第11讲 函数模型及其应用（教师版）

第11讲函数模型及其应用题型梳理题型梳理题型方法题型一已知函数模型求解实际问题题型二构造函数模型求解实际问题知识清单知识清单1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值的变化而各有不同2．常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数，k≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)题型方法题型方法【题型一】已知函数模型求解实际问题【例1】（2020·山东·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（

）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.【详解】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.解题技巧已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．【举一反三】【变式1】（2025·江西·二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间（单位：小时）的函数关系式为，当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（

）（参考数据：）A．100小时 B．300小时 C．1000小时 D．3000小时【答案】C【分析】利用对数性质求解指数方程可得答案.【详解】由题意得，所以，即，两边同时取以10为底的对数，得，所以.故选：C.【变式2】（2025·江苏南通·模拟预测）心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在后该学生记忆了20个单词.该学生记忆38个单词大约需要.【答案】10【分析】根据已知条件求出记忆率，再据此求出记忆38个单词所需的时间.【详解】步骤一：根据已知条件求出记忆率已知函数，其中表示需要记忆的量，表示记忆率，表示时间（min），表示在时间内能够记忆的量.已知，当时，，将这些值代入函数中，可得：，可得：，即，可得：，两边同时取自然对数可得：可得：，则.步骤二：求出记忆38个单词所需的时间当，，时，代入函数中，可得：可得：，即，可得：，两边同时取自然对数可得：可得：因为，所以，可得：，解得.故该学生记忆38个单词大约需要10min.故答案为：10.【变式3】（2024·江苏苏州·模拟预测）生物学中，我们常用Sigmoid型曲线描述当某生态系统中存在某一物种的天敌且食物、空间等资源也不充足时，该物种种群数量随时间的变化．利用该曲线，从事有关生物行业的一些人们可以依据定义在R上的函数来辅助决策，如何时捕捞才能实现可持续发展等．(1)记的导数为，若，求；(2)若是的渐近线，则我们称为该生态系统的值．某鱼塘的某种鱼的种群数量变化满足Sigmoid模型，其值为．通过计算求该鱼塘中该种鱼种群数量为多少时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量（即瞬时变化率最大）．【答案】(1)(2)当种群数量为时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量【分析】（1）求出函数导数，将与代入中化简求解即可；（2）根据题意要函数瞬时变化率最大，即转化为求的最大，利用函数导数求解分析即可.【详解】（1）因为，所以，此时因为，所以即，由，所以，解得．（2）由（1）知，要函数瞬时变化率最大，即求的最大值，则令，令，则，解得（舍），，解得．因此可列表：x＋－↗↘因此可得是的极大值点，因此在时，该鱼塘可以持续获得最大捕捞量，因此．而，因此可知当种群数量为时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量．【题型二】构造函数模型求解实际问题【例2】（2023·陕西商洛·模拟预测）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】首先由条件抽象出经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量的函数，再结合指对运算，解不等式.【详解】设经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为，则，令，解得，两边取常用对数得，即即，因为，，所以，解得，因为，所以的最小值为9．故选：A解题技巧构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．【举一反三】【变式1】（2021·江西·模拟预测）一超市对某种原价55元每箱的酸奶进行促销活动，促销方案如下表所示，若顾客甲买该酸奶共用去360元，则顾客甲共购买酸奶____________箱.购买量促销价不超过2箱的部分52元/箱超过2箱但不超过4箱的部分48元/箱超过4箱的部分40元/箱【答案】8【分析】设顾客甲购买了x箱酸奶，根据顾客甲花费的题意和钱数可得答案.【详解】设顾客甲购买了x箱酸奶，因为共用去360元，根据题意可得，所以，解得，则顾客甲共购买酸奶8箱.故答案为：8.【变式2】（2023·四川绵阳·模拟预测）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三挡：月用电量不超过200度的部分按元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按元/度收费，超过400度的部分按元/度收费.

(1)求某户居民月用电费（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题目条件，分段列出函数解析式即可；（2）将代入（1）中解析式得到的值，再结合频率分布直方图求的值；【详解】（1）当时，；当时，，当时，，所以与之间的函数解析式为，（2）由（1）可知：当时，，则，结合频率分布直方图可知：，∴【变式3】（2020·辽宁沈阳·三模）某快餐连锁店，每天以200元的价格从总店购进早餐，然后以每份10元的价格出售．40份以内，总店收成本价每份5元，当天不能出售的早餐立即以1元的价格被总店回收，超过40份的未销售的部分总店成本价回收，然后进行环保处理．如果销售超过40份，则超过40份的利润需上缴总店．该快餐连锁店记录了100天早餐的销售量（单位：份），整理得下表：日销售量253035404550频数10162824148完成下列问题：（1）写出每天获得利润与销售早餐份数（）的函数关系式；（2）估计每天利润不低于150元的概率；（3）估计该快餐店每天的平均利润．【答案】（1）；（2）0.74；（3）元．【分析】（1）按和分类，其中，利润都是200元，时，需扣除未销售部分的损失，由此可得函数关系式；（2）根据表中数据计算利润，可得获利不低于150元的频数，然后可计算出概率；（3）利用统计表所统计的频数估算出平均利润．【详解】解：（1），即.（2）根据（1）中函数关系完成统计表如下：日销售量253035404550频数10162824148获得利润65110155200200200所以获利不低于150元的概率为.

（3），所以快餐店每天平均利润为元.【点睛】本题考查分段函数模型的应用，考查统计图表的应用、用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键．本题考查了学生的数据处理能力，运算求解能力．好题必刷好题必刷一、单选题1．（2025·湖南长沙·模拟预测）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，E表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（

）（参考数据：）A．75 B．77 C．79 D．81【答案】C【分析】根据已知模型结合指对数转化计算求解.【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为，当时，，代入得，解得，当学习率衰减到0.2以下（不含0.2）时，，则，即，则，所以所需的训练迭代轮数至少为79．故选：C.2．（2021·云南昆明·模拟预测）饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到法律处罚.检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于，小于的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于的驾驶行为.”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低.某人饮酒后测得血液中的酒精含量为，若经过小时，该人血液中的酒精含量小于，则的最小值为（参考数据：）（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】先求经过小时，该人血液中的酒精含量，由此列出关于的不等式，利用指数不等式与对数的运算求解即可.【详解】经过小时，该人血液中的酒精含量为，由题意得，，即，解得：，所以的最小值为8.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的实际应用，解题的关键是弄清题意，得出数学模型，考查学生的逻辑思维与运算求解能力，属于基础题.3．（2023·四川内江·一模）习近平总书记多次强调生态文明建设关系人民福祉、关乎民族未来，是事关实现“两个一百年”奋斗目标；事关中华民族永续发展的大事.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（

）（参考数据：，）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知关系可构造不等式，利用指数与对数互化可得，结合换底公式和对数运算法则可求得的最小值.【详解】设排放前需要过滤次，则，，，又，，即排放前需要过滤的次数至少为次.故选：C.4．（2020·全国·一模）中央电视台综合频道每天晚上的“焦点访谈”是时事､政治评论性较强的一个节目，坚持用“事实说话”，深受广大人民群众的喜爱，其播出时间是晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”.即晚上7点半到8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻也是时针与分针重合的时刻，高度显示“聚焦”之意，比喻时事､政治的“焦点”，则这个时刻大约是（

）A．7点36分 B．7点38分 C．7点39分 D．7点40分【答案】B【分析】根据题意，找出时针每分钟与分针每分钟转过的角度，列方程即可求解.【详解】设7点t分()时针与分针重合.在7点时，时针与分针所夹的角为，时针每分钟转，分针每分钟转，则分针从到达需旋转，时针从到达需旋转，于是，解得(分).故选B.5．（2023·浙江·二模）绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度（即梯形的高）约为（

）（参考数据：）A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米【答案】B【分析】如图设横截面为等腰梯形，于，求出资金3万元都用完时，设，再根据梯形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.【详解】如图设横截面为等腰梯形，于，，要使水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，则，解得米，设，则，故，且，梯形的面积，当时，，此时，即当过水横断面面积最大时，水渠的深度（即梯形的高）约为0.87米.故选：B.二、多选题6．（2025·重庆·二模）从2024年3月1日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每血液中乙醇含量大于或等于，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量（单位：）与酒后代谢时间（单位：）的数量关系满足．则张师傅此次饮酒后（

）A．当代谢时间时，血液中的乙醇含量最低B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间的增函数，然后是代谢时间的减函数C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为D．若执意驾车，饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾【答案】BD【分析】整理可得，结合对勾函数性质分析单调性和最值，进而逐项分析判断.【详解】由题意可知：，则，由对勾函数可知：在内单调递减，在内单调递增，则在内单调递增，在内单调递减，故B正确；当时，取到最大值1，即当代谢时间时，血液中的乙醇含量最高为，即每血液中乙醇含量为，故A错误；因为，可知饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾，故C错误，D正确；故选：BD.7．（2025·甘肃定西·模拟预测）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据：声强声强级102030已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】首先代入表格数据中的前2组数据，求，判断A，再根据解析式，代入求，判断B，根据解析式，结合，求的范围，判断C，根据不等关系，结合对数运算公式，判断D.【详解】由题意可得.即，解得.所以，故A正确；因为，所以，解得，故B错误；由，得，故C正确；设烟花噪声､鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由题意知，，，所以，所以，所以，即，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题8．（2023·海南·模拟预测）新能源汽车是未来汽车的发展方向之一，一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量（辆）与创造的价值（万元）之间满足一次函数关系.已知产量为时，创造的价值也为；当产量为辆时，创造的价值达到最大，为万元.若这家工厂希望利用这条流水线创收达到万元，则它应该生产的新能源汽车数量是.【答案】【分析】设，根据已知条件可求得，代入即可求得结果.【详解】由题意可设：，则，解得：，，则当时，，即应生产的新能源汽车辆.故答案为：.9．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深与时间之间的关系，该函数的表达式为．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为小时（保留整数）．时刻水深m时刻水深m时刻水深m0：005.09：182.518：365.03：067.512：245.021：422.56：125.015：307.524：004.0【答案】4【分析】第一空根据表中数据的周期性规律判断为正弦型函数，先由周期计算出，再由最值计算出A和b，最后由最大值处的数据计算出，即可得到函数的表达式；第二空先判断出水深的最小值，再由前面求得的函数列不等式，求出解集的宽度即为安全停留时长.【详解】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.设该函数表达式为，由表中数据可知，一个周期为12小时24分，即744分钟，所以，，，则该函数的表达式为：.由题可知，水深为米以上时安全，令，解得，即安全时间为分钟，约4小时.故答案为：；4.10．（2023·上海崇明·二模）在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设．【答案】①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）；（答案不唯一，只要写出一个即可）【分析】利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可.【详解】根据题意可知和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等；故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（不唯一）.四、解答题11．（2022·上海黄浦·一模）某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：(1)求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到0.1万吨）(2)该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？【答案】(1)；(2)2025.【分析】（1）由题利用等差数列及等比数列求和公式可求该地区年通过填埋方式处理的垃圾总量为，即求；（2）由题得，即得.【详解】（1）设从2021年起该地区每年产生的生活垃圾量（单位：万吨）构成数列，每年通过环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，该地区年通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则，当时，，∴2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾总量约万吨.（2）由得，，∴即，∴，，，，所以该地区在2025年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%.12．（2023·贵州六盘水·模拟预测）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.水城春茶因富含有机茶硒和十余种人体必需的微量元素而享誉贵州省内外.经验表明，水城春茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是，室温是，则经过时间t（单位：分钟）后物体的温度（单位：）满足，其中k为正常数.该研究小组在的室温下，通过多次测量取平均值的方法，测得200mL初始温度为的水的温度降至相应温度所需时间如下表所示：从降至所需时间3.4分钟从降至所需时间5.0分钟(1)从上表中选取一组数据求出k的值（精确到0.01），并根据上述冷却模型写出冷却时间t关于冷却后水温的函数解析式；(2)在（1）的条件下，现用200mL水在的室温下泡制水城春茶，从泡制到获得最佳饮用口感约需要多少分钟？（精确到0.1分钟）（参考数据：，，，）【答案】(1)(2)分钟【分析】（1）根据所选择数据代入解析式，利用对数运算公式和参考数据可得；（2）将代入（1）中解析式计算可得.【详解】（1）由题可知，有，若取第一组数据，则有，得，此时解析式为；若取第二组数据，则有，解得，此时解析式为.综上，所求解析式为（2）由（1）知，，令，