江苏省新高考基地2025届高三上学期第一次数学试题

江苏省“新高考基地学校”高三上学期12月第一次大联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2-x-3>0}，B={-2,-1,1,2,3}A.{-2}B.{1,2}C.{-2,3}D.{-2,2,3}2.若1+z1-i=zA.-12+12i3.已知向量a和b满足(a+b)⊥bA.1B.2C.3D.24.某人通过手机APP记录锻炼情况，得到11月份每天的锻炼时间(单位：h)如下表：锻炼时间小于0.5[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)不小于2天数261084据表中数据，下列结论一定正确的是(

)A.30天锻炼时间的中位数不超过1.2hB.30天锻炼时间的平均数不低于1.1hC.30天锻炼时间的极差不超过2.5h5.已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为(

)A.13B.14C.26.记函数f(x)=sin2x，x∈[0,π2]的图象为曲线段C，直线y=m与C交于A，B两点，直线y=6m与C交于D，E两点.A.12B.14C.17.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，点A，B分别在C的左、右两支上，AB//OF(OA.6+22B.3+8.已知三次函数f(x)=2ax(x-b)2的定义域和值域都为[a,b]，则A.-12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1A.A1C1//平面ABEB.AC1//平面BDEC.10.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x).若f(x)是奇函数，且f(x)-g(x)=ax，(a>0且a≠1)A.f(x)+g(x)=a-xB.g(x)≤-1C.g'(x)=f(x)11.设曲线C:x4+4y2=4与x轴交于A、B两点，P是CA.曲线C是轴对称图形B.△PAB的面积小于2C.曲线C围成的封闭图形面积小于πD.∠APB为钝角三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知{an}是等比数列，若a4a513.若α和β都为锐角，cos(α+β)=22，cosα14.设m，n∈N*，m≤10，n≤10，函数f(x)=emx-nx(e是自然对数的底数，e≈2.718).从有序实数对(m,n)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知△ABC的三个内角A，B，C所对边为a，b，c，若B=2C，b:c=4:(1)求cosB的值(2)若a=11，求△ABC的面积.16.(本小题15分)如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60∘，(1)证明：PC⊥AD;(2)若PA=AD=4，PB=27，求平面PAB与平面ABCD所成二面角的正弦值17.(本小题15分)已知数列{an}满足：{an+an+1(1)证明：{an(2)设b是方程2x3+3x-2=0的根，数列{ban18.(本小题17分)在坐标平面xOy中，已知抛物线C:y2=2px(p>0)，经过点(2,0)的直线与C交于A，B两点，直线l平行于AB且与C切于点D.当直线AB与(1)求C的方程;(2)若直线OD与AB交于点M，求M的横坐标;(3)求△ABD的面积的最小值.19.(本小题17分)已知函数f(x)及其导函数f'(x)定义域都为区间I，A，B，C是曲线W:y=f(x)，x∈I上任意不同的三点.若点A，B，C的横坐标依次成等差数列，且W在点B处的切线的斜率大于直线AC的斜率，则称f(x)在I上为“中值偏移”函数.(1)设f(x)=a①讨论f(x)的单调性;②若f(x)是R上的“中值偏移”函数，求实数a的取值范围;(2)证明：g(x)=-x2+xln答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了交集及其运算以及一元二次不等式的解法

，属于基础题.先求解集合A，根据交集的定义即可求解.【解答】解：由题意可得A={x|x2-x-3>0}={x|x<12-13则A∩B={-2,3}，故选C.2.【答案】A

【解析】【分析】本题考查复数的运算法则，属于基础题．利用复数的运算法则计算出结果.【解答】解：由1+z1-i=z1+i得：(1+z)(1+i)=z(1-i)，即1+i+z(1+i)=z(1-i)，即z(1-i-1-i)=1+i，即-2iz=1+i，则3.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了向量的数量积的运算，向量垂直的判断，属于基础题.由向量垂直可求得(a+b)⋅b=0，即可得a⋅b+b2=0，再由|a+b|=2，可得4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查极差，平均数、中位数、众数，属于基础题．根据中位数的定义即可判断A，根据平均数的计算即可求解B，根据极差的定义即可求解C，根据众数的定义即可求解D.【解答】解：A选项：该组数据的中位数在[1,1.5)之间，无法判断不超过1.2h，故A错误；B选项：平均数最小值=0×2+0.5×6+1×10+1.5×8+2×430=1.1，所以平均数不低于1.1，故B正确；C选项：无法判断极差的最大值，极差不超过2.5h错误，故C错误；D选项：该组数据的众数在[1,1.5)之间，众数不低于5.【答案】C

【解析】【分析】本题考查圆锥和球的表面积和体积，属于基础题.由表面积相等求得l=3r，利用圆锥和球的体积公式即可求解.【解答】解：设圆锥的底面半径r，母线长为l，则球的半径也为r.因为圆锥的表面积S圆锥=πr2+πrl，球的表面积为S球=4πr2，则6.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数的对称性，二倍角余弦公式，诱导公式，属于中档题.利用正弦函数的图象可知函数f(x)=sin2x，x∈[0,π2]关于x=π4对称，直线y=m与x=π4相交于点M，直线y=6m与x=π4相交于点N，设【解答】解：函数f(x)=sin2x，x∈[0,π2]关于x=π4对称，直线y=m与x=π4相交于点M，直线y=6m与x=π4相交于点N，设Ax1,y1,Dx2,y27.【答案】A

【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率，属于较难题.由双曲线的对称性，设双曲线的右焦点为F'，连接BF'，则四边形AFF'B为等腰梯形，在三角形BFF'中应用正弦定理与双曲线定义即可求解离心率.【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，连接BF'，由双曲线的对称性，四边形AFF'B为等腰梯形，所以∠AFF'=∠FF'B=60∘+45∘=105∘，∵AB//OF，∴∠ABF'=75∘，∠ABF=∠BFO=45∘，∴∠FBF'=30∘，在△BFF'中由正弦定理可得：FF'sin30∘=BFsin8.【答案】D

【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的值域，属于较难题.由题意易知b>a，且a≠0，再对a、b与0的关系进行讨论，利用导数求解.【解答】解：由题意易知b>a，且a≠0，又f(a)=2a2(a-b)2>f(b)=0，f'(x)=2a(3x-b)(x-b)，令f'(x)=0，解得x=b或b3，①当b>a>0，且a≥b3时，函数f(x)在[a,b]上单调递减，则f(a)=2a2(a-b)2=b,f(b)=a=0，不合题意；②当b>a>0，且a<b3时，函数f(x)在[a,b3]上单调递增，在[b3,b]上单调递减，则f(b3)=b,f(b)=a=0，不合题意；③当a<b≤0时，函数9.【答案】BC

【解析】【分析】本题考查了线面平行的判定和线面垂直的判定，属于中档题.可知AC//A1C1，根据AC与平面ABE的关系可判断A；连接AC交BD于点O，得到EO//AC1，根据线面平行的判定定理判断B；根据线面垂直的判定定理判断C；可求得∠BED1为钝角，即可判断D.【解答】解：对于A，连接AC，可知AC//A1C1，而AC∩平面ABE=A，所以A1C1与平面ABE相交，故A错误；对于B，连接AC交BD于点O，连接EO，可知O为AC的中点，又E为CC1的中点，所以EO//AC1，因为EO⊂平面BDE，AC1⊄平面BDE，所以AC1//平面BDE，故B正确；对于C，可设AA1=2AB=2，由E为CC1的中点，可得BE=B1E=2，则BE2+B1E2=BB12，可得BE⊥B1E，因为A1B1⊥10.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查利用函数的奇偶性求解析式，考查指数幂的运算，考查复合函数的导数，属于中档题.由f-x=-fx两边求导得gx为偶函数，根据奇偶性可得fx=ax-a-x2,gx=-ax+a-x2，再由g(x)=f'(x)可得a=1e，故fx=e-x-ex2,gx=-e-x+ex2，再逐项分析即可求解.【解答】解：因为f(x)是奇函数，所以f-x=-fx，所以-f'-x=-f'x11.【答案】ABD

【解析】【分析】本题主要考查曲线与方程、三角形面积、利用向量判断角的大小等，属于中档题.对于A，若点(x,y)满足曲线C的方程，则点(-x,y)，点(x,-y)也满足曲线C的方程，从而可判断A.对于B，由曲线C:x4+4y2=4的方程，可知-2≤x≤2，-1≤y≤1，再由P和A、B的坐标可判断B.对于C，设圆O：x2+y2=1，则圆O的面积为π，判断曲线C围成的封闭图形与圆O的位置关系，可判断C.【解答】解：设P(a,b).可求得曲线C:x4+4y2=4与x轴的交点为(-2,0)和(2,0)，与y轴交点为(0,-1)和(0,1).不妨取A(-2,0)，B(2,0).对于A，若点(x,y)满足曲线C的方程，则点(-x,y)，点(x,-y)也满足曲线C的方程;因此若点(x,y)在曲线C上，点(-x,y)，(x,-y)亦在曲线C上.因此曲线C是关于x轴、y轴对称的图形.故A正确.对于B，由曲线C:x4+4y2=4的方程，可知-2≤x≤2，-1≤y≤1.又P不在坐标轴上，则-2<a<2，-1<b<1，因此SΔPAB=12|AB||b|<2.故B正确.对于C，坐标原点为O，设圆O：x2+y2=1，则圆O的面积为π.联立方程组，x4+4y2=4x2+y2=1，消去y，可得x4-4x2=0，即x2(x2-4)=0解得x=0，x=±2(不满足曲线C、圆O的方程，舍去)，由此可知圆O与曲线C有且仅有两个交点(0,1)和(0,-1).又圆12.【答案】48

【解析】【分析】本题考查等比数列的性质和通项公式，属于基础题.求出公比，由等比数列的通项公式即可求解.【解答】解：由题意，得a4a5=313.【答案】210【解析】【分析】本题考查两角和差公式的应用，涉及同角三角函数关系应用，属中档题.由cos(α+β)的值求得sin(α+β)，利用和差角公式展开结合已知计算即可.【解答】解：cos(α+β)=22，α、β都为锐角，所以sin(α+β)=22，即sin14.【答案】320【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，考查古典概型下的概率计算，属于较难题.首先利用导数研究函数fx的单调性，求出其最小值，然后注意问题等价于函数fx的最小值小于0，据此求出m,n满足的充要条件，最后依据古典概型即【解答】解：因为fx=emx-nx，其中m,n∈N*，并且m≤10，n≤10，f'x=memx-n，由f'x<0，得：x<1mlnnm，由f'x>0，得：x>1mlnnm，所以函数fx在(-∞,1mlnnm)内递减，在(1mlnnm,+∞)内递增，又当x→-∞时，fx→+∞，当x→+∞时，也有fx→+∞，所以函数fx15.【答案】解：(1)b:c=4：5，正弦定理sinB:sinC=4:5∴sin2C:sinC=4:5，2sinCcosC:sinC=4:5sinC≠0，∴cosC=25【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力，属于较易题.(1)由正弦定理得cosC，再由二倍角公式求cosB的值；(2)由余弦定理术出c的值再由同角三角函数的基本关系求出sin16.【答案】解：(1)取AD中点为E，连接AC，PE，CE，∵菱形ABCD中，∠ADC=60∘，∴△ACD为正三角形，又E为AD中点，∴CE⊥AD，∵PA=PD，E为AD中点，∴PE⊥AD，又PE、CE⊂平面PCE，PE∩CE=E，故AD⊥平面PCE，又PC⊂平面PCE，故AD⊥PC；(2)作PM⊥EC于M，连接MC，由(1)知AD⊥平面PCE，又PM⊂平面PCE，故AD⊥PM，又PM⊥EC，EC∩AD=E，EC、AD⊂平面ABCD，故PM⊥平面ABCD，菱形ABCD中，∠ADC=60∘，∴∠DCB=120∘，由(1)知∠DCE=30∘，∴∠ECB=90∘，即DC⊥CB，由PA=AD=4，可得△PAD为等边三角形，PE=4×32=23，同理可得CE=23，设PM=x，则EM=PE2-PM2=12-x2，BM2=CM2+CB2=(23-12-x2)2+42，又PB=27，Rt△PMB中，PM2+MB2=PB2，则x2+(23-12-x2)2+42=(27)2，解得x=3，此时【解析】本题考查线面垂直的判定与性质，考查两平面成角的求解，属中档题.(1)取AD中点E，证得AD⊥平面PCE，即可证得结论；(2)过P作PM⊥EC于M，利用勾股定理求得PM=3，进而建系求解即可.17.【答案】(1)证明：由题意，n≥2时，an+an+1-(an+an-1)=6，所以an+1-an-1=6，an+an+1+an+2-(an-1+an+an+1)=9，所以an+2-an-1=9，所以an+2-a【解析】本题考查等差数列的证明、等比数列的求和公式，属于中档题.(1)利用等差数列的定义进行证明；(2)由题意，1-b3=32b，令f(x)=218.【答案】解：(1)当直线AB与x轴垂直时，此时直线AB的方程为x=2，代入抛物线C的方程得y2=4p，则y=±2p，又OA⊥OB，所以2p=2，解得p=1，所以C的方程为y2=2x；(2)易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+2，直线l的方程为x=my+t，联立x=my+ty2=2x消去x可得，y2-2my-2t=0，因为直线l与C切于点D，所以Δ=(-2m)2+8t=0，解得t=-m22，所以直线l的方程为x=my-m22，切点D的坐标为(m22,m)，因为存在直线OD，所以m≠0，直线OD的方程为y=2mx，联立x=my+2y=2mx，解得xM=-2，所以M的横坐标为-2；(3)设A(x1,y1)，【解析】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线位置关系及其应用，抛物线中的面积问题，属于拔高题.(1)当直线AB与x轴垂直时，此时直线A