28.2.2 应用举例第1课时 仰角俯角（教学设计）数学人教版九年级下册

28.2.2应用举例（第1课时仰角俯角)教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用，内容包括：仰角俯角.2.内容解析本节课的内容是在学生学习了利用三角函数解直角三角形的基础上，深入探究解直角三角形在实际问题中的应用。本节课，我们将通过具体的应用实例，学会如何运用仰俯角的知识来解决直角三角形的问题。这不仅是数学知识的巩固，更是实际应用能力的提升。通过图形直观地理解仰俯角和直角三角形的关系，不断强化直观想象能力。在这一节中，我们将学习如何利用勾股定理来解直角三角形，包括求解三角形的边长和角度。这些知识不仅能够帮助我们解决实际问题，还能为后续学习打下坚实的基础。教学内容与学生已有知识的联系非常紧密。在此之前，我们已经学习了勾股定理的发现和证明，以及直角三角形的性质。这些知识为本节课的学习提供了必要的背景和基础。通过本节课的学习，学生将能够将已有的知识运用到实际问题中，进一步巩固和拓展他们的数学思维。基于以上分析，本节课的教学重点是:能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题.二、目标和目标解析1.目标（1）.能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题;（2）.在运用解直角三角形等知识解决实际问题的过程中，体会数学建模和数形结合的思想;（3）.利用解直角三角形知识解决实际问题的过程中，渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识2.目标解析（1）教材由问题引入，并引导学生通过观察、推导等方法，发展学生的逻辑思维和抽象思维能力.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣；（2）培养学生对解直角三角形在实际问题中的理解和运用能力，对不同类型的与仰角俯角有关的解直角三角形的方法形成正确的认识；（3）鼓励学生在实践中探索，培养实验探究能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生认真、严谨的学习态度和责任感，为后续数学学习打下坚实基础.三、教学问题诊断分析首先，九年级的学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的几何知识和解题能力。他们对直角三角形和角度的概念有了基本的理解，这是学习仰俯角解直角三角形的基础。而学生们在这一阶段可能存在以下特点：一方面，他们的抽象思维能力逐渐增强，能够从具体事例中提炼出数学规律；另一方面，他们在解决复杂问题时，可能会遇到逻辑推理上的困难，尤其是在处理实际问题与数学模型之间的转换时。在行为习惯方面，学生们在课堂上通常积极参与，但有时可能缺乏耐心，面对难题时容易放弃。此外，部分学生可能对数学应用题的兴趣不高，这可能会影响他们对本节课的学习热情。基于以上分析，本节课的教学难点为:在运用解直角三角形等知识解决实际问题的过程中，体会数学建模和数形结合的思想.四、教学过程设计（一）情景导入观看视频问题思考：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数)？解：设∠FOQ

=α，FQ是⊙O切线，△FOQ∵cosα=∴α≈18.36°∴PQ的长为18.36π180×6400≈18.36×3.142180∴当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)【设计意图】通过观看视频，感受中国航天飞速发展增强民族自豪感，也让学生理解数学来源于生活服务于生活.（二）新知探究仰角俯角的定义：如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫作仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫作俯角.【设计意图】通过定义讲解让学生理解仰角俯角的概念，并能在图形中辨认仰角俯角.（三）典例讲解例1.(1)如图，无人机的探测器显示，从无人机A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，无人机A与高楼的水平距离为120m，求这栋高楼BC的高度解：过A点作AD⊥BC，垂足为D，由题意可得，∵AD⊥BC,AD=120m在Rt△ABD中,BD=AD·tan30在Rt△ACD中,CD=AD·tan60∴BC=BD+CD=403+120例1.(2)如图，无人机的探测器显示，从无人机A看一栋高楼顶部B的俯角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，若无人机的高度为解:过A点作地面的垂线AD⊥CD于点D,过点B作BE⊥AD于E∵AD⊥CD

，∠ABE=45∴在Rt△ACD中,∵BE=CD,∴BE=40在Rt△ABE中,∵DE=AD−AE=120−40∴BC=120−403例1.(3)如图，无人机的探测器显示，从无人机A看一栋高楼顶部B的俯角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，这栋高楼BC的高度为120m，求无人机解:过A点作CB延长线的垂线AD,垂足为D，设AD=xm∵AD⊥BC

，∴在Rt△ABD中,在Rt△ACD中,∵BC=CD−BD=∴x=60(3+1),即无人机A例2.如图，2024年4月25日，神舟十八号载人飞船从地面O处成功发射．当飞船到达A处时，地面D处的雷达站测得AD=4000m，仰角为30°．3s后，飞船直线上升到达B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知点O,C,D在同一直线上，C,D两处相距460m，求飞船从A处到B处的平均速度（结果精确到1解：∵∠O=90°．在Rt△AOD∴OA=1∵CD=460m，∴OC=OD−CD=(20003∵在Rt△BOC中，∴OB=OC⋅tan∠BCO=(20003∴AB=OB−OA=20003∴飞船从A处到B处的平均速度约为2000例3.如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点D处，测得小明所在位置A点的俯角为30°，测得教学楼顶C点的俯角为45°，教学楼底B点的俯角为60°，又经过人工测得A，B两点间的距离为120米，求教学楼BC的高度．(注：点A，B，C，D在同一平面上，3≈1.732，解：如图，过点A作AE⊥DM，垂足为E，延长BC交DM于点F,∵AB=EF=120米，BF⊥EF，AE=BF，设DE=x米，∴DF=EF−DE=(120−x)米在Rt△AED中，∠ADE=30°在Rt△DFB中，∠FDB=60°∴33x=3∴DF=120−90=30(米)，FB=AE=3在Rt△DFC中，∠FDC=45°∴BC=BF−CF=303解直角三角形常见类型方法点拨：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.归纳总结：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.【设计意图】通过例题讲解让学生学会利用仰角俯角从实际问题中抽象出数学模型，从而培养数学抽象能力，引导学生运用几何知识解决实际问题，进一步提升逻辑推理能力，增强数学建模意识，让学生体验数学与生活的紧密联系.（四）变式训练1.如图，已知某校博学楼层高5米，弘毅楼层高16米，此刻明明在距离博学楼不远的操场上，估计他自己的身高为1.5米，此刻测得他看博学楼顶部的仰角为30°，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为45°解：过点C作CD⊥ED，交GF于点F，∴CF⊥GF，∴四边形CDHJ、∵自己的身高为1.5米，∴CJ=FI=DH=1.5，∵博学楼层高5米，弘毅楼层高16米，∴GF=5−1.5=3.5米，DE=16−1.5=14.5米，∵他看博学楼顶部的仰角为30°，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为45°∴∠GCF=30∴CF=GFtan30°∴FD=CD−CF=14.5−72.如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物AD的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你计算建筑物AD的高度．(结果精确到1米，参考数据3解：由题意得：AD⊥BD，BC=12米，设CD=x米，∴BD=BC+CD=(x+12)米，在Rt△ABD中，∴AD=BD⋅tan30°=在Rt△ACD中，∴AD=CD⋅tan45°=x（米)，∴x=3∴AD=63+6≈16（米∴建筑物AD的高度约为16米.3.如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度MN，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM,NM⊥AM,AB=31m,BC=18解：如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，∴∠CEF=∠BFE=90°∵CA⊥AM,NM⊥AM，∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，∴CE=BF=AM,ME=AC,BC=EF=18m,∵∠1=∠2，∴△BFN≌△CEM∴NF=EM=AC=31+18=49m∴MN=NF+EM−EF=49+49−18=80m答：商业大厦的高MN为80m4.为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距离地面的高度记为BC，遮阳篷AB长为5m，与水平面的夹角为16°（结果精确到0.1m，参考数据：sin16(1)求点A到墙面BC的距离．(2)当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，测得影长CD为1.8m，求遮阳篷靠墙端距离地面的高度解(1)：如图①，过点A作AF⊥BC，垂足为F．在Rt△ABF中，∴AF=AB⋅cos16°≈∴点A到墙面BC的距离约为4.8m(2)：如图②，过点A作AG⊥CE，垂足为G，由题意，得AG=CF,AF=CG=4.8m．∵CD=1.8m，∴DG=CG−CD=4.8−1.8=3(在Rt△ADG中，∴AG=DG⋅tan45°=∴CF=AG=3m在Rt△ABF中，∴BF=AB⋅sin16°≈∴BC=BF+CF=1.4+3=4.4(m∴遮阳篷靠墙端距离地面的高度BC约为4.4m．【设计意图】巩固学生利用仰角俯角解决实际问题，学会构造直角三角形解决问题.（五）拓展探究1.“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．数学兴趣小组对“北盘江第一桥”主桥墩（如图①）的高度进行测量，如图②是其设计的测量示意图．已知主桥墩底端点B到参照点C的水平距离为97米，该小组从点C沿30°的斜坡CD行走80米到达坡顶平台的点D处．再沿平台行走80米到达点E处，在点E处得主桥墩顶端点A的仰角为43°．已知AB⊥BC，垂足分别为B，F，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内．（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈(1)求坡顶平台DE到地面的距离；(2)求主桥墩AB的高度（结果精确到1米）．解：作DF⊥BC，垂足为F，如图所示：∵∠DCF=30°∴DF=1CF=C∴坡顶平台DE到地面的距离为40米；(2)如图，延长ED交AB于点G，则EG⊥AB，∵∠DGB=∠GBF=∠DFB=90°∴四边形GBFD为矩形．∴GD=BF，DF=GB=40米，∴GE=GD+DE=BC+CF+DE=97+69+80=246（米），∵∠AEG=43°∴tan∠AEG=AG∴AG=0.93×∴AB=AG+GB=AG+DF=229+40=269（米），∴桥墩AB的高度为269米．2.某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图①是悬挂巨大匾额的古塔，图②中的线段BC是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC=1米，∠MBC=30°，从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC=45°，继续向前行走，从点E处看点B，仰角∠AEB=60°，且点D到点E走了3米．求匾额悬挂的高度AB．(3≈1.732，结果取整数解：过点C作CF⊥AM于点F，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：则四边形AHCF是矩形，所以AF=CH,CF=AH，在Rt△BCF中，BC=1米，所以BF=BC⋅cos30°=32(米)，CF=BC⋅sin30在Rt△BAE中，∠AEB=60°所以AE=AB⋅tan30°=在Rt△CDH中，∠CDH=45°因为AD=AH+DH=12+所以12+3答：匾额悬挂的高度AB约是4米．【设计意图】通过此题练习培养学生分析问题，发现问题和解决问题的综合能力.（六）当堂巩固1.如图,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端50m的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（

C

）mA．50tanα B．50sina C．50tanα 2.如图，建筑物AB和旗杆CD的水平距离BC为9m，在建筑物的顶端A测得旗杆顶部D的仰角α为45°，旗杆底部C的俯角β为30°，则旗杆CD的高度为3.在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点C处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32m，从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为63.4°．已知底座BD的高度为4m，求铜像AB的高度为___14m______（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，4.如图，某翼装飞行员从离水平地面高500米的A处出发，沿着俯角为30度的方向直线滑行160米到达D点，然后打开降落伞以60度的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离．解:如图,过点D作DE⊥AC,作DF⊥BC,垂足分别为E,F，由已知可得∠ADE=30°，∠DBF=60∵AC⊥BC，∴四