第31讲 阿基米德三角形、双切线问题、定点定值定直线问题原卷版

第31讲阿基米德三角形、双切线问题、定点定值定直线问题【典型例题】例1．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与抛物线交于两点，若为阿基米德三角形，则（

）A． B． C． D．例2．（2024·高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线在第一象限相切于点P，并且与直线和x轴分别相交于A，B两点，直线PF与抛物线的另一个交点为Q．过点B作交PF于点C，若，则等于（

）附加结论：抛物线上两个不同的点A，B的坐标分别为，，以A，B为切点的切线PA，PB相交于点P，我们称弦AB为阿基米德的底边．

定理：点P的坐标为；推论：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点，则另一顶点P的轨迹方程为.A． B． C． D．例3．（多选题）（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论正确的是（

）A．B．底边的直线方程为；C．是直角三角形；D．面积的最小值为.例4．（2024·山西临汾·模拟预测）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：交C于M，Q两点，且．(1)求C的方程；(2)若点P是C的准线上的一点，过点P作C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求点O到直线AB的距离的最大值．例5．（2024·高三·贵州贵阳·阶段练习）已知抛物线与双曲线有共同的焦点.(1)求的方程；(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.例6．（2024·河北·模拟预测）已知抛物线上有一点，为抛物线的焦点，，且.(1)求抛物线的方程；(2)过点向圆（点在圆外）引两条切线，交抛物线于另外两点，求证：直线过定点.例7．（2024·福建漳州·模拟预测）已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.例8．（2024·高三·湖北·开学考试）已知椭圆长轴的左右顶点分别为，短轴的上下顶点分别为，四边形面积为，椭圆的离心率是．

(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与直线的交点分别为，证明：线段的中点为定点．例9．（2024·高二·江西九江·期末）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为．(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)过轨迹上一个定点引它的两条弦，，若直线，的斜率存在，且直线的斜率为证明：直线，的倾斜角互补．例10．（2024·广东湛江·一模）已知为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右顶点，且直线与的斜率之和为．(1)求双曲线的方程；(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线的倾斜角分别为和，且，证明：直线过定点．【过关测试】一、单选题1．（2024·高三·全国·专题练习）为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论错误的是（）A．B．底边的直线方程为；C．是直角三角形；D．面积的最小值为.2．（2024·全国·模拟预测）如何计算一个椭圆的面积？这个问题早已在约2000年前被伟大的数学、物理学先驱阿基米德思考过．他采用“逼近法”，得出结论：一个椭圆的面积除以圆周率等于其长半轴长与短半轴长的乘积．即．那如何计算它的周长呢？这个问题也在约400年前被我国清代数学家项名达思考过．一个椭圆的周长等于其短半轴长为半径的圆周长加上四倍的该椭圆长半轴长与短半轴长的差．即．若一个椭圆的面积为，那么其周长的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2024·高三·江苏·专题练习）（多选）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（

）

A．若弦过焦点，则为直角三角形且B．点P的坐标是C．的边所在的直线方程为D．的边上的中线与y轴平行（或重合）4．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（

）A．B．若，则点处的切线方程为C．存在点，使得D．面积的最小值为45．（2024·高二·四川乐山·期末）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（

）A．点在抛物线（）的准线上B．存在点，使得C．D．面积的最小值为6．（2024·高三·贵州贵阳·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（

）A．的方程为B．点都在曲线内部C．当三点不共线时，则D．若，则的最小值为三、解答题7．（2024·高三·重庆·开学考试）在平面直角坐标系中，过直线上任一点作该直线的垂线，，线段的中垂线与直线交于点．(1)当在直线上运动时，求点的轨迹的方程；(2)过向圆引两条切线，与轨迹的另一个交点分别为，．（i）证明：直线与圆也相切；（ii）求周长的最小值．8．（2024·高三·山东济南·开学考试）已知为抛物线上的两点，是边长为的等边三角形，其中为坐标原点.(1)求的方程.(2)已知圆的两条切线，且与分别交于点和.（i）证明：为定值.（ii）求的最小值.9．（2024·甘肃兰州·一模）已知圆过点，和，且圆与轴交于点，点是抛物线的焦点.(1)求圆和抛物线的方程；(2)过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点，分别做抛物线的切线，两条切线交于点，试判断直线与圆的另一个交点是否为定点，如果是，求出点的坐标；如果不是，说明理由．10．（2024·四川成都·二模）抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长．(1)求抛物线的方程；(2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作（其中）的两条切线，分别交抛物线于点，过原点作直线的垂线，垂足为，证明点在定圆上，并求定圆方程11．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知抛物线上任意一点满足的最小值为（为焦点）.(1)求的方程；(2)过点的直线经过点且与物线交于两点，求证：；(3)过作一条倾斜角为的直线交抛物线于两点，过分别作抛物线的切线.两条切线交于点，过任意作一条直线交抛物线于，交直线于点，则满足什么关系？并证明.12．（2024·黑龙江·二模）已知是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为．(1)求抛物线焦点坐标及准线方程；(2)设直线，的斜率分别为，，求的值．13．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，过的左焦点且垂直于一条渐近线的直线分别交两条渐近线于点，（，在轴同侧），且．(1)求双曲线的标准方程；(2)探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直，并说明理由．14．（2024·山东临沂·一模）动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为.(1)求的方程；(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为.（i）证明：直线过定点；（ii）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值.15．（2024·广东广州·一模）已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点.(1)求的方程：(2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围：(3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由.16．（2024·四川凉山·二模）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到：椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知是椭圆C：的左焦点，且椭圆C的面积为，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点，，以为直径的圆与椭圆C在x轴上方交于M，N两点，求的值17．（2024·高三·河北衡水·阶段练习）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：．(1)求的面积；(2)若直线交于两点，求．18．（2024·河南开封·二模）如图，过抛物线的焦点F作直线l交E于A，B两点，点A，B在x轴上的射影分别为D，C，当AB平行于x轴时，四边形ABCD的面积为4．(1)求p的值；(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的倍．已知点P在抛物线E上，且E在点P处的切线平行于AB，根据上述理论，从四边形ABCD中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率的取值范围．19．（2024·高三·上海浦东新·期中）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点.(1)若椭圆上点满足，求的值；(2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围；(3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值.20．（2024·内蒙古包头·二模）已知椭圆过点，且焦距为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作两条互相垂直的弦，设弦的中点分别为.证明：直线必过定点.21．（2024·青海·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M过点，且与直线相切．(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)过点作斜率分别为，的直线AB，AD，与C分别交于点B，D，当直线BD恒过定点时，证明：．22．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知椭圆的焦距为6，圆9与椭圆C有且仅有两个公共点(1)求椭圆的标准方程；(2)已知动直线过曲线的左焦点F，且与椭圆分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．23．（2024·全国·一模）如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.

(1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程.(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点.①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点；②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标.24．（2024·新疆塔城·二模）已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)设过点的直线，分别与曲线交于，两点，直线，的斜率存在，且倾斜角互补，求证：直线的倾斜角为定值.25．（2024·陕西榆林·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点，且.(1)求的方程.(2)设的右顶点为点，过点的直线与交于两点（异于），直线与轴分别交于点，试问线段的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.26．（2024·高三·全国·专题练习）已知椭圆C：经过点，，分别为C的左、右焦点，P是C上的动点，的最小值为0．(1)求C的标准方程．(2)若过原点O的两条不同直线，与C分别交于点，和，，且点P到，的距离均为，判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．27．（2024·高三·云南·阶段练习）已知A，B，C是抛物线上三点，且，，垂足为D.(1)当C的坐标为时，求点D的轨迹方程；(2)当C的坐标为时，是否存在点Q，使得为定值，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.28．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．(1)求“椭圆”的方程；(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；(3)设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．29．（2024·河北沧州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点F到渐近线的距离为．(1)求双曲线C的标准方程；(2)若双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，其中O为坐标原点，求证：的面积S是定值．30．（2024·河南·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，，其长轴长为6，离心率为e且，点D为E上一动点，的面积的最大值为，过的直线，分别与椭圆E交于A，B两点（异于点P），与直线交于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之和为11.过坐标原点O作直线的垂线，垂足为H.(1)求椭圆E的方程；(2)问：平面内是否存在定点Q，使得为定值？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由.31．（2024·全国·模拟预测）已知复平面上的点对应的复数满足，设点的运动轨迹为．点对应的数是0．(1)证明是一个双曲线并求其离心率；(2)设的右焦点为，其长半轴长为，点到直线的距离为（点在的右支上），证明：；(3)设的两条渐近线分别为，过分别作的平行线分别交于点，则平行四边形的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．32．（2024·高三·全国·专题练习）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点.(1)求双曲线的方程；(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求的取值范围.33．（2024·全国·一模）已知椭圆的离心率是，点Q在椭圆上，且，．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，设椭圆C的上、下顶点分别为，，P为该椭圆上异于，的任一点，直线，分别交x轴于M，N两点，若直线OT与经过M，N两点的圆G相切，切点为T．证明：线段O