第32讲 解析几何中长度面积和、差、商、积原卷版

第32讲解析几何中长度面积和、差、商、积【典型例题】例1．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且到，的距离之和为8.(1)求椭圆的标准方程；(2)设为关于原点的对称点，斜率为的直线与线段（不含端点）相交于点，与椭圆相交于点，若为常数，求与面积的比值.例2．（2024·高三·全国·专题练习）设椭圆M：的离心率为，且内切于圆．(1)求椭圆M的方程；(2)若直线交椭圆于、两点，椭圆上一点，求面积的最大值．例3．（2024·辽宁鞍山·二模）焦点在轴上的椭圆的左顶点为，，，为椭圆上不同三点，且当时，直线和直线的斜率之积为．(1)求的值；(2)若的面积为1，求和的值；(3)在（2）的条件下，设的中点为，求的最大值．例4．（2024·上海·二模）在中，已知，，设分别是的重心、垂心、外心，且存在使.(1)求点的轨迹的方程；(2)求的外心的纵坐标的取值范围；(3)设直线与的另一个交点为，记与的面积分别为，是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.例5．（2024·高三·重庆·阶段练习）从圆上任取一点向轴作垂线段为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当为轴上的点时，规定与重合）.(1)求的方程，并说明曲线的类型；(2)若与轴和轴的交点分别为（在左侧；在下侧），点在线段上，过点且平行于的直线交于点（异于），交轴于点，直线交于点（异于点，直线交轴于点.从下列两个问题中选择一个进行作答：①证明：；②与的面积是否相等？请说明理由.例6．（2024·高三·江苏·专题练习）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点.(1)求证：.(2)求的面积的取值范围.例7．（2024·浙江温州·二模）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上一动点（不同于），记分别为直线的斜率，且满足．(1)求点的坐标（用表示）；(2)求的取值范围．例8．（2024·天津河西·一模）已知椭圆的上、下顶点为、，左焦点为，定点，．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作斜率为（）的直线交椭圆于另一点，直线与轴交于点（在，之间），直线与轴交于点，若，求的值．例9．（2024·湖南衡阳·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，的周长为8．(1)求的方程；(2)若直线与交于两点，且原点到直线的距离为定值1，求的最大值．【过关测试】1．（2024·天津河东·一模）已知椭圆的离心率为，点到椭圆右焦点距离等于焦距.(1)求椭圆标准方程；(2)过点斜率为的直线与椭圆交于两点，且与轴交于点，线段的垂直平分线与轴，轴分别交于点，点为坐标原点，求的值.2．（2024·北京石景山·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为．(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，过点分别作直线，直线与椭圆相切于第三象限内的点，直线交椭圆于两点．若，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．3．（2024·安徽黄山·一模）设点、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为．(1)求椭圆的方程；(2)求椭圆的外切矩形的面积的最大值．4．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）设椭圆，，分别是C的左、右焦点，C上的点到的最小距离为1，P是C上一点，且的周长为6．(1)求C的方程；(2)过点且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：为定值．5．（2024·贵州毕节·二模）在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在线段上，且满足.(1)当点在椭圆上运动时，求点的轨迹的方程；(2)若曲线与，轴的正半轴分别交于点，，点是上第三象限内一点，线段与轴交于点，线段与轴交于点，求四边形的面积.6．（2024·山西·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，，且．(1)求的取值范围；(2)过点作直线与椭圆交于点，，直线的倾斜角比直线的倾斜角大，求四边形面积的最大值．7．（2024·山东烟台·一模）已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）.(1)求证：直线与直线的斜率之积为定值.并求出该定值；(2)过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记的面积分别为，求的最大值.8．（2024·广东广州·一模）已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点.(1)求的方程：(2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围：(3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由.9．（2024·福建泉州·模拟预测）已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点F作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6．(1)求E的方程；(2)若面积为3的的三个顶点均在E上，边过F，边过原点，求直线的方程：(3)已知，过点的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足，且？若存在，求点S的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．10．（2024·云南昆明·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且在第一象限内，满足.(1)求的平分线所在的直线的方程；(2)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异的两点，若存在，请找出这两点；若不存在请说明理由；(3)已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线与椭圆相交于，若四边形的面积最大时，求双曲线的标准方程.11．（2024·新疆·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，离心率为2，

是上一点，且，的周长为12.(1)求C的方程;(2)过的直线与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明：为定值.12．（2024·高三·浙江宁波·阶段练习）已知抛物线与双曲线相交于两点，是的右焦点，直线分别交于两点（不同于点），直线分别交轴于两点.(1)求的取值范围；(2)记的面积为，的面积为，当时，求的值.13．（2024·高三·上海闵行·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点为．(1)若双曲线的离心率为，且，是正三角形，求的方程；(2)若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为．若，求(3)在（1）的条件下，若动直线与恰有1个公共点且与的两条渐近线分别交于记的面积为，的面积为（是坐标原点），问：是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由.14．（2024·高三·安徽亳州·期末）已知双曲线经过点，直线与交于两点，直线分别与轴相交于点.(1)证明：以线段为直径的圆恒过点；(2)若，且，求.15．（2024·广东深圳·一模）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．(1)求的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．①当时，求证：的值及的周长均为定值；②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．16．（2024·高二·辽宁大连·期末）已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为）(1)求证：点E恒在一条定直线L上；(2)若两直线与L交于点N，，求的值；(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．17．（2024·高三·福建泉州·期末）动圆与圆和圆中的一个内切，另一个外切，记点的轨迹为.(1)求的方程；(2)已知点轴与交于两点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，记的面积分别为.若，求直线的方程.18．（2024·高二·山东济南·期中）已知圆F：，点，点G是圆F上任意一点，线段EG的垂直平分线交直线FG于点T，点T的轨迹记为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知曲线C上一点，动圆N：，且点M在圆N外，过点M作圆N的两条切线分别交曲线C于点A，B①求证：直线AB的斜率为定值；②若直线AB与交于点Q，且时，求直线AB的方程．19．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，的一条渐近线的倾斜角为，直线与轴的交点为，且.(1)求的方程；(2)过点作斜率为的直线与交于，两点，为线段的中点，过点且与垂直的直线交轴于点，求证：为定值.20．（2024·高二·辽宁·期末）已知双曲线的离心率为，且其焦点到渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.21．（2024·全国·模拟预测）已知长为的线段的中点为原点，圆经过两点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点且互相垂直的直线分别与曲线交于点和点，且，四边形的面积为，求实数的值.22．（2024·高三·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于M，N两点在第一象限）.(1)当时，求直线的方程;(2)若三角形OMN的外接圆与曲线交于点（异于点O，M，N），（i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;（ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.23．（2024·全国·模拟预测）第一象限的点在抛物线上，过点作轴于点，点为中点．(1)求的运动轨迹曲线的方程；(2)记的焦点分别为，则四边形的面积是否有最值？24．（2024·辽宁·一模）已知平面上一动点到定点的距离比到定直线的距离小，记动点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)点为上的两个动点，若恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形的面积为，求证：.2