第06讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征（解析版）

备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）第十章计数原理、概率、随机变量及分布列第6讲离散型随机变量及其分布列、数字特征【考试要求】1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．1．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．2.离散型随机变量的分布列（1）对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量叫做离散型随机变量；（2）一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1，2，…，n）为X的概率分布列，简称分布列.Xx1x2…xnPp1p2…pn离散型随机变量的分布列也可以用如上表格表示.且具有如下性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.3．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值(数学期望)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝，其中pi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称eq\r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．5．均值(数学期望)与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．1、（多选）下列结论正确的是()A离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.B离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．C如果随机变量X的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它服从两点分布．D方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．E设X为随机变量，a，b为常数，则E(aX＋b)＝aE(X)＋b且D(aX＋b)＝a2D(X)；F设X为随机变量，则D(X)＝E(X2)－(E(X))2.【答案】BDEF2.．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示()A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局二次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【解析】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故{ξ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,2k)，k＝1，2，…，则P(2<X≤4)＝()A.eq\f(3,16)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,16)D．eq\f(5,16)【答案】A【解析】P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＝eq\f(3,16).故选A4.(多选)设离散型随机变量X的分布列为若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有()A．q＝0.1B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2【答案】ACD【解析】因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．故选ACD.5.(2020·浙江高考)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________；E(ξ)＝________.【答案】1【解析】因为ξ＝0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2，P(ξ＝1)＝eq\f(2,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝2)＝1－eq\f(1,3)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，所以E(ξ)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＝1.考点一离散型随机变量分布列的性质例1.设随机变量X的概率分布列如下：则（

）X－1012PA． B． C． D．【答案】C【详解】由分布列性质可得：，则，由,故选：C（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；（2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.【对点演练1】若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是()A．(－∞，2] B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)【答案】C【解析】由随机变量X的分布列知，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，故当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．【对点演练2】某电话亭中装有一部公用电话，在观察使用这部电话的人数时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n)，P(n)与时刻t无关，统计得到：P(n)＝，那么在某一时刻，这个电话亭一个人也没有的概率P(0)的值为()A.eq\f(32,63)B．eq\f(32,65)C．eq\f(31,63)D．eq\f(32,53)【答案】A【解析】由P(0)＋P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＝1，得，解得P(0)＝eq\f(32,63).故选A.【对点演练3】设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101Peq\f(1,3)2－3qq2则q的值为()A．1 B.eq\f(3,2)±eq\f(\r(33),6)C.eq\f(3,2)－eq\f(\r(33),6) D.eq\f(3,2)＋eq\f(\r(33),6)【答案】C【解析】由分布列的性质知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤2－3q≤1，,0≤q2≤1，,\f(1,3)＋2－3q＋q2＝1，))解得q＝eq\f(3,2)－eq\f(\r(33),6).考点二离散型随机变量的数字特征例2.（2023·山东枣庄·统考二模）某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宜传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．【解析】（1）设“有女生参加活动”为事件A，“恰有一名女生参加活动”为事件B．则，，所以．（2）方法一:“选取的两人中女生人数为i”记为事件，，则，，．由题意知X的可能值为，“得分为分”分别记为事件，，，，，则，，；，，；，，．；；；；，所以X的分布列为X2030405060P所以．方法二：根据题意，一名女生参加活动可获得分数的期望为，一名男生参加活动可获得分数的期望为．设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，，则，，．所以Y的分布列为Y012P则有，所以．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．【对点演练1】(多选)(2023·郑州模拟)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区的志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则()A．E(X)＝E(Y) B．E(X)≠E(Y)C．D(X)＝D(Y) D．D(X)≠D(Y)【答案】BC【解析】由题意得，随机变量X的所有可能取值为1,2,3，则P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),33)＝eq\f(1,9)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)A\o\al(2,3),33)＝eq\f(2,3)，P(X＝3)＝eq\f(A\o\al(3,3),33)＝eq\f(2,9)，所以E(X)＝1×eq\f(1,9)＋2×eq\f(2,3)＋3×eq\f(2,9)＝eq\f(19,9)，D(X)＝×eq\f(1,9)＋×eq\f(2,3)＋×eq\f(2,9)＝eq\f(26,81).随机变量Y的所有可能取值为0,1,2，则P(Y＝0)＝eq\f(A\o\al(3,3),33)＝eq\f(2,9)，P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(2,3)A\o\al(2,3),33)＝eq\f(2,3)，P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3),33)＝eq\f(1,9)，所以E(Y)＝0×eq\f(2,9)＋1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(1,9)＝eq\f(8,9)，D(Y)＝×eq\f(2,9)＋×eq\f(2,3)＋×eq\f(1,9)＝eq\f(26,81)，故E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)．【对点演练2】(2022·怀化模拟)已知ξ的分布列如表所示．ξ012P？！？其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此计算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)>1；③P(ξ＝0)≤eq\f(1,2)，正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】设“？”＝a，“！”＝b，则a，b∈[0,1]，2a＋b＝1.①E(ξ)＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正确；②D(ξ)＝(0－1)2×a＋(1－1)2×b＋(2－1)2×a＝2a≤1，因此②不正确；③P(ξ＝0)＝a＝eq\f(1－b,2)≤eq\f(1,2)，因此③正确．【对点演练3】（2023重庆市才中学模拟）某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则方差______．【答案】【解析】由题意知：，2，3，，，，∴的分布列为：123∴，，∴.考点三数学期望与方差的性质例3.若随机变量服从两点分布,其中,分别为随机变量的均值与方差,则下列结论不正确的是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】随机变量服从两点分布,其中,,

,

,

在A中,,故A正确;

在B中,,故B正确;

在C中,,故C错误;

在D中,,故D正确.

故选:C.【对点演练1】若数据,,,的平均数为,方差为,则下列说法错误的是()A.数据,,,的平均数为 B.C.数据,,,的方差为 D.【答案】C【解析】A:由原数据期望,则新数据期望,正确;

B:,正确;

C:由原数据方差,则新数据期望,错误;

D:由,

所以,正确.

故选:C.【对点演练2】某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质,现从不同地区采集了个样本,勘探队中的成员甲提议用如下方式进行检测,先将个样本分为组,每组再选取部分样本进行混合,对混合样本进行检测,如果不含该矿物质,则检测下一组,若含有该矿物质,则逐个检测;成员乙提议将个样本分为组或组等等.假设每个样本含有该矿物质的概率.且每个样本是否含有该矿物质相互独立.则下列选项中检测次数的期望值最小的是()(参考数据:,,)A.个一组 B.个一组 C.个一组 D.逐个检验 【答案】B【解析】若个一组时,每组检测次数为,或,

,,

的分布列是

,

总检测次数的期望为,

若个一组时,每组检测次数为,或,

,,

的分布列是

,

总检测次数的期望为,

若个一组时,每组检测次数为,或,

,,

的分布列是

,

总检测次数的期望为,

若逐个检测,总检测次数为,因此个一组检测次数的期望值最小,故选:B.考点四均值与方差中的决策问题例4、（2023河北衡水中学三模）某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果呈阳性的概率为2%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.(1)假设该疾病患病的概率是0.3%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；(2)根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人，试分析哪一个方案的工作量更少？参考数据：，.【解析】（1）设事件为“核酸检测呈阳性”，事件为“患疾病”.由题意可得，，，由条件概率公式得：，即，故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为14.7%.（2）设方案一中每组的检测次数为，则的取值为1，6，，，所以的分布列为160.9040.096所以，即方案一检测的总次数的期望为.设方案二中每组的检测次数为，则的取值为1，12，，，所以的分布列为1120.8010.199所以，即方案二检测的总次数的期望为.由，则方案二的工作量更少.【对点演练1】某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．【解析】(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10，则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56，所以X的分布列为X0410P0.20.240.56(2)小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：由(1)可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的均值E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56，若小明先进行三步上篮考核，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,6,10，P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，P(Y＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14，P(Y＝10)＝0.7×0.8＝0.56，则Y的均值E(Y)＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，因为E(X)>E(Y)，所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行定点投篮考核．【对点演练2】(2021·北京高考)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为eq\f(1,11)，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．【解析】(1)①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次．所以总检测次数为20.②由题意，知X可以取20,30，P(X＝20)＝eq\f(1,11)，P(X＝30)＝1－eq\f(1,11)＝eq\f(10,11)，则X的分布列为X2030Peq\f(1,11)eq\f(10,11)所以E(X)＝20×eq\f(1,11)＋30×eq\f(10,11)＝eq\f(320,11).(2)由题意，知Y可以取25,30，两名感染患者在同一组的概率为P1＝eq\f(20C\o\al(2,2)C\o\al(3,98),C\o\al(5,100))＝eq\f(4,99)，不在同一组的概率为P2＝eq\f(95,99)，则E(Y)＝25×eq\f(4,99)＋30×eq\f(95,99)＝eq\f(2950,99)>E(X)．1.某学校进行排球测试的规则：每名学生最多发4次球，一旦发球成功，则停止发球，否则直到发完4次为止．设学生一次发球成功的概率为p，且p∈，发球次数为X，则P(X＝3)的最大值为________；若E(X)<eq\f(15,8)，则p的取值范围是________．【答案】eq\f(4,27)【解析】由题意，得X的所有可能取值为1,2,3,4，所以P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p，P(X＝4)＝(1－p)3，令f(x)＝(1－x)2x＝x3－2x2＋x，x∈，则f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，当eq\f(1,6)<x<eq\f(1,3)时，f′(x)>0，当eq\f(1,3)<x<eq\f(5,6)时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)max＝f

＝×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27)，即P(X＝3)max＝eq\f(4,27).又E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2p＋4(1－p)3<eq\f(15,8)，即－p3＋4p2－6p＋eq\f(17,8)<0，令h(x)＝－x3＋4x2－6x＋eq\f(17,8)，x∈，则h′(x)＝－3x2＋8x－6＝－3－eq\f(2,3)<0，所以h(x)在上单调递减，又h＝0，所以当x∈时，h(x)<0，所以当p∈时，E(X)<eq\f(15,8).2.文具盒里装有支规格一致的圆珠笔,其中支黑笔,支红笔.某学校甲、乙、丙三位教师共需取出支红笔批阅试卷,每次从文具盒中随机取出一支笔,若取出的是红笔,则不放回;若取出的是黑笔,则放回文具盒,继续抽取,直至将支红笔全部抽出.

(1)在第次取出黑笔的前提下,求第次取出红笔的概率;

(2)抽取次后,记取出红笔的数量为,求随机变量的分布列;

(3)因学校临时工作安排,甲教师不再参与阅卷,记恰好在第次抽取中抽出第支红笔的概率为,求的通项公式.【解析】(1)根据题意,记事件:第次取出红笔;事件:第次取出黑笔,

则,

所以在第次取出黑笔的前提下,第次取出红笔的概率为.

(2)由题意,随机变量可能取值为,,,,

可得,,

,,

所以随机变量分布列为:

(3)由题意知:前次取了次红笔,第次取红笔,

则

.2.近两年因为疫情的原因,线上教学越来越普遍了.为了提升同学们的听课效率,授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测,即要求同学们在秒钟内在软件平台上按钮签到,若同学们能够在秒钟内完成签到,则说明该同学在认真听课,否则就可以认为该同学目前走神了.经过一个月对全体同学上课情况的观察统计,平均每次专注度监测有的同学能够正常完成签到.为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况,我们做如下两个约定:

①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等;

②约定每次专注度监测中,每名同学完成签到加分,未完成签到加分.

请回答如下两个问题:

(1)若一节课老师会进行次专注度监测,那么某班同学在次专注度监测中的总得分的数学期望是多少?

(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为分的概率为(比如:表示累计得分为分的概率,表示累计得分为的概率),求:

①的通项公式;

②的通项公式.【解析】(1)设某班同学在次专注度监测中完成签到的次数为,由题可知,,故,

设某班同学次专注度监测的总得分为,根据题意,故.

故某班同学在次专注度监测中的总得分的数学期望是.

(2)①由题可知,

根据题意,,故可得

故数列为首项,公比为的等比数列,

则.

②根据上式可得,

,

故的通项公式.1.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A.ξ＝4 B.ξ＝5 C.ξ＝6 D.ξ≤5答案C解析“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.2.设随机变量X的概率分布列如下：则（

）X－1012PA． B． C． D．【答案】C【详解】由分布列性质可得：，则，由,故选：C3.某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示.456789100.030.050.070.080.260.23则（

）A．0.72 B．0.75 C．0.85 D．0.90【答案】C【详解】由题意，解得.∴＝．故选：C4.若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以，由，所以，所以，故选：D5.设随机变量X，Y满足Y＝2X＋b(b为非零常数)，若E(Y)＝4＋b，D(Y)＝32，则E(X)和D(X)分别为()A．4,8 B．2,8C．2,16 D．2＋b,16【答案】B【解析】由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(EY＝2EX＋b＝4＋b，,DY＝4DX＝32，))∴E(X)＝2，D(X)＝8.故选B.6.一射手对靶射击，直到命中或子弹打完为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则停止射击后剩余子弹数目的均值为()A．2.44 B．3.376C．2.376 D．2.4【答案】C【解析】X＝k表示停止射击后剩余子弹的数目，P(X＝3)＝0.6，P(X＝2)＝0.4×0.6，P(X＝1)＝0.42×0.6，P(X＝0)＝0.43×(0.6＋0.4)，∴E(X)＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＋0×0.43×(0.6＋0.4)＝2.376.故选C.7.随机变量X的取值范围为{0,1,2}，若P(X＝0)＝eq\f(1,4)，E(X)＝1，则D(X)等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)答案C解析设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，由题意得，E(X)＝0×eq\f(1,4)＋p＋2q＝1，且eq\f(1,4)＋p＋q＝1，解得p＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,4)，所以D(X)＝eq\f(1,4)×(0－1)2＋eq\f(1,2)×(1－1)2＋eq\f(1,4)×(2－1)2＝eq\f(1,2).8．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的均值为1，则ab的最大值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,6)答案B解析由题意得，比赛一局得分的均值为3×a＋1×b＋0×c＝1，故3a＋b＝1，又a，b，c∈[0,1)，故3a＋b≥2eq\r(3ab)，解得ab≤eq\f(1,12)，当且仅当3a＝b，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,2)时，等号成立．故ab的最大值为eq\f(1,12).9.(多选)设0<m<1，随机变量ξ的分布列为ξ0m1Peq\f(a,3)eq\f(1,3)eq\f(2a－1,3)当m在(0,1)上增大时，则()A．E(ξ)减小B．E(ξ)增大C．D(ξ)先增后减，最大值为eq\f(1,6)D．D(ξ)先减后增，最小值为eq\f(1,6)答案BD解析由题意得，eq\f(a,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(2a－1,3)＝1，解得a＝1，E(ξ)＝0×eq\f(a,3)＋m×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2a－1,3)＝eq\f(m,3)＋eq\f(1,3)，所以当m在(0,1)上增大时，E(ξ)增大，故A错误，B正确；D(ξ)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m－1,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－m,3)))2))＝eq\f(6m2－6m＋6,27)＝eq\f(6,27)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))2＋eq\f(1,6)，所以当m在(0,1)上增大时，D(ξ)先减小后增大，当m＝eq\f(1,2)时，D(ξ)取得最小值eq\f(1,6)，故C错误，D正确．10已知随机变量ξ的分布列为ξ123P0.5xy若E(ξ)＝eq\f(15,8)，则D(ξ)＝________.答案eq\f(55,64)解析由分布列性质，得x＋y＝0.5.又E(ξ)＝eq\f(15,8)，得2x＋3y＝eq\f(11,8)，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,8)，,y＝\f(3,8).))D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(15,8)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(15,8)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(15,8)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,8)＝eq\f(55,64).11.一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做