第8题多个知识交汇问题（高三备考）教师版

第8题多个知识交汇问题（一题多解）【浙江省9＋1高中联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试】．已知曲线C的方程为：，，，，过M的直线交曲线C于、两点（A在B的上方），已知，，下列命题正确的是（

）A．B．的最小值是2C．周长的最大值是D．若，将沿翻折，使面面，则折后对于A项由正弦定理结合椭圆定义可判定；对于B，结合A的结论与三角恒等变换、基本不等式可判定；对于C，利用两点距离公式及基本不等式可判定；对于D，联立直线与曲线方程计算AO，BO长，再根据条件判定线线垂直计算空间距离即可.．由已知，在中，已知，，由正弦定理得，又，即，所以，故A正确；由，得：，在中，，，则，，所以，，故，当且仅当，时取到最小值是2，故B正确；周长，设，，又，，则，当且仅当，即时，等号成立，故周长的最大值是，故C正确；设AB的方程是：与联立得：，解得：（舍去）或，则点A为椭圆上顶点，，又在圆上，所以，又沿翻折后，平面平面，平面平面，，则平面，又平面，则，所以，故D错误．1．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线关于直线对称；②曲线上任意一点到原点的距离都不超过1；③存在一个以原点为中心､边长为的正方形，使曲线在此正方形区域内（含边界）.其中，正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【分析】对于①，用替换方程中的，方程形式不变，即可求解，对于②，设点是曲线上任意一点，则，则点到原点的距离为，再结合基本不等式的公式，即可求解，对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1，所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即可求得正方形的边长最短为2，即可求解.【详解】解：对于①，用替换方程中的，方程形式不变，所以曲线关于直线对称，故①正确，对于②，设点是曲线上任意一点，则，则点到原点的距离为，由，解得，当且仅当时取等号，故②正确，对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1，所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2，故③错误.故选：A（2024·辽宁鞍山·二模）2．在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中正确的结论为（

）A．的最小值为2 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BCD【分析】对A，根据折线距离的定义，写出，利用绝对值放缩和绝对值不等式，可判断对错；对B，根据折线距离的定义，写出，利用基本（均值）不等式可判断对错；对C：利用圆的参数方程，结合折线距离的定义，写出，利用绝对值放缩和绝对值不等式，结合三角函数的最值，可判断对错；对D：利用抛物线的参数方程，，结合折线距离的定义，写出，利用绝对值放缩和绝对值不等式，结合二次函数的值域，可判断对错.【详解】对A：设，则（当且仅当时取“”）.故A错；对B：设，则.则，故B对；对C：设，，则（当且仅当，时取“”）.故C对；对D：设，，则（当且仅当时取“”）.故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是对“折线距离”的理解，根据新定义，写出折线距离；关键之二是含有绝对值的式子的处理，可根据绝对值的放缩和绝对值不等式，去掉绝对值的符号再求相关最值.设，构造椭圆，结合椭圆的定义计算可判定C；由椭圆焦半径及三余弦公式、余弦定理解三角形即可判定D.A、B选项同解法一；C选项设，构造椭圆，，B点可以看成是椭圆与圆的交点，当b最大时最大，所以当B在时最大，此时，所以，故周长的最大值是，故C正确；D选项由椭圆的焦半径公式得，又．根据三余弦公式有，所以；所以由余弦定理有，故D错．3．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中（O为坐标原点），把到定点和距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，记为Γ，已知为双纽线Γ上任意一点，有下列命题：①双纽线Γ的方程为；②面积最大值为；③；④的最大值为．其中所有正确命题的序号是（

）A．①② B．①②③C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】由已知，代入坐标整理即可得出方程，判断①；根据正弦定理，结合已知条件，即可判断②；根据面积公式，结合②的结论，即可判断③；根据余弦定理，以及向量可推得，即可判断④.【详解】对于①，由定义，即，即，整理可得，所以双纽线Γ的方程为，故①正确；对于②，，故②正确；对于③，因为，所以，故③正确；对于④，中，由余弦定理可得，所以.又因为，所以.所以，，即，整理可得，所以，故④正确.故选：D.4．已知F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线C上的两点，的中点M在C的准线上的投影为N，则（

）A．曲线C的准线方程为 B．若，则的面积为C．若，则 D．若，则【答案】BCD【分析】根据抛物线的标准方程，求出准线方程判断A；求出点A的纵坐标计算判断B；设出点A，B的坐标，结合向量垂直的坐标表示及均值不等式求解判断C；利用抛物线定义结合余弦定理、均值不等式推理判断D作答.【详解】抛物线的焦点，准线，设，有，，，曲线C的准线方程为，A不正确；，而，则，即有，的面积，B正确；由得：，显然，即有，，，当且仅当时取等号，C正确；设点的横坐标为，有，则，在中，，由余弦定理得：，由即有，当且仅当时取等号，因此，D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：1.根据抛物线的定义，可以得出一个结论：抛物线上的任意一点P到焦点F的距离都等于点P到准线的距离，这个结论是抛物线最重要的一条性质，很多有关抛物线的填空题和选择题都是围绕这条性质设计；2.何时使用定义：一般情况下，当题意中出现了"抛物线上的点与焦点的连线”或者出现了“抛物线上的点到准线(或垂直于抛物线对称轴的直线)的距离”的时候，都要优先考虑使用抛物线的定义来解题；3.抛物线的标准方程的表达式中含有一次项，根据这个特点，设抛物线上的点P的坐标就可以用一个变量进行表示，再结合相关的已知信息进行运算.由平行四边形的对角线定理及基本不等式可判定C；联立直线与曲线方程求出AB两点坐标，利用距离公式计算判定D.A，B选项同解法一；C选项由平行四边形的对角线定理有，所以．由基本不等式，有，当且仅当等号成立．故周长的最大值是，故C正确；D选项由题知直线AB的方程为，联立方程求得，，由两点间距离公式得，故D错．5．如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.和分别是“果圆”与x轴，y轴的交点.给出下列三个结论：①；②若，则；③若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P，使得，则.其中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】根据题意可知，，由此推导依次判断.【详解】由题可知，所以，；，，故①正确；由得，，又，得，，，②正确.以为直径的圆E:，与“果园”右侧有异于公共点的公共点，由方程组，得显然方程已有一根，另一根为，则，，，解得，故③正确.故选:D【点睛】思路点睛：求圆锥曲线中基本量的比值（或范围），常根据已知寻找关于基本量的等式或不等式，再通过解方程或不等式求解.（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）6．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（

）A．的准线为B．的最小值为C．以为直径的圆与轴相切D．若且，则【答案】B【分析】根据抛物线性质可得的准线为，即A错误；利用抛物线定义由基本不等式可求得B正确；由直线与圆的位置关系可得以为直径的圆与轴相交，即C错误；由可得。利用向量夹角的坐标表示可求得，即D错误.【详解】对于选项A，由抛物线的焦点可得，所以，即的准线为，故A错误；对于B，如下图所示：设直线的方程为，；联立直线与抛物线方程可得，可得；由抛物线定义可得；所以，当且仅当，即时，等号成立；即B正确；对于C，以为直径的圆的圆心为,此时圆心到轴的距离为，而，所以以为直径的圆与轴相交，即C错误；对于D，易知，由可知点在的垂直平分线上，所以；由即可得，如下图所示：，所以，同理可得，可得，所以，即D错误；故选：B【点睛】方法点睛：在求解夹角问题时可利用平面向量的坐标表示，利用数量积的符号确定夹角的大小或取值范围.7．已知曲线C：，直线l经过坐标原点O，则下列结论正确的是（

）A．曲线C是半径为1的圆B．点O一定不在曲线C上C．对任意的，必存在直线l与曲线C相切D．若直线l与曲线C交于A，B两点，则的最小值为2【答案】BD【分析】对于A，由可得，由此可判断；对于B，当，时，，由此可判断；对于C，由点O在曲线C的内部可判断；对于D，当时，最小，（弦心距最大，弦长最小），由此计算弦长可判断．【详解】解：对于A，由得，则曲线C是半径为的圆，故A错误；对于B，当，时，，可知点O在曲线C的内部，故B正确；对于C，因为点O在曲线C的内部，所以不存在直线l与曲线C相切，故C错误；对于D，圆心，，当时，最小，（弦心距最大，弦长最小），此时，故D正确．故选：BD．8．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线C：.其中星形线E：常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是（

）A．E关于y轴对称B．E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过C．E上的点到原点距离的最小值为D．曲线E所围成图形的面积小于2【答案】ABD【分析】A由、均在曲线上即可判断；B应用基本不等式即可判断；C由，结合立方和公式及B的结论即可判断；D根据与图形的位置关系判断.【详解】若在星形线E上，则也在E上，故E关于y轴对称，A正确；由，则当且仅当时等号成立，B正确；由，当且仅当时等号成立，故E上的点到原点距离的最小值为，C错误；曲线E过，，由，则在所围成的区域内部，而所围成的面积为2，故曲线E所围成图形的面积小于2，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：应用基本不等式有，由及立方和公式求两点距离，利用与图形的位置判断面积大小.9．已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（

）A．若直线l经过焦点F，且，则B．若，则直线l的倾斜角为C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切【答案】BC【分析】A选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由列出方程，求出，A错误；B选项，先得到直线经过抛物线焦点，与A一样，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合求出直线l的斜率，得到倾斜角；C选项，设，由抛物线定义结合基本不等式得到的最小值；D选项，与C一样，考虑直线l不经过焦点时，得到圆M与准线相离，D错误.【详解】A选项，由题意得：，准线方程为，当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线，与联立得：，故，则，所以，解得：，A错误；B选项，因为，所以三点共线，即直线经过抛物线焦点，当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线，与联立得：，故，因为，所以，代入中，得到，即，因为点A在第一象限，所以，故，即，，解得：故直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，解得：，B正确；C选项，设，过点作⊥准线于点，过点作⊥准线于点P，因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以⊥，则，由抛物线定义可知：，由基本不等式得：，则，当且仅当时，等号成立，故，即，C正确；D选项，当直线l不经过焦点时，设，由三角形三边关系可知：，由抛物线定义可知结合C选项可知：，即，若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相离，D错误.故选：BC【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．（2024·福建龙岩·三模）10．已知抛物线与圆交于A，B两点，且.过焦点的直线与抛物线交于M，N两点，点是抛物线上异于顶点的任意一点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则（

）A．若，则直线的斜率为 B．的最小值为18C．为钝角 D．点与点的横坐标相同时，最小【答案】BCD【分析】根据抛物线与圆的方程可得，代入抛物线方程可得，即可根据向量的坐标关系求解坐标，由斜率公式即可求解A，根据焦点弦的性质，结合基本不等式即可求解B，联立直线与抛物线方程，根据数量积即可求解C，根据焦半径公式以及点点距离公式可得，即可结合不等式求解D.【详解】因为抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，则第一象限内的交点A的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为2，即，所以，，即抛物线方程为，焦点为.设，对A，由得，则，又因为，解得，所以直线l的斜率为，故A错误；对B，由抛物线定义得，所以，当且仅当，即时等号成立，因此的最小值为，故B正确；对C，如图，不妨设在第一象限，

设，设直线，联立抛物线的方程消，得，又，所以，，，为钝角，故C正确；对D，，，设，则，由抛物线的定义可得，，又，则，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用11．定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为.【答案】【分析】先根据新定义，利用二倍角公式判断最小时最小，再设，利用距离公式，结合二次函数最值的求法求得最小值，即得结果.【详解】解：如图，，要使最小，则最大，即需最小.设，则，∴当，即时，，，此时或，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于理解新定义，将的最小值问题转化为线段最小问题，结合二次函数求最值即突破难点.12．如图，把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，，，，分别是“曲圆”与轴，轴的交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于，两点，则的周长的取值范围是.【答案】【分析】根据，，得到圆的半径为，即，从而得到椭圆方程和圆的方程，设，分为，，三种情况分别表示出的周长，得到关于的函数，从而得到其取值范围.【详解】圆弧的半径为，，，所以可得圆弧的半径为，即，所以，所以曲圆的方程为：，，设，的周长为，①当时，在圆上，在椭圆上，；②当时，、都在椭圆上，；③当时，在圆上，在椭圆上，；所以的周长的周长范围为：.故答案为：.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，圆的弦长公式，分段函数求值域，考查分类讨论的思想，属于中档题.（24-25高三上·上海·开学考试）13．如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，.“果圆”与x轴的交点分别为、，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得，则的取值范围为.

【答案】【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，已知夹角的情况下，可以利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再有点的变化范围得到相应不等式，从得出取值范围。【详解】设，，，∵，∴，，，，或(舍去），令，则，∵，∴，解得，故答案为：（24-25高二上·北京·阶段练习）14．造型在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线.已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为4，若动点满足，则动点的轨迹就是一个双纽线.下列说法正确的是.①轨迹仅经过一个整点（即横､纵坐标都是整数的点）；②若点位于椭圆上，且，则的离心率为；③点与原点之间的距离不超过；④若直线与曲线有且仅有一个公共点，则或.【答案】①③④【分析】根据双纽线定义利用求得轨迹的方程为，利用换元法构造方程可得经过整点；再由椭圆定义以及余弦定理计算可知当时，的离心率为；由曲线方程可得点与原点之间的距离为；联立直线和曲线方程根据交点个