安徽省淮南市和淮北市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题

安徽省淮南市和淮北市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|(x+1)(x-2)<0}，B={x|0<x<3}，则A∩B=A.(0,2)B.(-1,3)C.(0,1)D.(-2,3)2.已知复数z=1+3iA.-1B.0C.1D.23.“a=2”是“直线x+ay-1=0与直线4x-ay+1=0垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治、经济、文化方面的大量信息．“环权”类似于砝码(如下图)，用于测量物体质量．已知九枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a2=2，a4=6，A.194B.193C.192D.1915.下列各式的值为12A.sin15∘cos15∘B.6.已知正三角形的三个顶点坐标分别为(1,1)，(2,2)，(m,n)，若m>1，则n=A.22B.32C.3-7.定义在[0,2]上的函数f(x)=xm(2-x)n的A.(1,2)B.(1,3)C.(2,2)D.(2,1)8.已知点A(2,0)，B(4,0)，P是直线y=x上的动点，B在直线AP上的投影为Q，则|PQA.3B.72C.4D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1A.直线A1C//平面PMNB.直线BD1⊥平面PMNC.直线AD1与MN的夹角为6010.已知函数f(x)=1-A.函数f(x)的图象是连续不断的曲线B.f(ln4)=1-4e2C.f(ln6)<f11.如图，点P(a,b)是以(1,0)，(0,1)，(-1,0)，(0,-1)为顶点的正方形边上的动点，角θ以Ox为始边，OP为终边，定义S(θ)=b|a|+|b|，C(θ)=A.Sπ4=12，C(π)=1B.Sθ+π2=C(θ)C.函数y=S(x)，x∈0,π2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知f(x)为奇函数，当x>0时f(x)=log2x，则13.若a，b>0，且ab=2a+b+16，则ab的最小值为

.14.如图，点M，N分别是正四棱锥P-ABCD的棱PA，PC的中点，设PD∩平面BMN=Q，则PQ与PD长度之比为

，四棱锥P-ABCD被平面BMN分成上下两部分体积之比为

.四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanB=2cos(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若D为AB边上任意一点，作AE⊥CD于E，设∠BCD=θ，试用θ表示AECD，并求AE16.(本小题12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=2AD，点M在线段PD(Ⅰ)求证：AM⊥平面PCD；(Ⅱ)求平面MAC与平面PAB夹角的余弦值．17.(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x-a)2+(y+2a-4)(Ⅰ)若圆心C在直线x+y-3=0上，过点P作圆C的切线，求切线方程；(Ⅱ)若圆C上存在点Q，使|PQ|=2|OQ|，求a的取值范围．18.(本小题12分)已知函数f(x)=(x+1)(Ⅰ)求证：当x>0时，f(x)<x(Ⅱ)若x>0时，f(x)>ax恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅲ)求证：对任意n∈N*，e19.(本小题12分)已知无穷数列{an}满足：an(Ⅰ)若a1=1，a3(Ⅱ)若a1=a2=1，an+1≥(Ⅲ)若数列{an}存在最大项，证明：存在m∈N答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查集合的交集，属于基础题．先把集合A解出来，然后求A∩B即可.【解答】解：因为集合A={x|(x+1)(x-2)<0}={x|-1<x<2}，所以A∩B=(0,2)，故选：A.2.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了复数的四则运算和复数的概念.

利用复数的四则运算得z=i，再利用复数的概念得结论.

【解答】解：因为复数z=1+3i33.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件以及直线垂直的等价条件，属于基础题．根据充分条件和必要条件的定义结合直线垂直的等价条件进行判断即可．【解答】解：①当a=2时，两方程可化为x+2y-1=0，4x-2y+1=0，斜率分别为-12和2，∴两直线垂直，∴充分性成立，②x+ay-1=0与直线4x-ay+1=0垂直，则4×1+a×(-a)=0，∴a=±2，∴必要性不成立，∴a=2”是“直线x+ay-1=0与直线4.【答案】C

【解析】【分析】本题考查等比数列的性质、等比数列的前n项和公式，属于基础题.根据题意，求出后7项的公比，再结合等比数列的求和公式，即可求出结果.【解答】解：因为后7项成等比数列，设公比为q，且a4=6，a9=192，所以q5=a9a4=32，所以q=2，则a35.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．由条件利用二倍角公式求得各个选项中式子的值，从而得出结论．【解答】解：根据sin15∘cos15∘=126.【答案】D

【解析】【分析】本题考查两条直线垂直的判定及应用、点斜式方程、两点间的距离公式，属于一般题.设A(1,1)，B(2,2)，Cm,n，求出直线AB的中垂线方程，得出n=3-m，再由|AC|=|AB|，得出m-12【解答】解：设A(1,1)，B(2,2)，Cm,n，则AB的重点坐标为32,32，kAB=2-12-1=1，，所以AB中垂线的方程为y-32=-x+32，即x+y-3=0，则C点在直线x+y-3=0，即m+n-3=0，即n=3-m，又因为△ABC为正三角形，所以|AC|=|AB|，则7.【答案】D

【解析】【分析】本题考查利用导数判断或证明已知函数的单调性，属于一般题.由由图像可知，当x∈0,a时，函数单调递增，当x∈a,2时，函数单调递减，其中1<a<2【解答】解：由图像可知，当x∈0,a时，函数单调递增，当x∈a,2时，函数单调递减，其中1<a<2，A选项，当(m,n)为(1,2)时，函数fx=x2-x2=x4-4x+x2=x3-4x2+4x，则f'x=3x2-8x+4，由f'x>0，得x>2或x<23，由f'x<0，得23<x<2，所以函数在0,23上单调递增，在23,2上单调递减，不符合题意，故A错误；B选项，当(m,n)为(1,3)时，函数fx=x2-x3，则f'x=2-x3-3x2-x2=22-x21-2x，当x∈0,128.【答案】B

【解析】【分析】本题考查圆的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.利用B在直线AP上的投影为Q，所以Q的轨迹是以AB为直径的圆，圆心为D(3,0)，半径为1，过P作圆的切线PC，切点为C，则|PQ|⋅|PA|=PC2【解答】解：因为B在直线AP上的投影为Q，所以Q的轨迹是以AB为直径的圆，圆心为D(3,0)，半径为1，过P作圆的切线PC，切点为C，则|PQ|⋅|PA|=PC2，所以|PQ|⋅|PA|的最小值为PC2的最小值，PC2=PA2-1，而D到直线y=x9.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、异面直线所成的角、面面平行的性质，属于中档题.利用线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、异面直线所成的角、面面平行的性质，即可得出结论.【解答】解：对于A，连接AC，AB1,CB1，则因为M，N是对应棱的中点，所以MN//AC，因为MN⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，所以MN//平面AB1C，同理PM//平面AB1C，因为PM∩MN=M，PM,MN⊂平面PMN，所以平面PMN//平面AB1C，因为直线A1C不平行平面AB1C，所以直线A1C不平行平面PMN，A错误；因为BD⊥AC，AC⊥D1D，BD∩D1D=D，BD,D1D⊂平面BD1，所以AC⊥平面BD1，因为BD1⊂平面BD1，所以BD1⊥AC，同理可得，BD110.【答案】BC

【解析】【分析】本题考查分段函数的单调性与图象，属于中档题.利用函数f(x)=1-e【解答】解：由题意，0<x≤1时，f(x)=f(x-1)=1-ex-1，x=0，x→1-1e，又f(0)=1，所以可知函数f(x)的图象不是连续不断的曲线，A错误；1<x≤2，0<x-1≤1时，f(x)=f(x-1)=1-ex-2，所以f(ln4)=1-eln4-2=1-4e2，B正确；f(ln6)=1-eln6-2=1-6e2，f(-12)=1-e11.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查曲线与方程，属于难题.利用条件，结合对称性及正弦函数面积的计算方法得出结论.【解答】解：由题意，θ=π4，a=b>0，则Sπ4=12，θ=π，a=-1，b=0，所以C(π)=-1，A错误；角θ以Ox为始边，OP为终边，P(a,b)，则θ+π2以Ox为始边，OQ为终边，A(b,a)，所以S(θ+π2)=a|a|+|b|=C(θ)，B正确；由题意，0≤a≤1,0≤b≤1，所以S(θ+π2)+S(θ)=C(θ)+S(θ)=aa+b+ba+b=1，所以函数y=S(x)，x∈0,π2的图象关于点π4,12对称，C正确；在第一象限，a+b=1，所以S(θ)=b|a|+|b|=b，0<b<112.【答案】-3

【解析】【分析】本题主要考查了奇函数定义在函数求值中的应用，属于基础题．根据奇函数的定义和对数运算求解．【解答】解：因为函数f(x)为奇函数，所以f(-8)=-f(8)=-log213.【答案】32

【解析】【分析】本题考查基本不等式求最值的基本应用，属于基础题.由基本不等式，根据条件ab=2a+b+16可得关于ab的不等式，解之即可.【解答】解：由于a，b>0，则ab=2a+b+16≥22ab+16，即(ab+22)(ab-42)≥0，于是ab14.【答案】13

；

1【解析】【分析】本题考查了棱锥的结构特征，考查棱锥体积的计算，属于中档题．利用三角形中位线的性质得出结论；利用棱锥的体积公式计算可得结论.【解答】解：连接MN，AC、BD，设AC∩BD=O，连接OP，设MN∩OP=H，因为M，N为棱PA，PC的中点，所以MN//AC，则H为OP的中点，延长BH交PD于点Q，取QD的中点E，连接EO，则EO//QH，所以Q为PD的三等分点，所以PQ与PD长度之比为13；不妨设PA=2，AB=2，则PO=3，BD=2，PQ=23，因为平面PBD⊥平面BMN，且BE为交线，所以P到平面BMN的距离等于P到直线BE的距离，BH=BO2+OF2=12+(322)=72,PF=32,PB=2，在△PBH中，由余弦定理得cos∠PBH=22+(15.【答案】解：(Ⅰ)因为b2+c2-a2=3bc，所以cosA=b2+c2-a22bc=32，所以tanB=2cosA=3，故B=π3.(Ⅱ)由(Ⅰ【解析】本题考查了利用正余弦定理解三角形、三角恒等变换和正弦函数的性质，是中档题.(Ⅰ)由余弦定理得cosA=32，可得B的值；(Ⅱ)易得△ABC为直角三角形，在△BCD中，由正弦定理得CD=3BC2sin(2π16.【答案】解：设AD=2，则PA=PD=22，AD中点为O，BC中点为E，分别以OE，OD，OP为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，(Ⅰ)A(0,-1,0)，B(2,-1,0)C(2,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,7)，M(0,34,74)，AM=(0,74,74)，PD=(0,1,-7)，CD=(-2,0,0)，所以AM⋅PD=0，AM⋅CD=0，故AM⊥PD，AM⊥CD，因为PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD.(Ⅱ)设n1=(x1,y1,【解析】本题考查了线面垂直的向量表示和平面与平面所成角的向量求法，是中档题.(Ⅰ)设AD=2，建立空间直角坐标系，易得AM⋅PD=0，AM⋅CD=0，故AM⊥PD，AM⊥CD，利用线面垂直的判定即可得证；(Ⅱ)17.【答案】解：(Ⅰ)因为圆心C(a,-2a+4)在直线x+y-3=0上，所以a-2a+4-3=0，即a=1，所以圆心C的坐标为(1,2).(i)当过P点的切线斜率存在时，方程可设为y=kx-3，即kx-y-3=0，则|k-5|1+k2=1，解得k=125，得切线方程为y=125x-3.(ii)当过A点切线斜率不存在时，直线x=0也满足，综上，所求直线方程为x=0或12x-5y-15=0.(Ⅱ)设点Q(x,y)，C(a,-2a+4)，由|PQ|=2|OQ|，化简得：x2+(y-1)2=4.点Q的轨迹为以C'(0,1)为圆心，2

【解析】本题考查了直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，是中档题.(Ⅰ)由圆心C(a,-2a+4)在直线x+y-3=0上，得出a的值，再分切线斜率存在和不存在两种情况求解即可；(Ⅱ)设点Q(x,y)，C(a,-2a+4)，由|PQ|=2|OQ|，得出点Q的轨迹方程，易得圆C与圆C'的关系为相交或相切，则1≤|CC'|≤3，计算即可.18.【答案】解：(Ⅰ)设g(x)=f(x)-x22-x，x∈[0,+∞),则g'(x)=ln(x+1)-x，令φ(x)=ln(x+1)-x，则φ'(x)=-xx+1≤0，所以g'(x)在[0,+∞)上单调递减，又g'(0)=0，所以g'(x)≤0在[0,+∞)上恒成立，所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，又g(0)=0，所以g(x)<0在(0,+∞)上恒成立，所以当x>0时，f(x)<x22+x.(Ⅱ)设h(x)=f(x)-ax，