黄金卷04（理科）（参考答案）-2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）

【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）黄金卷04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．123456789101112CACDCCBDDDCD第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．14．415．16．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.【详解】（1）由题意得，， 1分则， 3分 所以是首项，公差为1的等差数列. 5分（2）由（1）得，则， 7分当为偶数时，. 9分当为奇数时，为偶数，则. 11分综上，. 12分18.【详解】（1）由频率分布直方图，得． 2分． 4分（2）（i）由（1）可知，， 5分所以，， 6分显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备． 7分（ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为，所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为，故， 9分所以， 11分X的数学期望． 12分19.【详解】（1）因为平面，平面，所以，．在平面内作，又，所以两两垂直， 1分以B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 2分因为，，，N是中点，则，，，，，，，，．设平面的法向量，则即取． 4分所以点N到平面的距离． 5分（2）因为M是的中点，所以，设，则，，． 6分设平面的法向量，则即取． 7分设平面的法向量，则即取． 9分设二面角的大小为，则．设，因为二面角的正弦值为，所以，解得，此时， 11分所以． 12分20.【详解】（1）依题意可得，可设，，由，消去整理得， 2分，，，，， 4分所以，解得或（舍去），所以. 4分（2）由（1）知，，若直线斜率存在，则，直线，由得，又点在线段上， 5分所以，即，又，， 7分设，则，；当时，为定值，此时，则，此时在定直线上；当时，不为定值，不合题意； 9分若直线斜率不存在，由椭圆和圆的对称性，不妨设，从而有，，此时，则直线，设，则，，，则时，，满足题意； 11分综上所述：当为定值，点在定直线上. 12分21.【详解】（1）因为，所以， 1分当时，，函数在上单调递增； 2分当时，由，得，函数在区间上单调递增，由，得，函数在区间上单调递减． 4分（2）要证，即证，即证， 5分设，故在上单调递增，又，所以，又因为，所以，所以， 7分①当时，因为，所以； 8分②当时，令，则，设，则，设，则，因为，所以，所以即在上单调递增， 10分所以，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，，即．综上可知，当时，，即． 12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.【详解】（1）将代入得，所以，所以射线l的极坐标方程为, 2分将代入得,所以曲线C的极坐标方程为; 4分（2）由题可知，可以设，， 5分则，， 7分所以, 8分所以. 10分选修4-5：不等式选讲23.【详解】（1）由题知，当时，原不等式即，当时，不等式为，解得； 1分当时，不等式为，恒成立； 2分当