模拟卷07（新高考Ⅱ卷专用）-（解析版）

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷）黄金卷07（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，则．故选：B．2．设，，是非零向量，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，；若，则，即.“”是“”的必要而不充分条件；故选：B.3．已知，，则（

）A．8 B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D4．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，所以．故选：C.5．从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（

）A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.82【答案】D【解析】根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取人，从乙队中抽取人，这人答对题目的平均数为，所以这人答对题目的方差为.故选：D.6．已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（

）（，）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由题意知，火箭在时刻的速度为，质量为，满足，因为经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，可得，火箭耗尽燃料时速度为，两式相除得.故选：C．7．直线过抛物线：的焦点，且与交于两点，若使的直线恰有2条，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由抛物线方程知：抛物线焦点为，通径长为，当垂直于轴时，两点坐标为，此时，且，即抛物线的焦点弦中，通径最短，所以.故选：A．8．已知定义在上的函数满足，当时，.若，则实数的取值范围是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】因为，所以为奇函数；又因为，所以关于直线对称；由知的一个周期为.因为当时，，所以在上单调递增，函数的图象如图所示，根据图象可知，若，则，，解得，，所以实数的取值范围是，.故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，，下列结论正确的有（

）A．若，则或B．若，则C．若，则D．若，则的最大值为【答案】ABD【解析】对于A，因为，所以或，即或，故A正确；对于B，因为，所以，即，则或，所以或，所以，故B正确；对于C，设，，，所以，，因为，所以，则，整理得.所以不一定为0，故C错误；对于D，因为，所以复数在复平面内所对应的点在圆上，复数在复平面内所对应的点在圆上，因为两圆的圆心距为，所以的最大值为，故D正确.故选；ABD．10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（

）A． B．C．的离心率为 D．直线的斜率为【答案】ACD【解析】如图，由，可设，.因为，所以.设，，则，，，解得，则，，所以，故A选项正确；，故B选项错误；在中，由，得，则，从而的离心率为，故C选项正确.又，所以直线的斜率为，故D选项正确.故选：ACD.11．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象B．若，则当时，的值域为C．若在区间上恰有个零点，则D．若在区间上单调递增，则【答案】AD【解析】，当时，，则将的图象向左平移个单位长度得到：，故A正确；当时，，当时，，故，则的值域为，故B错误；令，，则，，又，若在区间上恰有个零点，则，解得，故C错误；若在区间上单调递增，则，又，所以，解得，又，所以，由可得，要使在区间上单调递增，则，解得，故D正确．故选：AD．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．设，若，则.【答案】11【解析】令，则，则，的通项为：，令可得，令可得，所以由可得，所以.13．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为．(若，则)【答案】/0.5【解析】依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，由可得，，所以，解得：，故σ至多为．14．若圆C：关于直线对称，由点P向圆C作切线，切点为A，则线段PA的最小值为．【答案】【解析】圆化为，圆的圆心坐标为，半径为．圆关于直线对称，所以在直线上，∴，即，点与圆心的距离为，所以点向圆所作切线长：当且仅当时切线长最小为．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．(本小题满分13分）为了有针对性地提高学生对音乐课程的积极性，某校需要了解学生爱好音乐是否与性别有关，随机抽取100名该校学生进行问卷调查，得到如下列联表.爱好音乐不爱好音乐总计男16女26总计100已知从这100名学生中任选1人，爱好音乐的学生被选中的概率为.(1)完成上面的列联表；(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关.附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828【解】（1）设这100名学生中爱好音乐的学生有x人，则，………2分解得.………3分列联表完成如下.爱好音乐不爱好音乐总计男163450女242650总计4060100………6分（2）由（1）可知，………10分因为，………12分故没有90%的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关.………13分16．(本小题满分15分）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，为下底面圆周上异于、的点．

(1)点为线段的中点，证明：直线平面；(2)若四棱锥的体积为3，求直线与平面夹角的正弦值．【解】（1）取中点，连接，则有，，………2分如图：

在等腰梯形中，，所以，，则四边形为平行四边形，所以，………4分又平面，平面，所以直线平面．………5分（2）过点作于，在等腰梯形中，，所以梯形的高，所以等腰梯形面积为，所以四棱锥的体积，解得，在中，由射影定理得或，………7分当时，以为坐标原点，以过点平行与的方向，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系；

则有，………9分故，，设平面的法向量，故，令，得，………11分设直线与平面夹角的大小为，则，所以直线与平面夹角的正弦值为；………13分当时，以为坐标原点，以过点平行与的方向，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系；

则有，故，，设平面的法向量，故，令，得，设直线与平面夹角的大小为，则，所以直线与平面夹角的正弦值为，综上所述，直线与平面夹角的正弦值为或．………15分17．(本小题满分15分）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围.【解】（1），.………1分当时，恒成立，在上单调递减；………3分当时，由，解得，即在上单调递增，由，解得，即在上单调递减.………6分（2）当时，由（1）知，………8分，恒成立，在上单调递增，所以，………10分由题意知，即.………11分设，则，所以为增函数，……13分又，所以，即的取值范围是.………15分18．(本小题满分17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且，离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知，是上两点（点，不同于点），直线，分别交直线于，两点，若，证明：直线过定点．【解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意得，………3分解得，………5分故椭圆的标准方程为.………6分（2）

由（1）知，由题意可知直线的斜率不为0，否则位于轴同侧，，不符合题意；………7分设的方程为，代入，得，由，设，则，………9分所以，，………10分直线的方程为，令，得，故，同理可得，

………12分所以，………13分由，得，即，所以，………15分所以，解得或（舍去），所以直线的方程为，故直线过定点.………17分19．(本小题满分17分）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为.(1)试求，的值；(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系；(3)设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和.【解】（1）易得，不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则，………1分不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则，………2分不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则，所以，.………4分（2）在不大于的正整数中，只有p的倍数不与互素，而p的倍数有个，因此.………6分由p，q是两个不同的素数，得，，………7分在不超过的正整数