第10讲 主元法巧解双变量或多变量问题（原卷版）

第10讲主元法巧解双变量或多变量问题【典型例题】例1．（2024·全国·一模）已知函数是定义在上的奇函数，对于任意，，总有且．若对于任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（）A． B．或C．或 D．或或例2．（2024·高三·全国·专题练习）已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则b的最小值为.例3．（2024·浙江衢州·一模）已知实数a，b，c满足，则的最小值是.例4．（2024·高一·浙江湖州·期末）已知实数a，b，c满足，则abc的最小值是．例5．（2024·高三·全国·竞赛）实数，，满足，.则的最小值是.例6．（2024·江苏徐州·一模）设实数，，，满足，，则的取值范围是．例7．（2024·高三·全国·专题练习）若，，设，则的最小值为．例8．（2024·河南商丘·二模）已知函数.（1）如图，设直线将坐标平面分成四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围；（2）当时，求证：且，有.例9．（2024·高三·山西太原·阶段练习）知函数．(1)求函数的单调区间和最小值；(2)当时，求证：（其中为自然对数的底数）；(3)若，求证：．例10．（2024·高三·江西南昌·阶段练习）已知函数．（1）求的最小值；（2）讨论关于x的方程的解的个数；（3）当a＞0，b＞0时，求证：．例11．（2024·高二·河南驻马店·期末）已知函数.（1）讨论的单调性;（2）当时，证明:【过关测试】一、单选题1．（2024·高二·河北衡水·阶段练习）已知函数，对于，若，满足，则的取值范围是A． B．C． D．2．（2024·高三·江西·阶段练习）设函数，若时，＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（-∞，0） C．（-∞，） D．（-∞，1）3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是A．(-3，+) B．(-1，+) C．(-，-3) D．(-，-1)4．（2024·高三·全国·专题练习）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项的和为，满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2024·高一·浙江金华·期末）若存在正实数，使得，则A．实数的最大值为 B．实数的最小值为C．实数的最大值为 D．实数的最小值为6．（2024·浙江台州·一模）已知函数在区间上有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2024·浙江·二模）已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则（

）A．b的最小值为4 B．b的最小值为6C．b的最小值为8 D．b的最小值为108．（2024·高三·浙江湖州·期末）已知实数，，满足，则的最小值是A． B． C．-1 D．二、填空题9．（2024·高二·全国·假期作业）设首项为，公差为的递增等差数列的前项和为，其中，为实数，若，则的取值范围是．10．（2024·高三·全国·专题练习）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围为．11．（2024·高二·浙江·期末）若，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是．12．（2024·高三·浙江·阶段练习）若正数，，满足，则的最大值是.13．（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为．三、解答题14．（2024·天津南开·模拟预测）已知函数，（为自然对数的底数）(1)当时，求的单调区间；(2)时，若函数与的图象有且仅有一个公共点.（i）求实数的集合；（ii）设经过点有且仅有3条直线与函数的图象相切，求证：当时，.15．（2024·高三·北京·开学考试）已知.(1)若，求在处的切线方程；(2)设，求的单调区间；(3)求证：当时，.16．（2024·高三·全国·专题练习）设函数.(1)求的极值；(2)设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；(3)若，证明：.17．（2024·高一·湖南·阶段练习）设是有序实数对构成的非空集，是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，其中称为二元函数的定义域.(1)已知，若，求(2)非零向量，若对任意的，记，都有，则称在上沿方向单调递增.已知.请问在上沿向量方向单调递增吗？为什么？(3)设二元函数的定义域为，如果存在实数满足：①，都有，②，使得.那么，我们称是二元函数的最小值.求的最大值.18．（2024·高三·浙江湖州·期中）设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”.(1)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；(2)设，.设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为.若，且，求的最小值.19．（2024·高三·山西晋中·阶段练习）设函数，a，b，，为的导函数．（1）若，，且和的零点均在集合中，求的极小值；（2）若，，，且的极大值为M，比较M与大小关系，并说明理由？20．（2024·高三·浙江杭州·期中）已知实数a≠0，设函数．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）对任意均有，求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．21．（2024·高三·广东广州·阶段练习）已知实数，设函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若对任意的，均有，求的取值范围.(注：为自然对数的底数.)22．（2024·高三·江苏南京·开学考试）已知实数，设函数，．(1)当时，求函数的单调区间；(2)对任意均有，