第06讲 函数y=Asin(wx ψ)的图象及其应用 高频考点-精讲（解析版）

第06讲函数的图象及其应用(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：函数的图象变换高频考点二：根据图象确定函数的解析式高频考点三：五点法作图高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用角度1：图象与性质的综合应用角度2：函数的零点（方程的根）的问题角度3：三角函数模型第四部分：高考真题感悟第一部分：知第一部分：知识点精准记忆1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数,的图象上,五个关键点是:(2)在余弦函数,的图象上,五个关键点是:2、五点法作图必备方法：五点法步骤③①②对于复合函数，第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行）第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。）第三步：得到五个关键点为：，,,,3、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移4、根据图象求解析式形如的解析式求法：1、求法：①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.3、求法：①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解.（第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近）②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解.③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案.第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·湖南·雅礼中学高二开学考试）将曲线：上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】曲线：上的点向右平移个单位长度，得到，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线的方程为．故选：2．（2022·河南信阳·高一期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【详解】，因此将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象.故选：C.3．（2022·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期末）已知函数，则函数的图象可以由的图象（

）A．向左平移得到 B．向右平移得到C．向左平移得到 D．向右平移得到【答案】A【详解】由题意，由的图象向左平移得到函数故选：A4．（2022·浙江·高三专题练习）函数的图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由图可知，过点，解得，将的图像向右平移个单位得到.故选:D.5．（2022·北京·人大附中高一阶段练习）如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由于表示距离，为非负数，所以BC选项错误.点的初始位置为，在第四象限，所以A选项符合，D选项不符合.故选：A第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析高频考点一：函数的图象变换典型例题例题1．（2022·四川省广汉中学高二开学考试（理））要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【详解】，因此将函数的图象向右平移个单位．故选：D．例题2．（2022·河北衡水中学高三阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向上平移个单位 D．向下平移个单位【答案】A【详解】因为，所以由函数的图象得到函数的图象，根据左加右减，只需向左平移个单位.故选：A.例题3．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）函数的图像如何由函数的图像平移得到（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】A【详解】由题意可得：函数函数向左平移个单位可得.故选：A.例题4．（多选）（2022·全国·高一）要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（

）A．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度【答案】BC【详解】函数的图象向左平移个长度单位，得，再将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得；函数图象将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得，再向左平移个长度单位，得，即.故选：BC题型归类练1．（2022·全国·高一课时练习）为了得到函数的图象，可以将函数图象上所有的点（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】C【详解】因为，所以应将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度.故选：C.2．（2022·广东·测试·编辑教研五高一阶段练习）将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】化解为故选D3．（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）要得到的图像，只需将函数的图像（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】A【详解】，需将函数的图象向左平移个单位.故选：A.4．（2022·北京铁路二中高一期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象至少向右平移______个单位．【答案】【详解】解：，，则，需将函数的图像至少向右平移个单位.故答案为：.高频考点二：根据图象确定函数的解析式典型例题例题1．（2022·浙江·高三专题练习）函数的图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由图可知，过点，解得，将的图像向右平移个单位得到.故选:D.例题2．（2022·河南开封·模拟预测（理））如图为函数的部分图像，将的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据函数的部分图像，可得∴再根据五点法作图，可得，∴，∴.将函数的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，可得得图像；在向左平移个单位长度，得到函数的图像，故选：D.例题3．（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由图象，，所以，又，，，，由得，所以，．故选：D．例题4．（多选）（2022·广东茂名·高一期中）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，为图象与轴的交点，且为正三角形，则下列结论中正确的是（

）A．的最小正周期为4B．在上单调递减C．的值域为D．图象上所有的点向右平移个单位长度后，图象关于轴对称【答案】BC【详解】因为函数其中，根据函数一个周期内的图象，可得为图象的最高点，，为图象与x轴的交点，且为正三角形，可得，解得，所以，故它的最小正周期为，所以A不正确；由，可得，可得单调递减，所以B正确；由三角函数的性质，可得的值域为，所以C正确；将图象上的点向右平移个单位后，得到，此时函数不是偶函数，所以图象不关于y轴对称，所以D错误，故选：BC．题型归类练1．（2022·浙江宁波·高二期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（

）A．B．C．的图象关于直线对称D．的图象向右平移个单位长度后的图象关于原点对称【答案】D【详解】根据图象可得：，则，即，A正确；∵的图象过点，则又∵，则∴，即，B正确；∴，则为最大值∴的图象关于直线对称，C正确；的图象向右平移个单位长度得到不是奇函数，不关于原点对称，D错误；故选：D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】平移不改变振幅和周期，所以由图象可知，，解得：,函数的图象向左平移个单位长度，得当时，，且，得所以，.故选：A3．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知函数的部分图像如图所示，则将的图像向左平移个单位后，所得图像的函数解析式为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题，由图，，所以，向左平移个单位后，得到故选：B.4．（多选）（2022·全国·高一）函数的图像如图，把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图像，下列结论正确的是（

）A．B．函数的单调递减区间为，C．函数在区间上单调递增D．直线是函数的一条对称轴【答案】BC【详解】根据图形可得：，则，∴图像过点，即∵，则或当时，不是最大值，不合题意当时，，符合题意，则，A错误；，，则∴函数的单调递减区间为，，B正确；∵，则∴函数在区间上单调递增，C正确；不是最值，D错误；故选：BC．高频考点三：五点法作图典型例题例题1．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习（理））已知函数.(1)试用“五点法”画出它的图象；列表：xy作图：(2)求它的振幅､周期和初相；(3)根据图象写出它的单调递减区间.【答案】(1)答案见解析(2)振幅，周期，初相为(3)（1）解：令，列表如下：xt0π2πy020-20描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象.（2）解：由图象得：振幅，周期，初相为.（3）解：由图象得单调递减区间为.例题2．（2020·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）已知函数（1）写出函数单调递减区间和其图象的对称轴方程；（2）用五点法作图，填表并作出在的图象.xy【答案】（1）递减区间，对称轴方程：；（2）见解析【详解】(1)

令，解得，令，解得，所以函数的递减区间为，对称轴方程：；(2)0xy131-11题型归类练1．（2021·广东·高一单元测试）(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.列表:

xy作图:(2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.(3)求函数图象的对称轴方程.【答案】(1)见解析(2)见解析(3).【详解】解:（1）先列表,后描点并画图0xy010-10；（2）把的图象上所有的点向左平移个单位,再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到的图象，即的图象；（3）由，所以函数的对称轴方程是.2．（2022·海南·海口中学高一期末）已知函数.(1)利用“五点法”完成下面表格，并画出函数在区间上的图像.(2)解不等式.【答案】(1)表格、图象见解析；(2)，.(1)由正弦函数的性质，上的五点如下表：0000函数图象如下：(2)由，即，故，，所以，，故不等式解集为，.高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用角度1：图象与性质的综合应用典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是奇函数.(1)求的值；(2)若将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到函数的图象，求.【答案】(1)；(2).（1）因为是奇函数，所以，即.又，所以，检验符合.（2）由（1）得：.将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到的图象.故.例题2．（2022·四川南充·高一期末）已知函数的部分图象，如图所示.(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.【答案】(1)(2)(1)解：根据函数的部分图象可得，，所以.再根据五点法作图可得，所以，.(2)将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.由，可得又函数在上单调递增，在单调递减，，函数在的值域.例题3．（2022·北京市第三十五中学高一阶段练习）设函数.(1)求函数的最小正周期和最大值，并指出取得最大值时的值；(2)将函数图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图像，写出表达式和单调递增区间.【答案】(1)最小正周期为，最大值为，(2)，单调增区间为(1)所以周期；当，即时，.(2)由题意知，，由，得，所以函数的单调增区间为.例题4．（2022·全国·高一单元测试）已知函数.(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间；(2)当，时，恒成立，求的最大值.【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为，(2)最大值为0（1）故函数的最小正周期.由得.∴函数的单调递增区间为，.（2）∵，∴，∴，.由恒成立，得，即.故a的最大值为0.题型归类练1．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数．(1)求的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)若的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，求函数在上的值域．【答案】(1)，（）(2)（1）因为，所以的最小正周期．令，，则，，所以图象的对称轴方程是，．（2）由题可知．因为，所以，所以，即，故在上的值域是．2．（2022·浙江·杭州市富阳区江南中学高一开学考试）已知函数，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数g（x）的图象.(1)求函数g（x）的解析式和值域；(2)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)，值域为[1，2](2)[3，+∞）（1）由题意可知函数g（x）的解析式为∵，.所以函数g（x）值域为[1，2]；（2）记，则由恒成立，可知恒成立.即恒成立，因为，所以令，因为h（t）在[1，]上单调递减，在上单调递增.又..当时，不等式恒成立.所以实数m的取值范围是[3，+∞）.3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数.(1)求函数在上单调递增区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍，横坐标缩小为原来的，向上平移1个单位长度得到函数的图象，求函数在上的最值.【答案】(1)函数的单调递增区间是；(2)最小值为，最大值为（1），令，因为，所以，所以在上单调递递增，函数在上单调递增.（2）由将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍，横坐标缩小为原来的，向上平移1个单位长度得到函数的图象，得：，因为，所以，所以，所以函数在上的最小值为，最大值为.角度2：函数的零点（方程的根）的问题典型例题例题1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二开学考试）已知函数.(1)求的最小正周期和对称轴方程；(2)若函数在存在零点，求实数的取值范围.【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为(2)（1）解：对于函数，所以函数的最小正周期为，令，解得，所以函数的对称轴的方程为.（2）解：因为函数在存在零点，即方程在上有解，当时，可得，可得，所以，解得，所以实数的取值范围.例题2．（2022·陕西汉中·高一期末）已知函数的部分图象如图．(1)求的表达式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数的图象．若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)（1）根据图象，可得，，∴∴，将代入f（x），得，即，，又，∴，∴．（2）将函数（x）的图象向右平移个单位长度，得曲线C，由题得，∵在[0，]上有两个不同的实数解，∴在[0，]上有两个不同的实数解．∵，令，∴，则需直线与的图象在有两个不同的公共点．画出在时的简图如下：∴实数m的取值范围是．例题3．（2022·广东·阳江市第三中学高一期中）已知函数(1)求的最小正周期和最大值；(2)将的图像向右平移个单位得到函数的图像，求在上的零点.【答案】(1)，最大值为(2)，(1)所以，当时，最大值为；(2)由将的图像向右平移个单位可得：令，得，故,即.因为，所以在上的零点为，．例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中常数．(1)若，将函数的图象向左平移个单位，得到的函数的图象，求；(2)若在，上单调递增，求的取值范围；(3)对（1）中的，区间，，且满足：在，上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的，中，求的最小值．【答案】(1)(2)，(3)(1)若，由题意得，向左平移个单位，得到的函数．故．(2)∵,当，时，又∵在，单调递增，∴，解得，∴的取值范围为，．(3)由函数可知，令，得，即．∴相邻两个零点之间的距离为，且周期，则要使在，上至少含有30个零点，至少包含14.5个周期．即．故的最小值为.题型归类练1．（2022·河南河南·高一期末）已知函数．(1)当时，求的取值范围；(2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)(1)解：因为．即∵，∴，∴，∴，故的取值范围为．(2)解：∵，∴．由（1）知，∵有两个不同的实数根，因为在上单调递增，在上单调递减，且当时，由正弦函数图象可知，解得，故实数的取值范围是．2．（2022·河南驻马店·高一期中（文））已知函数在一个周期内的图像如图所示.(1)求函数的解析式；(2)设，且方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(1)显然，又，所以，所以，又函数过点，所以，所以，又，所以，所以所求的函数的解析式为.(2)，且方程有两个不同的实数根，即与的图像在内有两个不同的交点，令，则，作出函数的图像如下：由图像可知：与的图像在内有两个不同的交点时，，故实数的取值范围为.3．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数的图象如图．(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围．【答案】(1)(2)(1)由图象最高点函数值为1，最低点函数值为，且，可知，函数最小正周期，所以，因为，所以，故，将点代入，可得：，因为，所以，所以.(2)由图象变换得：，当时，，，关于的方程有解，则.角度3：三角函数模型典型例题例题1．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，滚珠，同时从点出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠按逆时针方向每秒钟转弧度，滚珠按顺时针方向每秒钟转弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．(1)求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；(2)求从出发到第二次相遇滚珠，各自滚动的路程．【答案】(1)时间为4秒，(2)点滚动的路程为，点滚动的路程为．（1）设、第一次相遇时所用的时间是，则，（秒，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为，则，，点的坐标为，（2）第一次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为，故第二次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为．例题2．（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习）某研究小组调查了某港口水深情况，发现在一天（24小时）之内呈周期性变化，且符合函数，其中为水深（单位：米）t为时间（单位：小时）.研究小组绘制了水深图，部分信息如下：(1)求解析式(2)某艘货船满载时吃水深度为4.5米，空载时2.5米，按安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底距离），问：（i）该船满载时一天之内何时能进出港口？（ii）该船凌晨3点已经在港口卸货完毕准备空载离港;为确保安全，需在安全水深到达前半小时提前离港，问最迟在几点之前离港才能确保安全？【答案】(1)(2)（i）该船满载时一天之内0点到4点或12点到16点能安全进出港口；（ii）最多滞留到五点半可确保安全离港(1)由题意得：A=，，当x=2时最大，，又；(2)（i）由题意得：得：∴，解得：∵∴或或，答：该船满载时一天之内0点到4点或12点到16点能安全进出港口；（ii）空载时水深至少要4米，由得：又或或，因为6-0.5=5.5，所以最多滞留到五点半可确保安全离港.例题3．（2022·全国·高一课时练习）一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心离水面，已知水轮逆时针转动，每转一圈，且当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度表示为时间的函数；(2)点第一次到达最高点大约要多长时间？【答案】(1)(2)（1）解：以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则，，∵，∴，∴，∵时，，∴，∴，∵，∴，∴.（2）解：令，得，∴，，∴，，∴当时，P第一次到达最高点，∴点P第一次到达最高点大约要.题型归类练1．（2022·全国·高一）下图是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题：（1）写出这个简谐运动的振幅､周期与频率（2）从点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从点算起呢？（3）写出这个简谐运动的函数表达式.【答案】(1)振幅为2cm，周期为0.8s,频率为；(2)如果从O点算起，到曲线上D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完成了一次往复运动；(3).【详解】(1)从图像中可以看出：这个简谐运动的振幅为2cm，周期为0.8s,频率为；(2)如果从O点算起，到曲线上D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完成了一次往复运动；(3)设这个简谐运动的函数解析式为由图像可知：，又由，得：.所以所求简谐运动的函数解析式为.2．（2022·全国·高一课时练习）某地农业检测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增．下表是今年前四个月的统计情况：月份1月份2月份3月份4月份收购价格（元/斤）6765养殖成本（元/斤）344．65现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系．（1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式；（2）按照你选定的函数模型，帮助该部门分析一下，今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损？【答案】（1）模型①；模型②；（2）有可能．【详解】解：（1）对于模型①，由点及可得函数周期满足，即，所以，又函数最大值为，最小值为，解得，，所以，又，所以，又，所以，所以模型①；对于模型②，图象过点，，所以，解得：，所以模型②；（2）由（1）设，，若时则盈利，若则亏损；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；这说明第8，9，11，12这四个月收购价格低于养殖成本，生猪养殖户出现亏损．所以今年该地区生猪养殖户在接下