第30讲 圆锥曲线设点、设线技巧归纳总结解析版

第30讲圆锥曲线设点、设线技巧归纳总结【典型例题】例1．（2024·高三·全国·专题练习）已知椭圆C：经过点，，分别为C的左、右焦点，P是C上的动点，的最小值为0．(1)求C的标准方程．(2)若过原点O的两条不同直线，与C分别交于点，和，，且点P到，的距离均为，判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【解析】（1）由题知，，设，，则，故，所以，当且仅当时取等号．所以，即，所以．因为椭圆C经过点，所以，所以，，所以C的标准方程为．（2）当直线的斜率不存在时，：，，由点P到直线的距离为，可得，分别与联立，均可求得，由点P到直线的距离为，可得直线的方程为，，此时．当直线的斜率不存在时，同理可得．设直线的方程为，因为点P到直线的距离为，所以，平方、整理得．设直线的方程为，同理可得．所以，是关于k的方程的两个不相等的实数根，所以．设，，则由，得，同理可得．所以．综上，，为定值．例2．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且到，的距离之和为8.(1)求椭圆的标准方程；(2)设为关于原点的对称点，斜率为的直线与线段（不含端点）相交于点，与椭圆相交于点，若为常数，求与面积的比值.【解析】（1）由椭圆的定义得，所以.又为椭圆上一点，所以，将代入，得，所以椭圆的标准方程为.（2）因为为关于原点的对称点，所以，直线的方程为.设，则直线的方程为，联立得，可得，由点在椭圆内，易知，不妨令，则，，所以.又，所以为常数，则需满足为常数，（此式为与无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即，解得.将代入，可得，得，所以为的中点，所以.例3．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3．(1)求E的方程；(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值．【解析】（1）设双曲线的半焦距为()，，由题可知，，即，又，故E的方程为.（2）如图，由题可知，且直线的斜率不为，设直线的方程为，，将方程和联立，得，，，，,直线与的右支有交点，，当时，取得最小值，且最小值为.例4．（2024·山东泰安·一模）已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率．【解析】（1）圆过，，又圆过，，又，椭圆的方程为.（2）设，则，由题知且，则，，由，解得，，又，，又，，直线的斜率或.例5．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆的上、下顶点分别为，，其右焦点为F，且．(1)求椭圆C的方程；(2)若点，在直线BP上存在两个不同的点，满足．若直线与直线分别交C于点M，N（异于点A），证明：P，M，N三点共线．【解析】（1）由题意知，，.由，得，即，所以．又，所以，故椭圆C的方程为．（2）证明：因为点，，所以．根据题意设，，则，，所以，即．根据题意可知：直线MN的斜率一定存在.设直线MN的方程为，，.联立得．则.因为直线AM过点，所以，即，解得，同理可得．代入（*）式，得，所以．因为M，N异于点A，直线MN的方程为，所以，则，即，则直线MN的方程为，恒过点，因此P，M，N三点共线．例6．（2024·高三·上海浦东新·期中）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点.(1)若椭圆上点满足，求的值；(2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围；(3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值.【解析】（1）因为，所以设点，则，所以，即，所以；；（2）设，则，，则，所以，，要时取最小值，则必有，所以；（3）设过点且法向量为的直线的方程为，，联立，消去得，则，则，，又，又点在椭圆上，则，所以，即，所以，所以，所以，即的最大值为.例7．（2024·天津河西·一模）已知椭圆的上、下顶点为、，左焦点为，定点，．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作斜率为（）的直线交椭圆于另一点，直线与轴交于点（在，之间），直线与轴交于点，若，求的值．【解析】（1）由题意，，则为、的中点，所以，，，，即，，所以椭圆的标准方程为.（2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立，，整理得，，所以，直线与相交于点，令，所以直线的斜率为，直线的方程为，令，，由，又，，，即，所以，所以，所以，解得或，所以的值为或.例8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知椭圆的左顶点为，过且斜率为的直线交轴于点，交的另一点为．(1)若，求的离心率；(2)点在上，若，且，求的取值范围．【解析】（1）如图所示，由题意知，，设，由，可知，代入椭圆方程，可得，因为，所以，又，解得，所以离心率；（2）如图所示，设点，直线方程为，联立直线方程与椭圆方程可得，整理可得，解得，所以，将替换为，同理可得，，由，可得，整理得，由，解得或，，即，解得或，故解集为.综上所述，的取值范围为．【过关测试】1．（2024·高三·全国·专题练习）已知抛物线C：过点.(1)求过点M的抛物线C的切线方程；(2)若A，B是能物线C上异于M的两点记直线MA，MB的斜分别为，且，求点M到直线AB距离的最大值.【解析】（1）将M的坐标代入抛物线C的方程中，得，故抛物线C的标准方程为.解法一：由题意知过点M的抛物线的切线的斜率一定存在且不为0，设过点M的抛物线的切线方程为，将其代入，得，由，得，故过点M的抛物线C的切线方程为.解法二：当时，由得，而，所以过点M（1，2）的抛物线C的切线的斜率为1，故过点M的抛物线C的切线方程为，即；（2）设，，则，同理，故，化简得.易知直线AB的斜率不为0，则可设直线AB的方程为，将其代入，得，所以，，所以，即，直线AB的方程为，直线AB过定点.连接MQ，易知当时，点M到直线AB的距离最大，故点M到直线AB距离的最大值为.2．（2024·高三·湖北·开学考试）已知椭圆长轴的左右顶点分别为，短轴的上下顶点分别为，四边形面积为，椭圆的离心率是．

(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与直线的交点分别为，证明：线段的中点为定点．【解析】（1），，又离心率，，，，，椭圆的方程为：.（2）由题意知：直线的斜率存在，可设，，又得：，则，，，，，直线，令，解得：，即，同理可得：，，线段中点为定点.3．（2024·高三·海南·阶段练习）如图，已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，椭圆的离心率为，的面积为1，若过点的直线与相交于，两点，过点作轴的平行线分别与直线，交于点，．

(1)求椭圆的方程；(2)求证：，，三点的横坐标，，满足关系式．【解析】（1）由题意：①，②，由①②两式，解得，，所以椭圆的方程为：．（2）设直线，直线过点，．联立方程组，可得，，设，，则：，，，，，令可得：，下面证明：．即证：，即证：，整理得即证：，即证：，整理可得即证：，即证：，，上式成立，原式得证．4．（2024·陕西西安·三模）已知椭圆的离心率为，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆相交于两点，，设点关于坐标原点的对称点为，若点恒在以为直径的圆内部，求实数的取值范围．【解析】（1）如图所示，由题意知，，即，故以短轴端点和焦点为定点的四边形为正方形，且边长为，所以，解得，所以，所以椭圆C的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，如图所示，此时为椭圆的上下顶点，且，因为点总在以线段为直径的圆内，且，所以.当直线的斜率存在时，设的方程为.如图所示，由方程组得，因为直线与椭圆有两个公共点，即，得；设，则，.设的中点，则，，所以.所以，，因为点总在以线段为直径的圆内，所以对于恒成立，所以，化简，得，整理得，而（当且仅当时等号成立）所以，由，得，综上，的取值范围是.5．（2024·广西柳州·三模）M是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且．(1)求动点M的轨迹方程E；(2)设，，过点的直线l与曲线E交于A，B两点（点A在x轴上方），P为直线，的交点，当点P的纵坐标为时，求直线l的方程．【解析】（1）设，直线的倾斜角为，则为钝角，，所以由于位于第一象限，位于第四象限，所以的轨迹方程（2）设联立：，化简得：则，直线，直线联立消去得：又故点，直线的斜率为：联立，消去化简得：故，故,直线的方程为6．（2024·四川广安·二模）在直角坐标系中，设为抛物线（）的焦点，为上位于第一象限内一点.当时，的面积为1.(1)求的方程；(2)当时，如果直线与抛物线交于，两点，直线，的斜率满足.证明直线是恒过定点，并求出定点坐标.【解析】（1）由，所以，设，，，，解得，所以抛物线的方程为.（2）如图，设，，，，，解得，所以点的坐标为.由题意直线的斜率不为0，设，，，联立，消去整理得，则，，，因为，所以，即，整理得，将，代入上式，，满足，所以直线为，恒过定点.7．（2024·高三·河南·阶段练习）已知是抛物线上任意一点，且到的焦点的最短距离为.直线与交于两点，与抛物线交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限.(1)求抛物线的方程.(2)证明：(3)设的面积分别为，其中为坐标原点，若，求.【解析】（1）设，易知，准线方程为，所以.当时，取得最小值，由，解得.所以抛物线的方程为.（2）设直线与轴交于点，因为直线的斜率显然不为0，所以设直线的方程为，联立，消去得，所以，所以，同理可得，所以.（3）因为，所以，即.因为，所以，即，所以，由（2）知，所以，故，所以，即，化简得，解得或，若，则，这与矛盾，所以，所以.8．（2024·全国·模拟预测）已知长为的线段的中点为原点，圆经过两点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点且互相垂直的直线分别与曲线交于点和点，且，四边形的面积为，求实数的值.【解析】（1）由题意知圆心在线段的垂直平分线上，则,设，圆的半径为，则，又圆与直线相切，故，于是，化简得，所以曲线的方程为.（2）设，根据可得为的中点，则，得，即，所以直线.联立方程，得，得，由，得，所以，所以.设，因为互相垂直，易知直线，联立方程，得，得，由，得，所以，所以.则四边形的面积为.令，化简得，解得（舍）或，符合，所以.9．（2024·陕西榆林·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为过点，且的长轴长为8.(1)求的方程.(2)设的右顶点为点，过点的直线与交于两点（异于），直线与轴分别交于点，试问线段的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）因为的长轴长为8，所以，所以.又，所以，所以的方程为.（2）易知，则直线的斜率存在，设其方程为.联立得，，因为点在直线上，所以，，直线，令，得，直线，令，得，，所以线段的中点为，为定点.10．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．(1)求“椭圆”的方程；(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；(3)设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．【解析】（1）设“椭圆”上任意一点为，则，即，即，所以“椭圆”的方程为；（2）由方程，得，因为，所以，即，所以或或，解得，由方程，得，即，所以，所以，所以“椭圆”的范围为，，将点代入得，，即，方程不变，所以“椭圆”关于轴对称，将点代入得，，即，方程不变，所以“椭圆”关于轴对称，将点代入得，，即，方程不变，所以“椭圆”关于原点对称，所以“椭圆”关于轴，轴，原点对称；（3）由题意可设椭圆的方程为，将点代入得，解得，所以椭圆的方程为，，由题意可设直线的方程为，联立，得，恒成立，则，因为的中点为，所以直线的中垂线的方程为，同理直线的中垂线的方程为，设，则是方程的两根，即是方程的两根，所以，又因，所以，两式相比得，所以，所以，所以直线与的斜率之积为定值．11．（2024·高三·山西·阶段练习）已知为平面上一个动点，到定直线的距离与到定点距离的比等于，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若轴上是否存在定点，使过点且斜率为的直线与曲线相交于（均不同于两点，且分别为直线的斜率）？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设点的坐标为，则，即即，即，即曲线的方程为.（2）设存在定点，使为定值，则直线的方程为，联立可得，设，则，即，且则，解得.故存在点使得为定值.12．（2024·高三·北京海淀·开学考试）已知椭圆C：过点，长轴长为.(1)求椭圆方程及离心率；(2)直线l：与椭圆C交于两点M、N，直线AM、AN分别与直线交于点P、Q，O为坐标原点且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标.【解析】（1）由椭圆的长轴为，得，将点的坐标代入椭圆的方程，得，解得得，所以椭圆的方程为，离心率.（2）如图，由消去y得，，，即，设、，则，．直线的方程为，则，直线的方程为，则，由，得，则，于是，即整理得，解得或，当时，直线方程为，即，此时直线过定点，不符合题意，舍去；当时，直线方程为，即，直线过定点，合乎题意，所以直线经过定点，且定点坐标为.13．（2024·浙江·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为直线上的动点.(1)求椭圆的离心率.(2)若，求点的坐标.(3)若直线和直线分别交椭圆于，两点，请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）椭圆的离心率为（2）设，直线交轴于点，由，∴∴或（3），，，∴代入得：，设，∴，∴，∴.代入得：，∴，∴，∴∴，∴∴即直线方程为：恒过定点为14．（2024·四川宜宾·二模）已知椭圆的上下顶点分别为，左右顶点分别为，四边形的面积为，若椭圆上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率不为0的直线与交于（异于）两点，设直线与直线交于点，证明：点在定直线上.【解析】（1）设右焦点坐标为，椭圆上的一点，则，故，即，则到右焦点的距离，因为，所以，，故，即椭圆上的点到右焦点距离的最大值为，最小值为，故，解得，又四边形的面积为，故，所以，椭圆方程为；（2）当过点且斜率不存在时，直线方程为，中，令得，，不妨设，直线，即，同理可得，联立得，，故点在直线上，当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程设为，联立得，设，则，两式相除得，直线，直线，联立得，，故，解得，将代入上式中，得，要想恒成立，则，故点在定直线上，综上，点在定直线上.15．（2024·河南·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，，其长轴长为6，离心率为e且，点D为E上一动点，的面积的最大值为，过的直线，分别与椭圆E交于A，B两点（异于点P），与直线交于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之和为11.过坐标原点O作直线的垂线，垂足为H.(1)求椭圆E的方程；(2)问：平面内是否存在定点Q，使得为定值？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）根据条件则，，当点D位于短轴顶点时，面积的最大，且，由，解得，或，又，因此，，，故椭圆E的方程为：.（2）（2）存在定点使得为定值，理由如下：由题意过点P的直线与椭圆E交于A点，与直线交于M点，与椭圆E交于B点，与直线交于N点，如图，设，，，.根据条件有，，且①由条件知，直线的斜率不为0，故可设直线的方程为由①，②联立，整理得，该方程有两个不同的实数根，，则，由韦达定理可得，，代入②中，整理得，又，化简得，因此，即直线过定点.过原点O作直线的垂线，垂直为H，则点H在以为直径的圆上，则的中点到H的距离等于为定值，因此存在定点即为的中点使得为定值.16．（2024·全国·模拟预测）已知复平面上的点对应的复数满足，设点的运动轨迹为．点对应的数是0．(1)证明是一个双曲线并求其离心率；(2)设的右焦点为，其长半轴长为，点到直线的距离为（点在的右支上），证明：；(3)设的两条渐近线分别为，过分别作的平行线分别交于点，则平行四边形的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．【解析】（1）设复数，则两边平方得所以是一个焦点在实轴上，顶点为，渐近线为的双曲线．其离心率.（2）由（1）的计算得，，，则直线，设，则，，由得，代入得所以，原式得证．（3）由（1）得的两条渐近线，，由对称性，不妨设，则，所以，同理得．联立和：，得，易知直线，所以点到直线的距离由（1），所以而，所以，故平行四边形的面积为定值．17．（2024·高三·全国·专题练习）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点.(1)求双曲线的方程；(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求的取值范围.【解析】（1）由题意可设双曲线，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）（i）设，直线的方程为，由，消元得.则，且，，或由韦达定理可得，即,，即与的比值为定值.（ii）方法一：设直线，代入双曲线方程并整理得，由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，.由韦达定理得：，解得.因为点A在双曲线的右支上，所以，解得，即，同理可得，由（i）中结论可知，得，所以，故，设，其图象对称轴为，则在上单调递减，故，故的取值范围为；方法二：由于双曲线的渐近线方程为，如图，