数字处理及实现 1

第1章时域离散信号与系统第1章时域离散信号与系统本章目录1.1信号和信号处理1.2时域离散信号1.3时域离散系统1.4常系数线性差分方程1.5模拟信号数字化处理方法第1章时域离散信号与系统2026/1/163

本章从信号的概念着手学习信号和信号处理的概念，了解时域离散信号的定义及其表示方法以及常用的典型序列。1.1信号和信号处理信号是传递信息的函数(或序列)，该函数的图像称为信号的波形。通常是一个或者几个自变量的函数。仅有一个自变量的函数称为一维信号，否则称为多维信号。本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术。时域离散信号与系统1.1

信号和信号处理1.1.1信号的特征与分类根据信号来源的多少根据信号的自变量是否连续1.1.2典型的信号处理运算时域的基本运算时域中三个最基本的信号运算是乘、延时、积分和微分。

滤波根据指定的要求改变组成信号的频率而成实现滤波运算的系统，称为滤波器。2026/1/164时域离散信号与系统1.2

时域离散信号

1.2.1时域离散信号的表示方法时域离散信号x(n)的常用表示方法有多种，常用三种表示法：公式图形集合对模拟信号xa(t)以采样间隔为T为周期进行等间隔采样，得xa(t)|t=nT=xa(nT)，-∞<n<∞(1-10)习惯上简记为x(n)。2026/1/165时域离散信号与系统1.2

时域离散信号(1)公式法表示序列。例如x(n)=an+0.50<a<1，0≤n<∞(2)集合法表示序列。例如当a=0.5，n={0，1，2，…}时，序列y(n)=an的样本值为y(n)={1，0.5，0.25，0.625，…}(3)图形法表示序列2026/1/166时域离散信号与系统1.2

时域离散信号(3)图形法表示序列2026/1/167图1-4时域离散信号的图形表示

常省略幅值仅用线段标记用两个向量x和n表示有限长序列x(n)其中x和n中的向量元素一一对应，分别表示x(n)的幅度向量和位置向量位置向量相当于序列图形表示法中的横坐标。例1-1计算序列x(n)=sin(πn/5)在n=-5，-4，…，0，…，4，5的样本值。2026/1/168时域离散信号与系统1.2

时域离散信号MATLAB语言中时域离散信号的表示方法

时域离散信号与系统1.2

时域离散信号n=-5:5; %位置向量n从-5到5x=sin(pi*n/5);

%计算序列向量x(n)在n从-5到5区间的样本值subplot(3,2,1);

%绘图窗口分割为三行二列共六个绘图区，并选择坐上角为绘图区stem(n,x,’.’);%绘制序列图，并在端点处标记圆点，若要标记圆圈%可在单引号内输入字母oaxis([-5,6,-1.2,1.2]); %调整水平和垂直坐标轴xlabel(‘n’); %标记水平坐标名称ylabel(‘x(n)’) %标记垂直坐标名称2026/1/169MATLAB语言中时域离散信号的表示方法

时域离散信号与系统1.2

时域离散信号程序fex1_1.m的运行结果2026/1/1610图1-5序列x(n)=sin(πn/5)的计算机图形表示

时域离散信号与系统1.2

时域离散信号例1-2将已知模拟信号xa(t)=0.8cos10πt转换成时域离散信号和数字信号。选择采样频率fs=50Hz对xa(t)进行采样，即以采样间隔T=1/fs=0.02s等间隔采样。即将t=nT代入xa(t)=0.8cos100πt中，得x(n)={…，0.8000，0.6472，0.2472，-0.2472，-0.6472，…}5位二进制数字信号为x[n]={…，1.1001，1.0100，0.0111，-0.0111，-1.0100，…}2026/1/16112026/1/1612时域离散信号与系统1.2

时域离散信号1．单位脉冲序列δ(n)

(1-11)图1-6单位脉冲序列1.2.2典型时域离散信号时域离散信号与系统1.2

时域离散信号2．单位阶跃序列u(n)u(n)可以用单位脉冲δ(n)表示为2026/1/1613(1-12)图1-7单位阶跃序列(1-13)时域离散信号与系统1.2

时域离散信号3．矩形序列RN(n)2026/1/1614(1-14)图1-8矩形序列RN(n)＝u(n)-u(n-N)(1-15)时域离散信号与系统1.2

时域离散信号4．实指数序列2026/1/1615(1-16)图1-90＜a＜l时的实指数序列

时域离散信号与系统1.2

时域离散信号5．复指数序列和正弦序列可写成x(n)=eσn(cosω0n+jsinω0n)=eσncosω0n+j

eσnjsinω0n

用极坐标表示|x(n)|=

eσn，arg[x(n)]=ω0n

2026/1/1616(1-17)时域离散信号与系统1.2

时域离散信号正弦序列用下式表示

x(n)=Asin(ωn+φ)(1-19)正弦信号xa(t)=sin(Ωt)采样得到xa(t)|t=nT=sin(ΩnT)x(n)=sin(ωn)在数值上序列值与采样信号值相等，得ω=ΩT(1-20)因采样频率fs与采样周期T互为倒数，数字频率ω也可表示成式

(1-21)2026/1/1617

时域离散信号与系统1.2

时域离散信号1.2.3周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，序列x(n)满足x(n)＝x(n+N)(1-22)则称序列x(n)是周期序列。

正弦序列的周期性设x(n)=Asin(ωn+φ)正弦序列x(n)是周期序列，则有x(n)＝x(n+N)或Asin(ωn+φ)＝Asin[(n+N)ω+φ]2026/1/1618时域离散信号与系统1.2

时域离散信号考察上式，因为正弦函数以2π为周期，因此要求Nω是2π的整数倍，即Nω＝2kπ，得只有当N是正数时，正弦序列x(n)才能是周期序列。2026/1/1619(1-23)

时域离散信号与系统1.2

时域离散信号1.2.4序列的时域运算

时域运算包括移位、翻转、和、积、累加、差分、时间尺度变换、卷积和等。1．和运算两个序列x(n)和y(n)对应项相加形成的序列z(n)表示为z(n)＝x(n)+y(n)2．积运算两个序列x(n)和y(n)对应项相加形成的序列z(n)表示为z(n)＝x(n)y(n)2026/1/1620

时域离散信号与系统1.2

时域离散信号1.2.4离散序列的时域运算

3．移位运算也称延时运算。是指一序列x(n)逐项依次延时(右移)m位而给出的一个新序列y(n)的运算，记为y(n)=x(n-m)y(n)=x(n+m)指依次超前(左移)m位的运算。4．翻转运算将序列x(n)以n＝0的纵轴为对称轴形成序列的运算，所得序列为x(-n)。2026/1/1621

时域离散信号与系统1.2

时域离散信号1.2.4离散序列的时域运算

5．累加运算设序列为x(n)，则序列x(n)的累加运算形成的序列y(n)定义为表示y(n)在某一个n0上的x(n0)值以前的所有n值上的x(n)值之和。2026/1/1622时域离散信号与系统1.2

时域离散信号例1-7设则2026/1/1623n≥-1n<-1图1-14序列x(n)及其累加序列y(n)

时域离散信号与系统1.2

时域离散信号7．序列的时间尺度(比例)变换x(n)＝x(t)|t＝nT

则x(2n)＝x(t)|t＝2nT这种运算称为抽取。

2026/1/1624图1-15某序列及其抽取序列时域离散信号与系统1.2

时域离散信号x(n/2)＝x(t)|t＝nT/2表示采样间隔由T变成T/2，

x(n/2)在原序列x(n)相邻两点中间增加一个点，相当于插入一个点将序列x(n/2)称为x(n)的插值序列。8．卷积和两序列为x(n)和h(n)，则x(n)和h(n)的卷积和为卷积和的运算可分为四步翻转、移位、相乘、相加

2026/1/1625(1-24)时域离散信号与系统1.2

时域离散信号9．离散序列的能量序列x(n)的能量E为1.2.5任意序列的单位脉冲序列表示2026/1/1626(1-25)时域离散信号与系统1.2

时域离散信号例1-9x(n)如图1-17(a)所示，试用单位脉冲序列表示该序列。解：如图1-17(a)所示，x(n)可看成单位脉冲序列的移位加权和，即x(n)=a-3δ(n+3)+a2δ(n-2)+a6δ(n-6)2026/1/1627图1-17用单位脉冲序列表示任意序列x(n)时域离散信号与系统1.3

时域离散系统

将输入x(n)，经过规定的运算变换成输出序列y(n)，达到数字信号处理的目的的。以T[·]来表示时域离散系统输出与输入之间关系可以表示为y(n)=T[x(n)](1-26)2026/1/1628图1-18时域离散系统时域离散信号与系统1.3

时域离散系统时域离散系统中，最常用的是线性时不变系统。许多物理过程都可用线性时不变系统表征，而且线性时不变系统便于分析。本课程所研究的是“线性时不变”的时域离散系统。2026/1/1629时域离散信号与系统1.3

时域离散系统1.3.1线性时不变离散系统1．线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统。设系统的输入序列分别为x1(n)和x2(n)，系统的输出分别为y1(n)和y2(n)y1(n)＝T[x1(n)]，y2(n)＝T[x2(n)]

假设x(n)＝a1x1(n)+a2x2(n)，如果系统的输出y(n)服从下式y(n)＝T[x(n)]=T[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1y1(n)+a2y2(n)(1-27)

则该系统服从线性叠加原理，或者说该系统是线性系统。2026/1/1630时域离散信号与系统1.3

时域离散系统叠加原理包含可加性和齐次性(比例性)两方面性质。

例1-10已知系统输入x(n)和输出y(n)满足以下关系y(n)＝Im[x(n)]试讨论此系统是否是线性系统。

令x1(n)为复数输入，即x1(n)＝r(n)十jp(n)相应的输出为y1(n)＝Im[x1(n)]=p(n)2026/1/1631时域离散信号与系统1.3

时域离散系统若x2(n)＝f(n)十jg(n)y2(n)＝g(n)所以x1(n)+x2(n)＝r(n)+f(n)+j[p(n)+g(n)]T[x1(n)+x2(n)]＝p(n)+g(n)显然无论r(n)，f(n)，p(n)，g(n)取什么实数，都满足可加性。再研究系统的比例性，仍设x1(n)＝r(n)+jp(n)2026/1/1632时域离散信号与系统1.3

时域离散系统则y1(n)＝p(n)考虑输入为x2(n)＝ax1(n)＝jx1(n)＝j[r(n)十jp(n)]＝-p(n)+

jr(n)则此时系统的输出为y2(n)＝Im[x2(n)]＝Im[ax1(n)]＝r(n)而因为ay1(n)＝jp(n)y2(n)并不等于ay1(n)，因此，这个系统不满足比例性，所以不是线性系统。2026/1/1633时域离散信号与系统1.3

时域离散系统2．时不变系统如果系统对输入信号的运算关系T[·]在整个运算过程中不随时间变化，则称该系统为时不变系统(或称移不变系统)。若y(n)＝T[x(n)]

则y(n-m)＝T[x(n-m)](1-33)其中m为任意整数。研究一个系统是否是时不变系统，就是检验系统是否满足式(1-33)。2026/1/1634时域离散信号与系统1.3

时域离散系统例1-12证明y(n)＝4x(n)+6是时不变系统。证：T[(n-m)]＝4x(n-m)+6y(n-m)＝4x(n-m)+6二者相等，故是时不变系统。同时具有线性和时不变性的时域离散系统称为线性时不变(1inearshiftinvariant，LSI)时域离散系统，简称LSI系统。本课程只研究LSI系统。

2026/1/16351.3.2线性时不变系统输出与输入的关系1．单位脉冲响应与卷积和设系统输出y(n)的初始状态为零，系统输入x(n)＝δ(n)，这时系统的输出y(n)用h(n)表示，即h(n)＝T[δ(n)](1-34)称h(n)系统的单位脉冲响应单位脉冲响应h(n)是系统对δ(n)的零状态响应，它表征了系统的时域特性。也称单位取样响应。2026/1/1636时域离散信号与系统1.3

时域离散系统时域离散信号与系统1.3

时域离散系统设系统输入序列为x(n)，输出序列为y(n)。根据式(1-25)知道，任一序列x(n)可写成δ(n)的移位加权和，即则系统的输出为根据线性系统的叠加性质根据时不变性性质，上式中T[δ(n-m)]=h(n-m)，得2026/1/1637(1-35)时域离散信号与系统1.3

时域离散系统式(1-35)就是线性时不变系统的卷积和表达式，表明线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应的卷积。只要知道系统的单位脉冲响应，按照式(1-35)，对于任意输入x(n)都可以求出系统的输出。卷积的列表计算法和用MATLAB计算方法2026/1/1638时域离散信号与系统1.3

时域离散系统例1-13已知系统单位脉冲响应h(n)=R4(n)，设该系统的输入为x(n)=R4(n)，试用列表法和MATLAB信号处理函数计算y(n)。解：(1)列表法2026/1/1639图1-20例1-13的乘积表时域离散信号与系统1.3

时域离散系统%fex1_8.m：

%用MATLAB计算卷积y(n)=R4(n)*R4(n)a=[1111];b=[1111] %向量a和byn=conv(a，b); %计算序列向量a和b%卷积，结果保存在yn中程序运行结果：yn=[1，2，3，4，3，2，1]2026/1/1640时域离散信号与系统1.3

时域离散系统2．线性时不变系统的性质两个序列x(n)和h(n)的卷积y(n)为y(n)＝x(n)*h(n)(1-36)2026/1/1641图1-21线性时不变系统

时域离散信号与系统1.3

时域离散系统(1)交换律。卷积和与两卷积序列的次序无关，故y(n)＝x(n)*h(n)＝h(n)*x(n)(1-37)(2)结合律。卷积和运算服从结合律，即x(n)*h1(n)*h2(n)＝[x(n)*h1(n)]*h2(n)＝x(n)*[h1(n)*h2(n)]＝[x(n)*h2(n)]*h1(n)(1-38)2026/1/1642图l-22卷积和服从交换律

时域离散信号与系统1.3

时域离散系统(3)分配律。卷积和满足x(n)*[h1(n)+h2(n)]＝x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)(1-39)2026/1/1643图1-24线性时不变系统的并联组合

1.3.3系统的因果性和稳定性1．系统的因果性系统的因果性即系统的可实现性。若系统在某时刻n的输出只取决于此时刻和此时刻以前的输入信号，而和n时刻以后的输入信号无关，即n=n0的输出y(n0)只取决于n≤n0的输入，则该系统是可实现的，是因果系统，这样的系统称之为因果系统。如果系统当前的输出还取决于未来的输入，在时间上违背了因果性，该系统无法实现，该系统是非因果系统。2026/1/1644时域离散信号与系统1.3

时域离散系统时域离散信号与系统1.3

时域离散系统系统具有因果性的充要条件是，系统的单位脉冲响应满足h(n)＝0，n＜0(1-40)因果性定理线性时不变系统具有因果性的充分必要条件----系统的单位脉冲响应满足下式h(n)＝0，n＜0证明充分条件：若n＜0时h(n)＝0，则2026/1/1645时域离散信号与系统1.3

时域离散系统因而所以y(n0)只和m≤n0时的x(m)值有关，因而系统是因果系统。必要条件：(反证法)已知系统h(n)为非因果系统，即假设n＜0时，h(n)≠0，则在所设条件下，第二个Σ式至少有一项不为零，y(n)将至少和m＞n时的一个x(m)值有关，这不符合因果性条件，所以假设不成立。因而n＜0时，h(n)＝0是必要条件。2026/1/1646时域离散信号与系统1.3

时域离散系统2026/1/1647图1-25非因果系统的延时实现

时域离散信号与系统1.3

时域离散系统2．系统的稳定性如果系统输入是有界的，系统所产生的输出也是有界的，这样的系统称之为稳定系统，有时记为BIBO系统。线性时不变系统是稳定系统的充要的条件是即单位脉冲响应绝对可和。2026/1/1648(1-41)证明充分条件：若如果输入信号x(n)有界，即对于所有n皆有|x(n)|≤M，则即输出信号y(n)有界，故原条件是充分条件。

2026/1/1649≤≤M

＝M

＝MP＜∞时域离散信号与系统1.3

时域离散系统时域离散信号与系统1.3

时域离散系统必要条件：(反证法)已知系统稳定，假设则可以找到一个有界的输入为使得即在n＝0输出无界，系统不稳定，因此假设不成立。所以是稳定的必要条件。2026/1/1650时域离散信号与系统1.3

时域离散系统因果稳定的线性时不变系统的单位脉冲响应是因果的且是绝对可和的，即例1-14试分析系统y(n)＝anu(n)的因果稳定性，式中a是实常数。解：(1)因果性讨论：由于n＜0时h(n)＝0，

故此系统是因果系统。(2)稳定性讨论：因为2026/1/1651(1-42)时域离散信号与系统1.3

时域离散系统只有当|a|＜1时，因此系统稳定的条件是|a|＜1。2026/1/1652图1-26h(n)＝anu(n)的图形

(a)(a实数，a<1)(b)(a实数，a>1)

时域离散信号与系统1.4常系数线性差分方程1.4.1N阶线性时不变系统的差分方程描述1.4.2线性常系数差分方程的递推解法观察式(1-44)，易见，代入已知输入信号和N个初始条件，可得n时刻的输出，再将式中的n用n+1代替，即可求出n+1时刻的输出，以此类推，即可求出各时刻的输出。2026/1/1653(1-43)(1-44)时域离散信号与系统1.4常系数线性差分方程1.4.3用MATLAB求解差分方程设xn是输入信号向量，A和B是线性常系数差分方程，即式(1-43)或(1-44)的系数向量，即A=[a0，a1，…，aN]，B=[b0，b1，…，bN]其中a0=1，如果a0≠1，