第01讲 集合（学生版）

第01讲集合题型梳理题型梳理易错分析易错点一忽视集合中元素的互异性易错点二忽视对空集的讨论易错点三端点值的取舍判断不清题型方法题型一判断元素与集合、集合与集合的关系题型二集合的交、并、补运算题型三参数取值（范围）问题题型四容斥原理题型五新定义问题知识清单知识清单1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：____________、____________、____________.(2)元素与集合的关系是________或________，用符号______或________表示．(3)集合的表示法：__________、____________、____________.(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N*(或N＋)2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作________(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或BA)．(3)相等：若A⊆B，且________，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是________________的子集，是________________________的真子集．3．集合的基本运算表示运算集合语言图形语言记法并集交集补集常用结论1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．易错分析易错分析【易错点一】忽视集合中元素的互异性【例1】（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（

）A．－1 B． C．0 D．【举一反三】【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（

）A．0 B． C．1 D．0或1【变式2】（2024·浙江温州·模拟预测）集合,则以下可以是的表达式的是（

）A． B． C． D．【变式3】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为．【易错点二】忽视对空集的讨论【例1】（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（

）A． B． C． D．【举一反三】【变式1】（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为．【变式3】（2024·安徽·模拟预测）已知，，若，则的取值范围为．【易错点三】端点值的取舍判断不清【例1】（2025·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【举一反三】【变式1】（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值范围是．【变式3】（2024·贵州·三模）已知集合，若，则实数的取值范围为.题型方法题型方法【题型一】判断元素与集合、集合与集合的关系【例1】（2022·全国乙卷·高考真题）设全集，集合M满足，则（

）A． B． C． D．解题技巧(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．【举一反三】【变式1】（2025·重庆·二模）已知全集，集合满足，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·甘肃白银·三模）已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．【变式3】（2025·江西·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为．【题型二】集合的交、并、补运算【例2】（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（

）A． B．C． D．解题技巧对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．【举一反三】【变式1】（2025·广东·模拟预测）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·天津·三模）已知全集，集合，集合，则，．【变式3】（2021·江西·模拟预测）设全集，集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【题型三】参数取值（范围）问题【例3】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（

）．A．2 B．1 C． D．【举一反三】【变式1】（2025·江苏南京·一模）设集合.若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是．【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，，若，则a的值为.【题型四】容斥原理【例4】（2020·山东·高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（

）A．62% B．56%C．46% D．42%【举一反三】【变式1】（2023·四川雅安·一模）设表示有限集合A中元素的个数.则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（

）A．700 B．800 C．900 D．1000【变式3】（2021·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为.【题型五】新定义问题【例5】（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT②对于任意x，yT，若x<y，则S；下列命题正确的是（

）A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素解题技巧解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．【举一反三】【变式1】（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（

）A．10 B．40 C．45 D．50【变式2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模），若定义，则中的元素有个．【变式3】（2025·北京海淀·二模）记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”：①，其中；②⫋，其中；③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得．(1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）(2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明：（i）当时，；（ii）．好题必刷好题必刷一、单选题1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（

）A． B．C． D．3．（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（

）A． B． C．或 D．或4．（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2024·广东·模拟预测）已知全集，集合，若有4个子集，且，则（

）A． B．集合有3个真子集C． D．6．（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（

）A．1 B．0 C． D．三、填空题7．（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则.8．（2024·天津和平·二模）设集合，，，则．9．（2022·江西九江·模拟预测）学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则