第01讲 集合（解析版）

第一章《集合与常用逻辑用语、不等式、复数》第01讲集合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B或B⫌A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(5)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集，2n－1个非空子集，2n－2非空真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA一．集合的含义与表示例1．（1）下列元素与集合的关系中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分别表示的数集，对选项逐一判断即可.【详解】不属于自然数，故A错误；不属于正整数，故B正确；是无理数，不属于有理数集，故C错误；属于实数，故D错误.故选:B.（2）已知集合，则中元素的个数为（

）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】当时，；当时，；当时，；所以共有9个，故选：A.【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.（3）已知集合，，则（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】依题意可得或，分别求出的值，再代入检验是否满足集合元素的互异性，即可得解.【详解】∵，∴或．若，解得或．当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，集合，满足题意，故成立．若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，．故选：D．（4）已知，，若集合，则的值为（

）A． B． C． D．【复习指导】：1.注意记忆区分常见数集的大写字母表示；2.注意分类讨论，尤其要考虑集合的互异性。【答案】B【解析】本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果.【详解】因为，所以，解得或，当时，不满足集合元素的互异性，故，，，故选：B.【点睛】易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题.二．集合间的基本关系例2．（1）已知集合，，则的子集个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．8个【答案】C【分析】求出集合A中元素，再求，则子集个数可求.【详解】，，则的子集个数是.故选：C.（2）已知集合，若，则实数的取值所组成的集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】考虑与两种情况，进行求解.【详解】，当时，，满足条件，当时，或，即或解得或.综上可得，实数的取值所组成的集合是.故选：C.（3）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可得，由此可得出结论.【详解】任取，则，其中，所以，，故，因此，.故选：C.（4）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（）A． B．C． D．【复习指导】:1.能把集合元素一一列举出来分析集合间关系的题，可考虑列举法对比；2.集合元素是范围形式的，考虑画数轴分析。【答案】ABC【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项.【详解】当时，，即，此时，符合题意，当时，，即，由可得或，因为，所以或，可得或，因为，所以，所以实数的取值范围为或，所以选项ABC正确，选项D不正确；故选：ABC.三．集合的基本运算命题点1集合的运算例3．（1）设集合，，则(

)A．B．C．D．【答案】D【分析】化简集合A，B，再利用数轴求出结论.【详解】由得，则有，，∵在上单调递增，则，，如图，观察数轴得.故选：D（2）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出绝对值不等式和对数不等式的解集，得出集合，进而可求出.【详解】由，得或，所以，由，得，所以，所以.故选：A.（3）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出与的值域，得到与，进而求出.【详解】，所以，，所以，故故选：D（4）若集合，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义直接求解作答.【详解】不等式化为：，解得：，则，不等式，即，整理得：，解得，则，所以.故选：D（5）已知全集U=R，集合，，则=（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出集合B，再根据补集的定义求得，再根据交集的运算即可得出答案.【详解】解：，所以=．故选：B.（6）已知集合，则（

）A． B．C． D．【复习指导】：1.集合的运算要注意其中考查到的各种不等式的计算，可结合第03讲《解不等式》进行综合复习；2.如果是运用描述法表示集合，并且出现函数解析式时，要特别注意元素是还是。【答案】B【分析】先根据题意得，，再根据集合运算即可求解.【详解】因为集合，所以，，，∴.故选：B【点睛】本题考查集合的运算，一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，考查运算能力，是基础题.命题点2利用集合的运算求参数的值（范围）例4．（1）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由单调递增，解出指数不等式的解集得集合A，因，结合数轴可求得的取值范围.【详解】解：，，又，结合数轴可得，所以的取值范围为.故选：D.（2）设集合，或，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解.【详解】因集合，若，有，解得，此时，于是得，若，因或，则由得：，解得：，综上得：，所以实数的取值范围为.故选：A（3）若集合有且仅有两个子集，则实数__________；【答案】0或2或18【分析】集合有且仅有两个子集，由于空集是任何集合的子集，所以集合是单元素集合，即方程只有一个根或两个相等的实数根，分和两种情况求出实数即可.【详解】∵集合有且仅有两个子集,∴集合中有且仅有一个元素,即方程有一个根或者两个相等的实数根.当时,方程仅有一个实数根,满足题意;当时,令,解得或.综上,或或.故答案为：0或2或18.（4）已知集合,或，若，求实数a的取值范围．【复习指导】：1.此类题型要注意分类讨论；2.检验所列不等式和最终结果的范围是否含有“=”，一定要看清楚选项中区间的表示，是选择闭区间还是开区间。【答案】【分析】由已知，根据条件给的集合A和集合B，结合，通过对集合A进行分类讨论，讨论集合是不是空集，然后借助数轴从而确定参数的取值范围.【详解】由，得，从而．①若，则，解得；②若，在数轴上标出集合A，B，如图所示，则，解得．综上，实数a的取值范围是．四．集合的新定义问题例5．（1）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（

）A．16 B．18 C．14 D．8【答案】A【分析】由题设，列举法写出集合，根据所得集合，加总所有元素即可.【详解】由题设知：，∴所有元素之和.故选：A.（2）已知，是任意两个非空集合，定义集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题中条件，可直接得出结果.【详解】由题意.故选：B.（3）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则的真子集个数为（）A．31 B．63 C．32 D．64【答案】B【分析】根据条件即可求出集合P*Q的元素个数，从而可得出集合P*Q的真子集个数．【详解】解：根据题意得，，则中有6个元素，∴的真子集个数为26﹣1＝63个．故选：B．（4）已知全集，定义，若，，则______．【复习指导】：严格按照新定义进行解题，多读几遍题目理解清楚题意，结合所学知识灵活变通。【答案】【分析】利用集合运算的新定义和补集运算求解.【详解】全集，定义，，所以，所以.故答案为：1．设全集，集合M满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先写出集合,然后逐项验证即可【详解】由题知,对比选项知，正确,错误故选:2．已知集合,则中所含元素的个数为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】列举法得出集合，共含个元素．故答案选3．若集合，集合，若，则实数的取值集合为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题中条件可得或，解方程即可.【详解】因为，，，所以或，解得或，所以实数的取值集合为.故选：D.4．(2020·全国Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a等于()A．－4B．－2C．2D．4【答案】B【详解】A＝{x|－2≤x≤2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2))))).由A∩B＝{x|－2≤x≤1}，知－eq\f(a,2)＝1，所以a＝－2.5．下列各式中关系符号运用正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.【详解】根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.6．已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题知，再根据集合关系求解即可.【详解】解：因为，所以，因为，，所以，解得，所以，实数的取值范围是故选：D7．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化简集合A,B,再判断每一个选项得解.【详解】∵，，由此可知，，，，故选A．【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8．集合或，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．【详解】解：，①当时，即无解，此时，满足题意．②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得．当时，可得，要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是．故选：A．【点睛】易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为.9．已知集合，则满足条件的集合的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】求解一元二次方程，得，易知.因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.10．已知集合，，若，则（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【详解】因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.11．已知，若集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，若，则或，不满足必要性，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.12．若集合，则的子集个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.【详解】解：，则的子集个数为个，故选：D.13．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则()．A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．BA D．AB【答案】B【详解】依题意，又因为B＝{x|－＜x＜}，由数轴可知A∪B＝R，故选B.14．设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出结果．【详解】∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A⊆B．故选D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．已知集合，，则中元素的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】采用列举法列举出中元素的即可.【详解】由题意，中的元素满足，且，由，得，所以满足的有，故中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.16．已知集合，，若，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合A，由得到，再分类讨论a的值即可.【详解】，因为，所以，当时，集合，满足；当时，集合，由，得或，解得或，综上，实数的取值集合为.故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽略时，集合满足，而错解.17．若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：D18．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（）个A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】先求出A∩B={3，5}，再求出图中阴影部分表示的集合为：CU（A∩B）={1，2，4}，由此能求出图中阴影部分表示的集合的真子集的个数．【详解】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，图中阴影部分表示的集合为：CU（A∩B）={1，2，4}，∴图中阴影部分表示的集合的真子集有：23–1=8–1=7．故选C．【点睛】本题考查集合的真子集的个数的求法，考查交集定义、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．设集合则=（）A． B． C． D．【答案】C【详解】A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．B＝{x|x2－1<0}＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1<x<1}＝{x|x>－1}，故选C．20．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再根据并集运算的定义求解即可．【详解】解：∵，，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．21．已知集合.，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据函数的定义域和函数的值域，化简集合，按照交集定义，即可求解.【详解】，，.故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，涉及到函数的定义域与值域，属于基础题.22．已知集合，，且、都是全集（为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（

）A． B．或C． D．【答案】C【解析】根据韦恩图可确定所表示集合为，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合，根据补集和交集定义可求得结果.【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示，，，.故选：.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.23．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求得集合，结合图象求得正确结论.【详解】，所以，图象表示集合为，，.故选：B24．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据求函数的值域求出集合A，然后解一元二次方程求出集合B，进而根据集合的补集与并集的概念即可求解.【详解】因为，由于，所以，故所以，则或，故或，故选：B.25．若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解出集合A、B,再求.【详解】因为，，所以.故选：A．26．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分别求出集合A、B，再求.【详解】因为函数在单减，在上单增，所以，要使函数有意义，只需，解得，所以，所以27．设集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意先简化，而含参数，故对参数进行分类讨论，进一步得到答案.【详解】集合,①当时，或，∵，结合数轴作图知，即得；②当时，显然；③当时，或，结合数轴作图知，此时恒成立，由①②③知.故选：B.【点睛】本题考查的是集合相关概念和分类讨论思想，命题体现了直观想象、数学基本运算的核心素养，属于比较简单的题型.28．若，，定义，则（）A． B．C． D．【答案】B【详解】试题分析：由题意，，所以,所以考点：新定义及集合的基本运算．【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求，即是集合A或B的元素，但不是集合A,集合B共有的元素,一般要在数轴上表示出来，形象直观，一定要注意端点值，看是否包括，是易错点．29．集合，集合，则集合等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简集合，根据集合的并集运算可得结果.【详解】，由得，所以，所以.故选：C30．已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先解出集合A、B，再求.【详解】，所以.故选：D31．已知集合,，则(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数函数单调性解集合，利用换元法和均值不等式求集合，然后利用集合间的交运算求解即可.【详解】由或，故或；不妨令，则，当且仅当时，即时，不等式取等号，故，从而.故选：C.32．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【详解】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．考点：1．集合的相关知识，2．新定义题型．33．已知集合，，则集合中的元素个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由即可求解满足题意的点的坐标.【详解】解：由题意，满足条件的平面内以为坐标的点集合，所以集合的元素个数为.故选：B.34．设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【答案】C【分析】由题意知，子集A和B不可以互换，即视为不同选法，从而对子集A分类讨论，当A是二元集或三元集或是四元集，求出相应的B，根据计数原理得到结论．【详解】解：对子集A分类讨论：当A是二元集{3，4}时，此时B可以为{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4结果；当A是三元集{1，3，4}时，此时B可以为{2，3，4}，{3，4}，共2种结果；当A是三元集{2，3，4}时，此时B可以为{1，3，4}，{3，4}，共2种结果；当A是四元集{1，2，3，4}时，此时B取{3，4}，有1种结果，根据计数原理知共有4+2+2+1＝9种结果．故选：C．35．已知集合S＝{0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的非空子集的个数为（

）A．16 B．17 C．18 D．20【答案】D【分析】由集合S＝{0，1，2，3，4，5}，结合x∈A时，若有，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得出答案.【详解】∵当xA时，若有x－1A，且x＋1A，则称x为A的一个“孤立元素”，∴单元素集合都含“孤立元素”．S中无“孤立元素”的2个元素的子集为{0，1}，{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}，共5个，S中无“孤立元素”的3个元素的子集为{0，1，2}，{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，共4个，S中无“孤立元素”的4个元素的子集为{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}，共6个，S中无“孤立元素”的5个元素的子集为{0，1，2，3，4}，{1，2，3，4，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，共4个，S中无“孤立元素”的6个元素的子集为{0，1，2，3，4，5}，共1个，故S中无“孤立元素”的非空子集有20个，故选D.【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，我们根据定义列出满足条件的所有不含”孤立元素”的集合，进而求出不含”孤立元素”的集合个数.36．定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.【详解】因为，，，所以，故集合中的元素个数为3，故选：C.37．已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别对，，的符号进行讨论，计算出集合的所有元素，再进行判断.【详解】根据题意，分4种情况讨论；①、全部为负数时，则也为负数，则；②、中有一个为负数时，则为负数，则；③、中有两个为负数时，则为正数，则；④、全部为正数时，则也正数，则；则；分析选项可得符合．故选：A.38．（多选）已知集合，集合，下列关系正确的是（

）．A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．【详解】由已知集合，集合是由抛物线上的点组成的集合，A正确，B错，C正确，D正确，故选：ACD．【点睛】本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．39．（多选）若集合，则之间的关系是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据集合间的关系分析理解.【详解】∵，，且为奇数，为整数，∴，即，A、D错误，C正确；又∵，且均为整数，∴，B正确；故选：BC.40．（多选）定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集.下列集合是集合的孙子集的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据孙子集的定义，结合各选项集合与集合B的关系，即可确定正确选项.【详解】A：为集合B的真子集，当不是非空集，不合要求；B：为集合B的真子集，且为非空集，符合要求；C：为集合B的真子集，且为非空集，符合要求；D：为集合B的子集，但不是真子集，不合要求.故选：BC41．用列举法表示集合＝________．【答案】{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}.【分析】利用题目条件，依次代入，使，从而确定出的值，即可得到答案【详解】，为的因数则则答案为【点睛】本题主要考查了集合的表示法，理清题意，找出满足条件的因数是关键，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．42．已知集合A={6，8}，B={3，5}.若集合C=，则集合C的子集有___________个.【答案】8【分析】一个集合中有n个元素，其子集个数为.【详解】x可能的结果有，，，，所以集合，因此子集个数为.故答案为：8.43．设集合，则集合的子集个数为________【答案】16【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解.【详解】解：，故A的子集个数为，故答案为：1644．已知集合或，，若，则实数的取值范围_