第01讲 平面向量的概念及其线性运算 高频考点-精讲（解析版）

第01讲平面向量的概念及其线性运算(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量的概念角度1：平面向量的概念与表示角度2：模角度3：零向量与单位向量角度4：相等向量高频考点二：向量的线性运算角度1：平面向量的加法与减法角度2：平面向量的数乘高频考点三：共线向量定理的应用第一部分：知第一部分：知识点精准记忆1、向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量表示方法：向量或；模或.（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.特别的：非零向量的单位向量是.（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；特别的：与任一向量平行或共线.（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.2、向量的线性运算2.1向量的加法①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2.2向量的减法①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.2.3向量的数乘向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：①②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.3、共线向量定理①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．4、常用结论4.1中点公式的向量形式：若为线段的中点，为平面内任意一点，则.4.2三点共线等价形式：（，为实数），若，，三点共线第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量的概念角度1：平面向量的概念与表示典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是（

）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D．若与是共线向量，则点，，，必在同一条直线上【答案】A【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.故选：A例题2．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（文））下列说法正确的是(

)①有向线段三要素是始点、方向、长度；②向量两要素是大小和方向；③同向且等长的有向线段表示同一向量；④在平行四边形中，．A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】D【详解】①始点、方向、长度可以确定一条有向线段，即有向线段三要素是始点、方向、长度，故①正确；②根据向量的定义知，向量的两要素是大小和方向，故②正确；③同向且等长的有向线段表示的向量大小相等，方向相同，故为同一向量，故③正确；④∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，且AB＝DC，故，故④正确．故选：D．例题3．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．向量与向量是相等向量B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合C．与实数类似，对于两个向量有三种关系D．向量的模是一个正实数【答案】B【详解】向量与向量模长相等，方向相反，为相反向量，故选项A不正确；由向量共线的定义可知，选项B正确；由向量的定义，向量有模长和方向两个要素，不可比较大小，故选项C不正确；零向量的模长为0，因此向量的模不一定为正数，故选项D不正确.故选：B题型归类练1．（2022·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（

）A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动【答案】B【详解】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；根据零向量的概念，易知C选项正确；向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；故选：B.2．（2022·浙江·杭州四中高一期中）关于向量，，下列命题中，正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【详解】解：时，方向未知，不成立，A错误；向量不能比较大小，B错误；表示向量大小相等，方向相同，所以，C正确；表示向量方向相同或相反，不能得到，D错误.故选：C.角度2：模典型例题例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知、为非零向量，“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．即非充分又非必要条件【答案】A【详解】由题意知，充分性：若，则、方向相同且，充分性成立；必要性：若，但、的方向不一定相同，即、不一定相等，必要性不成立.因此，“”是“”充分而不必要条件.故选：A.例题2．（2022·江苏省太湖高级中学高一阶段练习）在矩形中，，，则（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【详解】由题意，；故选：D.例题3．（2022·江西上饶·高一阶段练习）已知四边形是边长为的正方形，求：(1)；(2)【答案】(1)(2)2【分析】利用向量的加减法法则化简向量即可解决问题.（1）四边形是边长为的正方形，（2）题型归类练1．（2022·全国·高一课前预习）已知，，且，求.【答案】10【详解】解：以与为邻边，构造平行四边形，如图所示：则和分别是该四边形的两条对角线，因为，即该平行四边形的对角线相等，故该四边形为长方形，所以.2．（2022·广东·雷州市白沙中学高一阶段练习）已知菱形的边长为2，(1)化简向量；(2)求向量的模.【答案】(1)(2)2(1)(2)由向量的平行四边形法则与三角形法则，3．（2022·全国·高一专题练习）若、为相反向量，且，，则________，________.【答案】

【详解】因为、为相反向量，且，，则，，因此，，.故答案为：；.角度3：零向量与单位向量典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误；对②：零向量的长度为0，故②正确；对③：零向量的方向是任意的，故③正确；对④：单位向量的模都等于1，故④正确.故选：C.例题2．（2022·全国·高一课前预习）在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③ B．②③④C．①②⑤ D．①③⑤【答案】D【详解】由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D.题型归类练1．（多选）（2022·全国·高二）如果是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】依题意，是两个单位向量，单位向量方向不一定相同，所以A选项结论错误.单位向量的模为，所以，所以BD选项结论正确.当时，，所以C选项结论错误.故选：AC2．（2022·江苏·高一课时练习）若为任一非零向量，为单位向量，下列各式：（1）；（2）∥；（3）||＞0；（4）||＝±1；（5）若是与同向的单位向量，则＝.其中正确的是________.(填序号)【答案】（3）【详解】由题意知，，对（1），当时，，不一定有，故(1)错误；对（2），与方向不一定相同或相反，所以与不一定平行，故(2)错误；对（3），非零向量的模必大于0，即，故(3)正确；对（4），向量的模非负，故(4)错误；对(5)，与方向不一定相同，所以与方向不一定相同，故(5)错误.综上可知（3）正确.故答案：（3）角度4：相等向量典型例题例题1．（2022·全国·高一单元测试）在四边形中，，且，那么四边形为（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】C【详解】由，可得四边形ABCD是平行四边形．由，，所以，所以四边形ABCD为菱形．故选：C例题2．（2022·北京朝阳·高一期末）如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，，D错.故选：C.例题3．（2022·福建省福州高级中学高二阶段练习）如图，在正六边形中，与向量相等的向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由图可知六边形ABCDEF是正六边形，所以ED=AB，与方向相同的只有；而,,与长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误；故选：B题型归类练1．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等.故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）在中，为边的延长线上一点，且，记，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，故选：A.3．（2022·贵州·高二学业考试）如图，在平行四边形ABCD中，（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得，.故选：B.高频考点二：向量的线性运算角度1：平面向量的加法与减法典型例题例题1．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）正六边形中，（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，由题意得：，可以得到故选：A例题2．（2022·吉林省实验中学高一阶段练习）化简得（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C例题3．（2022·甘肃兰州·高一期末）（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】．故选：B.题型归类练1．（多选）（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）如图，D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】解：因为D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，所以,且，，且，所以，，所以，故选：BCD.2．（2022·甘肃兰州·高一期末）平行四边形的对角线交于O点，P为平面内任意一点，化简_____________．【答案】【详解】如图所示，，所故答案为：3．（2022·新疆·新和县实验中学高一期末）化简__________．【答案】【详解】角度2：平面向量的数乘典型例题例题1．（2022·四川泸州·高一期末）在平行四边形中，对角线与交于点，若，则（

）A． B．2 C． D．【答案】B【详解】在平行四边形中，，所以．故选：B．例题2．（2022·浙江台州·高一期末）的化简结果为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，.故选：B.例题3．（2022·贵州·模拟预测（理））在中，，且，则（

）A．2 B． C． D．【答案】B【详解】∵，∴，∴.故选：B.题型归类练1．（2022·广东·清远市博爱学校高一阶段练习）如图，在中，D为上一点，且，设，则用和表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题得.故选：A2．（2022·贵州·罗甸县第一中学高二开学考试）求__________．【答案】【详解】解：；故答案为：3．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一阶段练习）已知则使得的实数___________.【答案】【详解】，则在线段上，且，所以，又，所以．故答案为：．高频考点三：共线向量定理的应用典型例题例题1．（2022·安徽省宣城中学高二期末）如图，在中，点是线段上一点，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为三点共线，所以设，即，整理得：，因为，所以，解得：故选：C例题2．（2022·浙江·宁波咸祥中学高一期末）设是两个不共线的向量，若向量()与向量共线，则(

)A． B． C． D．【答案】A【详解】∵是两个不共线的向量，且∥，故存在实数λ，使得．故选：A．例题3．（2022·全国·高一课时练习）设，是两个不共线向量，若向量与方向相反，则实数______.【答案】【详解】由题意知，与共线，∴存在实数，使.∵，不共线，∴解得或，∵与反向，∴，.故答案为：题型归类练1．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习（理））如图在△ABC