2026届湖南省邵阳市新邵县高二数学第一学期期末监测模拟试题含解析

2026届湖南省邵阳市新邵县高二数学第一学期期末监测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆的一个焦点坐标是，则（）A.5 B.2C.1 D.2．双曲线：的左、右焦点分别为、，过的直线与y轴交于点A、与双曲线右支交于点B，若为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A. B.C.2 D.3．设，，，则下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.4．椭圆（）的右顶点是抛物线的焦点，且短轴长为2，则该椭圆方程为（）A. B.C. D.5．直线与直线的位置关系是（）A.相交但不垂直 B.平行C.重合 D.垂直6．由1，2，3，4，5五个数组成没有重复数字的五位数，其中1与2不能相邻的排法总数为（）A.20 B.36C.60 D.727．化学中，将构成粒子（原子、离子或分子）在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点）.则图中原子连线BF与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.8．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A. B.C.＋1 D.9．等差数列中，,，则当取最大值时，的值为A.6 B.7C.6或7 D.不存在10．已知等比数列满足，则（）A.168 B.210C.672 D.105011．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测．把这批公务员按001到780进行编号，若018号被抽中，则下列编号也被抽中的是（）A.076 B.122C.390 D.52212．设变量满足约束条件：，则的最小值（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某学生到某工厂进行劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.（取）14．已知为抛物线：的焦点，为抛物线上在第一象限的点.若为的中点，为抛物线的顶点，则直线斜率的最大值为______.15．已知椭圆()中，成等比数列，则椭圆的离心率为_______.16．圆关于直线对称的圆的方程为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C与椭圆有相同的焦点，且长轴长为4（1）求C的标准方程；（2）直线，分别经过点与C相切，切点分别为A，B，证明：18．（12分）已知函数，其中a为正数（1）讨论单调性；（2）求证：19．（12分）已知直线与双曲线交于，两点，为坐标原点（1）当时，求线段的长；（2）若以为直径的圆经过坐标原点，求的值20．（12分）如图，正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，点为的中点，点在直线上，且（1）证明：面；（2）求平面和平面夹角的余弦值21．（12分）已知函数是定义在实数集上的奇函数，且当时，（1）求的解析式；（2）若在上恒成立，求的取值范围22．（10分）如图，在直三棱柱中，，，与交于点，为的中点，（1）求证：平面；（2）求证：平面平面

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据题意椭圆焦点在轴上，且，将椭圆方程化为标准形式，从而得出，得出答案.【详解】由焦点坐标是，则椭圆焦点在轴上，且将椭圆化为，则由，焦点坐标是，则，解得故选：C2、B【解析】由双曲线的定义知，，又为等边三角形，所以，由对称性有，所以，在直角三角形中，求出，在三角形中，由余弦定理求出，从而即可求解.【详解】解：由双曲线的定义知，，又为等边三角形，所以，由对称性有，所以，在直角三角形中，，在三角形中，由余弦定理有，所以，解得，所以双曲线C的离心率，故选：B.3、B【解析】利用特殊值法可判断ACD的正误，根据不等式的性质，可判断B的正误.【详解】对于A中，令，，，，满足，，但，故A错误；对于B中，因为，所以由不等式的可加性，可得，所以，故B正确；对于C中，令，，，，满足，，但，故C错误；对于D中，令，，，，满足，，但，故D错误故选：B4、A【解析】求得抛物线的焦点从而求得，再结合题意求得，即可写出椭圆方程.【详解】因为抛物线的焦点坐标为，故可得；又短轴长为2，故可得，即；故椭圆方程为：.故选：.5、C【解析】把直线化简后即可判断.【详解】直线可化为，所以直线与直线的位置关系是重合.故选：C6、D【解析】先排3，4，5，然后利用插空法在4个位置上选2个排1，2.【详解】先排3，4，5,,共有种排法，然后在4个位置上选2个排列1,2，有种排法，则1与2不能相邻的排法总数为种，故选：D.7、C【解析】如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，设立方体的棱长为，求出的值，即可得到答案；【详解】如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，设立方体的棱长为，则，，，，连线与所成角的余弦值为故选：C.8、A【解析】设F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，根据圆的切线性质和三角形中位线得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用双曲线的定义求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立关系即可求得离心率的值.【详解】不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，如图所示:因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故选A.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，联想到双曲线的另一个焦点，作辅助线，利用双曲线的定义是求解离心率问题的有效方法.9、C【解析】设等差数列的公差为∵∴∴∴∵∴当取最大值时，的值为或故选C10、C【解析】根据等比数列的性质求得，再根据，即可求得结果.【详解】等比数列满足,设等比数列的公比为q,所以,解得，故，故选：C11、B【解析】根据系统抽样的特点，写出组数与对应抽取编号的关系式，即可判断和选择.【详解】根据题意，780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人，则需要分为组，每组人；设第组抽取的编号为，故可设，又第一组抽中号，故可得，解得故，当时，.故选：.12、D【解析】如图作出可行域，知可行域的顶点是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，平移，当经过A时，的最小值为-8，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4500【解析】根据题意可知大圆柱底面圆的半径，两圆柱的高，设小圆柱的底面圆的半径为，再根据小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，求出小圆柱的底面圆的半径，然后求出该模型的体积，从而可得出答案.【详解】解：根据题意可知大圆柱的底面圆的半径，两圆柱的高，设小圆柱的底面圆的半径为，则有，即，解得，所以该模型的体积为，所以制作该模型所需原料的质量为.故答案为：4500.14、1【解析】由题意，可得，设，，，根据是线段的中点，求出的坐标，可得直线的斜率，利用基本不等式即可得结论【详解】解：由题意，可得，设，，，，是线段的中点，则，，，当且仅当时取等号，直线的斜率的最大值为1故答案为：115、【解析】根据成等比数列，可得，再根据的关系可得，然后结合的自身范围解方程即可求出【详解】∵成等比数列，∴，∴，∴，∴，又，∴故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的计算以及等比数列定义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题16、【解析】求出圆心关于直线对称点，从而求出对称圆的方程.【详解】圆心为，半径为1，设关于对称点为，则，解得：，故对称点为，故圆关于直线对称的圆的方程为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据共焦点求出参数c，由长轴长求参数a，即可确定C的标准方程；（2）令过切线为，联立椭圆C结合得到关于k的一元二次方程，根据根与系数关系即可证明结论.【小问1详解】由题设，对于椭圆C有，又椭圆的焦点为，则，所以，故C的标准方程.【小问2详解】由题设，直线，的斜率必存在，令椭圆C的切线方程为，联立椭圆方程并整理可得：，由相切关系知：，整理得：，所以，即直线，相互垂直，则.18、（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）求解函数的导函数，并且求的两个根，然后分类讨论，和三种情况下对应的单调性；（2）令，通过二次求导法，判断函数的单调性与最小值，设的零点为，求出取值范围，最后将转化为的对勾函数并求解最小值，即可证明出不等式.【小问1详解】函数的定义域为∵令得∵，∴，得或①当，即时，时，或；时，.∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增②当，即时，时，或；时，.∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增③当，即时，∴在上单调递增综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增【小问2详解】令，（）∴，令∴，∴在上单调递增又∵，，∴使得，即（*）∴当时，，∴，∴单调递减∴当时，，∴，∴单调递增∴，（）由（*）式可知：，∴，∴∵，∴函数单调递减∴，∴∴【点睛】求解本题的关键是利用二次求导法，通过虚设零点，求解原函数的单调性与最小值，并通过最小值的取值范围证明不等式.19、（1）（2）【解析】（1）联立直线方程和双曲线方程，利用弦长公式可求弦长.（2）根据圆过原点可得，设，从而，联立直线方程和双曲线方程后利用韦达定理化简前者可得所求的参数的值.【小问1详解】当时，直线，设，由可得，此时，故.【小问2详解】设，因为以为直径的圆经过坐标原点，故，故，由可得，故且，故.而可化为即，因为，所以，解得，结合其范围可得.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果.【小问1详解】证明：正中，点为的中点，，因为平面，平面，则，，则平面，平面，则，又，且，平面.【小问2详解】解：因为，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，平面，平面，则，又因为，，故平面，所以，平面的一个法向量为，则.因此，平面和平面夹角的余弦值为.21、（1），（2）实数的取值范围是【解析】（1）根据函数奇偶性求解析式；（2）将恒成立转化为令，恒成立，讨论二次函数系数，结合根的分布.【详解】解：（1）因为函数是定义在实数集上的奇函数，所以，当时，则所以当时所以（2）因为时，在上恒成立等价于即在上恒成立令，则①当时，不恒成立，故舍去②当时必有，此时对称轴若即或时，恒成立因为，所以若即时，要使恒成立则有与矛盾，故舍去综上，实数的取值范围是【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于的方程(组)，从而得到的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；（4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间