差中项可知，利用等比数列的通项公式进行化简求出，最后利用分组求和法，以及等比数列、等差数列的求和公式，即可求出数列的前10项和.【详解】设等比数列的公比为，，，成公差不为0的等差数列，则，，都不相等，，且，，，，即，解得：或（舍去），，所以数列的前10项和：.故选：C.10、D【解析】建立空间直角坐标系，进而根据空间向量的坐标运算判断A,B,C；对D，算出平面MON的法向量，进而求出向量在该法向量方向上投影的绝对值，即为所求距离.【详解】如图建立空间直角坐标系，则.对A，，则，则A正确；对B，，则，则B正确；对C，，则C正确；对D，设平面MON的法向量为，则，取z=1，得，，所以到平面MON的距离为,则D错误.故选：D.11、B【解析】根据圆的性质，结合圆的切线的性质进行求解即可.【详解】由，所以该圆的圆心为，半径为，因为直线平分圆的周长，所以圆心在直线上，故，因此，，所以有，所以，故选：B12、B【解析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解.【详解】因为事件A，B相互独立，所以，所以故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据两条直线相互垂直的条件列方程，解方程求得m的值.【详解】由于两条直线垂直，故，解得.故答案为：.14、-1.4##【解析】分别求出的值，即得到样本中心点，根据样本中心点一定在回归直线上，可求得答案.【详解】，则得到样本中心点为，因为样本中心点一定在回归直线上，故，解得，故答案为：15、【解析】利用二倍角公式求出，即可得到，再利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即可求出外接圆的面积；【详解】解：因为，所以，解得或（舍去）．又为锐角三角形，所以．因为，当且仅当时等号成立，所以．外接圆的半径，故外接圆面积的最小值为故答案为：16、【解析】通过观察、分析、归纳，找出规律运算求解即可【详解】前行共有正整数个，即个，因此第行第个数是全体正整数中第个，即为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）点代入即可得出抛物线方程，根据抛物线的定义即可求得.（2）由题，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，可得，利用韦达定理证得即可得出结论.【小问1详解】点在抛物线上.，则，所以.【小问2详解】证明：由题，设直线的方程为：，点联立方程，消得：，由韦达定理有，由，所以，所以，所以，所以为直角三角形.18、（1）（2）【解析】（1）利用十字相乘解题即可（2）利用分子分母同号为正，异号为负思想，注意讨论分母不为0【小问1详解】由题，即，解得或，即；【小问2详解】由题，解得或，即19、（1）证明见解析，；（2）；（3）.【解析】（1）由已知等式变形可得，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定等比数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；（2）求得，然后分、两种情况讨论，结合裂项相消法可得出的表达式；（3）求得，分、、三种情况讨论，利用奇数与偶数的性质以及整数的性质可求得、的值，综合可得出结论.【小问1详解】解：由可得，，则，，以此类推可知，对任意的，，则，故数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，故，可得.【小问2详解】解：由（1）知，所以，所以，当n＝1时，，当时，.因为满足，所以.【小问3详解】解：，、、这三项经适当排序后能构成等差数列，①若，则，所以，，又，所以，，则；②若，则，则，左边为偶数，右边为奇数，所以，②不成立；③若，同②可知③也不成立综合①②③得，20、（1）（2）【解析】（1）设过点且与直线垂直的直线为，将代入直线方程，即可求出，再与求交点坐标，得到圆心坐标，再求出半径，即可得解；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在直接求出、的坐标，即可求出，当直线的斜率存在，设直线为、、，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，即可表示出的坐标，再求出的坐标，即可表示出、，即可得解；【小问1详解】解：设过点且与直线垂直的直线为，则，解得，即，由，解得，即圆心坐标为，所以半径，所以圆的方程为【小问2详解】解：当直线的斜率存在时，设过点的直线为，所以，消去得，设、，则，，所以，所以的中点，由解得，即，所以，，所以；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由，解得或，即、，所以，所以又解得，即，所以，所以，综上可得.21、（1）；（2）存在；.【解析】(1)根据给定条件求出a，c，b即可作答.(2)联立直线l与椭圆C的方程，利用斜率坐标公式并结合韦达定理计算即可推理作答.【小问1详解】依题意，，，，由椭圆定义知：椭圆长轴长，即，而半焦距，即有短半轴长，所以椭圆C的标准方程为：【小问2详解】依题意，设直线l方程为，由消去x并整