第01讲 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数（章节综合检测卷）（解析版）

第01讲第一章集合与常用逻辑用语、不等式、复数（章节综合检测）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以.故选：A.2．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若，则在复平面内所对应的点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题设有，则，所以在复平面内所对应的点的坐标为．故选：B3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，，且，则【答案】D【分析】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确.【详解】对于A，当，，时满足，但，所以A错误；对于B，当，，时，满足，但，所以B错误；对于C，由不等式的基本性质易知，当，，时满足，，但，所以C错误；对于D，，所以，故D正确．故选：D．4．（2023·福建厦门·厦门一中校考二模）“”是“，成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由，成立求出b的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由，成立，则当时，恒成立，即，当时，，解得，因此，成立时，，因为，所以“”是“，成立”的充分不必要条件.故选：A5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品.实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（

）A．大于克 B．小于克C．大于等于克 D．小于等于克【答案】C【分析】设出力臂和药品数量，根据杠杆原理得到，再根据均值不等式计算得到答案.【详解】设天平左、右两边臂长分别为，小明、小芳放入的药品的克数分别为，，则由杠杆原理得：，于是，故，当且仅当时取等号.故选：C.6．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】真命题转化为不等式恒成立求参数的取值范围求解即可.【详解】若“，使成立”的否定是：“，使”为真命题，即；令，由，得，所以，所以，故选：C.7．（2020·南开中学校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（

）A．没有最大元素，有一个最小元素B．没有最大元素，也没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素D．有一个最大元素，没有最小元素【答案】C【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法则说明C选项错误【详解】若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故A正确；若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故B正确；若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确；有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C不正确.故选：C8．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，是边上的点，满足，在线段上（不含端点），且，则的最小值为（

）A． B． C． D．8【答案】B【分析】利用平面向量的线性运算推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为是边上的点，满足，则，所以，，因为在线段上（不含端点），则存在实数，使得，所以，，又因为，且、不共线，则，故，

因为，则，，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：B.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知复数z满足，则下列说法中正确的是（

）A．复数z的模为 B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限C．复数z的共轭复数为 D．【答案】AD【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可.【详解】因为，所以，，有，故A正确；复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故B错误；复数的共轭复数为，故C错误；因为，故D正确，故选:AD.10．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（

）A． B． C．- D．0【答案】BCD【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可.【详解】设，,因为p是q的必要条件，所以，当时，由无解可得，符合题意；当时，或，当时，由解得，当时，由解得.综上，的取值为0，，.故选：BCD11．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为【答案】BD【分析】根据给定的解集，用表示出，再逐项判断作答.【详解】不等式的解集为，则是方程的根，且，则，即，A错误；不等式化为，解得，即不等式的解集是，B正确；，C错误；不等式化为，即，解得或，所以不等式的解集为，D正确.故选：BD12．（2023春·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．命题，的否定为，B．“且”是“”的充要条件C．的最小值是2D．已知，则的最大值为【答案】AD【分析】利用全称量词命题的否定可判断A选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断B选项；根据基本不等式取等号的条件可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，命题，的否定为“，”，A对；对于B选项，令，由可得，所以，，即，而或，故“且”是“”的充分不必要条件，B错；对于C选项，，取等号的条件是，即，而此式不成立，所以取不到最小值2，故C错；对于D选项，当时，，则，当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为，D对.故选：AD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023秋·高一课时练习）已知集合，定义集合运算，则.【答案】【分析】由新定义运算求解，【详解】由题意知，集合则a与b可能的取值为0，2，3，∴的值可能为0，2，3，4，5，6，∴故答案为：14．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为.【答案】【分析】设，再代入化简求解即可.【详解】设，则，即，解得.故，则的虚部为.故答案为：15．（2023·全国·高三专题练习）若“”是“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围是.【答案】【分析】解一元二次不等式可求得的解集，由必要不充分条件定义可得两集合的包含关系，由此可构造不等式组求得结果.【详解】由得：；由必要不充分条件定义可知：，或，解得：或；与不同时成立，实数的取值范围为.故答案为：.16．（2023秋·浙江湖州·高一期末）蒙牛成为2022年卡塔尔世界杯的奶制品供应商．该厂商计划临时租用总面积为3000平方米的生产厂区，其中涵盖临时搭建牛奶类和酸奶类共计60间生产车间及绿化改造．每间牛奶类车间的面积为50平方米，租金为每月x万元；每间酸奶类车间的面积为30平方米，租金为每月0.5万元．现要求所有车间的面积之和不低于总面积的，又不能超过总面积的，则牛奶类生产车间的搭建方案有种，为保证任何一种搭建方案平均每个车间租用费用不低于每间牛奶类车间月租费的，则x的最大值为万元．【答案】16/0.625【分析】设牛奶类m间，酸奶类间，根据题意列不等式组，解之即可求解；由可得，结合m的范围即可求解.【详解】设牛奶类m间，酸奶类间，则有，解得，又，故方案有16种；由，得，又，故在上恒成立，根据复合函数的单调性易得在上单调递增，所以，所以，即x的最大值为.故答案为：16；.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023春·福建龙岩·高一校联考期中）已知复数，．(1)当m取何值时，z为纯虚数？(2)当时，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得.（2）根据复数乘法以及复数的模的知识求得正确答案.【详解】（1）若为纯虚数，则，解得.（2）当时，，所以，所以.18．（2023·全国·高一课堂例题）（1）已知，，试求与的取值范围；（2）已知，，求的取值范围；（3）已知，，求的取值范围.【答案】（1），；（2）（3）【分析】（1）根据不等式的基本性质进行计算；（2）先得到，利用同号可乘性得到取值范围；（3）先求出，分和求出的取值范围.【详解】（1）∵，，∴，，∴．∵，∴．又，∴，即．∴的取值范围是，的取值范围是．（2）∵，∴．又，∴，即．∴的取值范围是．（3）∵，∴．①当时，；②当时，．由①②得，即的取值范围是．19．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）设全集为，集合，．

(1)当时，求图中阴影部分表示的集合C；(2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）解对数不等式求集合A，根据韦恩图及集合的交、补运算求集合C；（2）根据所选的条件均可得，讨论是否为空集列不等式组求参数范围即可.【详解】（1）由集合A知，即，解得或，所以，当时，∴.（2）选择①②③，均可得.当时，，解得；当时，或，解得或，即．综上所述，实数a的取值范围是．20．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）已知集合，集合，定义集合且(1)若，求．(2)若，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）化简A、B，根据定义求即可；（2）由得，列不等式组求解即可.【详解】（1），.由，则，故.（2）由得，即有或，故.故a的取值范围为.21．（2023秋·高一单元测试）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元．公司拟投入万元．作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．【答案】(1)40元(2)10.2万件，该商品的每件定价为30元【分析】（1）设每件定价为元，依题意得，从而可求出的范围，进而可得答案，（2）由题意可得当时，有解，利用基本不等式可求出的最小值，从而可求得答案.【详解】（1）设每件定价为元，依题意得，整理得，解得．所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（2）依题意知当时，不等式有解，等价于时，有解，由于，当且仅当，即时等号成立，所以，当该商品改革后销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．22．（20