模拟卷04（新高考Ⅱ卷专用）-（参考答案）

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷）黄金卷04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678BBCDCDAD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011BDACDABC第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．1613．14．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（本小题满分13分）【解】（1）因为，由正弦定理得.………1分因为，所以，所以，………2分即.………4分因为，所以，即.………5分（2）设，因为，所以.………6分因为，所以，，，在中，由正弦定理可知，………8分即，即，………10分化简可得，即，,所以.………13分16．（本小题满分15分）【解】（1）当时，函数，求导得，则，而，………2分所以曲线在点处的切线方程为，即.………4分（2）函数的定义域为，求导得，………5分当时，，由，得，由，得，则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意；………7分当时，由，得或，………8分①若，即，由，得或，由，得，则函数在上递增，在上递减，因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；………10分②若，即，由，得或，由，得，则函数在上递增，在上递减，因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；………12分③若，即，由在上恒成立，得在上递增，函数无极值，不合题意，………14分所以的取值范围为.………15分17．（本小题满分15分）【解】（1）因为点为线段的中点，且，所以，………1分因为，且四边形为正方形，故，………2分所以，而平面，故平面，………3分又平面，所以；………4分（2）设正方形的中心为，分别取的中点为，设点为线段的中点，由（1）知四点共面，且平面，连接，平面，故，又平面，故平面平面，且平面平面，由题意可知四边形为等腰梯形，故，平面，故平面，………5分故以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，

因为，则，………6分又，故，设到底面的距离为，四边形，为两个全等的等腰梯形，且，故，又，故，则，，设，………7分设平面的一个法向量为，则，令，，………9分设平面的一个法向量为，则，令，，………11分故，………12分令，则，令，则，令，则在上单调递增，故当时，，当时，，故，即平面和平面的夹角的余弦值得取值范围为．………15分18．（本小题满分17分）【解】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”，则；………4分（2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，则，，，………7分所以的分布为：………9分所以；………11分（3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为，由（2）可知，，………12分若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为，则，………13分则，………15分因为，所以，，所以，即，………16分所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲．………17分19．（本小题满分17分）【解】（1）的左焦点为，过的直线与交于，与交于，………2分故的左焦点为“型点”，且直线可以为；………3分（2）直线与有交点，则，若方程组有解，则必须；………5分直线与有交点，则，若方程组有解，则必须………7分故直线至多与曲线和中的一条有交点，即原点不是“型点”………8分（3）以为边界的正方形区域记为.1）若点在的边界上，则该边所在直线与相切，与有公共部分，即边界上的点都是“型点”；………9分2）设是区域内的点，即，假设是“型点”，则存在过点的直线与都有公共点.………10分ⅰ)若直线与有公共点，直线的方程化为，假设，则，可知直线在之间，与无公共点，这与“直线与有公共点”矛盾，所以得到：与有公共点的直线的斜率满足.………12分ⅱ)假设与也有公共点，则方程组有实数解.从方程组得，，由，…………14分因为所以，，…………16分即直线与没有公共点，与“直线与有公共点”矛盾，于是可知不是“型点”.证明完毕…………17分另解：…………9分令，因为，所以|，即.于是可知的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为是，…………12分因为，所以在区间上为增函数，在上为减函数.