34圆周角和圆心角的关系课件北师大版数学九年级下册

第三章圆3.4.1圆周角和圆心角的关系北师版

九年级数学（下）导入ABDEC图中∠ABC的顶点位置与圆心角的顶点位置有什么不同？它的两边与圆有什么位置关系？答：∠ABC的顶点在圆上，而圆心角的顶点在圆心；∠ABC的两边与圆相交．探究新知探究顶点在圆心圆心角角顶点发生变化时,我们得到几种情况?点A在圆内点A在圆上点A在圆外圆周角圆周角定义:

顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角.探究新知ABOC圆心角：∠AOB、∠AOC、∠BOC圆周角：∠BAC、∠ABC、∠ACB探究新知探究画一个80°的圆心角，然后再画同弧所对的圆周角，动手画一画.ABO探究新知这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?C圆心O在∠C一条边上C圆心O在∠C的内部C圆心O在∠C的外部探究新知思考问题1：你所画的圆周角与圆心角的大小有什么关系？如果改变圆心角度数，这个关系依然成立吗？问题2：通过上述问题，你有何猜想？圆周角是圆心角度数的一半；同弧所对圆周角度数是圆心角度数的一半．探究新知已知：如图，已知∠C是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角．求证：∠C＝∠AOB.ABCO证明：圆心O在∠C的一条边上，如图．∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB＝∠A＋∠C.∵OA＝OC，∴∠A＝∠C.∴∠AOB＝2∠C，即∠C＝∠AOB.探究新知圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.归纳总结CC探究新知你能完成另两种情况的证明吗？C提示：能否转化为前一种已证明的情况?D过点C作直径CD.由已证可得:已知：如图，∠C

是所对的圆周角，∠AOB

是所对的圆心角.求证：探究新知C提示：能否也转化为第一种已证明的情况?D过点C作直径CD.由已证可得:已知：如图，∠C

是所对的圆周角，∠AOB

是所对的圆心角.求证：探究新知探究新知探究在上面的射门游戏中，当球员在B，D，E

处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC

的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？●

O所以∠ABC

=∠ADC=∠AEC.根据圆周角定理，连接AO，CO，【归纳】推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．●

O探究新知典例精讲例1如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝40°，求∠OBC的度数．分析：

由OB＝OC，可知∠OBC＝∠OCB，要求∠OBC的度数，可先求出∠BOC的度数，然后利用三角形的内角和定理求解．注意到∠BOC和∠A所对的弧都是，可知∠BOC＝2∠A＝80°.解：∵∠BOC和∠A所对的弧都是，∴∠BOC＝2∠A＝80°.又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝＝50°.典例精讲例2如图，在⊙O中，A，B，C，D为圆上四个不同点，∠ABD＝20°，，分别延长BA，CD相交于点P，求∠BPC的度数．分析：

要求∠BPC的度数，因为∠ABD已知，故只需求出∠BDC的度数，然后利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，便可求出∠BPC.而由圆周角定理的推论可知∠BDC＝∠BAC，再由可求得∠BAC，进而可求∠BPC.典例精讲解：∵，∴AB＝BC＝CA，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BDC＝∠BAC＝60°.又∵∠BDC＝∠BPC＋∠ABD，且∠ABD＝20°，∴∠BPC＝∠BDC－∠ABD＝60°－20°＝40°.典例精讲课堂小结圆心角类比圆周角圆周角定义圆周角定理圆周角定理的推论1圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.同弧或等弧所对的圆周角相等；1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角随堂练习1．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数为(

)A．20°B．40°C．50°D．80°D2．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，则∠AOB＝____°.120随堂练习3.如图，在⊙O中，∠O=50°，求∠A的度数.∴∠A=.解：∵∠A和∠O所对的弧都是，随堂练习4.如图，哪个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角？解：∠BDC=∠BAC，还能找到∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ACB，∠DAC=∠DBC.随堂练习5.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC,∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？解：∠ACB=2∠ABC.理由如下：随堂练习6.如图，A,B,C,D是⊙O上的四点，且∠C=100°，求∠BOD和∠A的度数.解：如图所示，∵∠C=100°

∴

所对的圆心角α=2∠C=200°.∴∠BOD=360°-200°=160°.又∵，∴随堂练习7.为什么有些电影院的座位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性.解：尽量保证同排的人视角相同随堂练习8.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，