湖北省襄阳第四中学2026届高三上数学期末联考试题含解析

湖北省襄阳第四中学2026届高三上数学期末联考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数列满足：，，，为其前n项和，则（）A．0 B．1 C．3 D．42．点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．已知定义在上的偶函数，当时，，设，则（）A． B． C． D．4．已知命题：使成立．则为（）A．均成立 B．均成立C．使成立 D．使成立5．复数（）．A． B． C． D．6．各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为()A． B．C． D．或7．已知双曲线：的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A． B．4C． D．510．已知函数的导函数为，记，，…，N.若，则（）A． B． C． D．11．已知菱形的边长为2，，则（）A．4 B．6 C． D．12．若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为________.14．已知正实数满足，则的最小值为．15．设是公差不为0的等差数列的前项和，且，则______.16．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.18．（12分）某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照，，，分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率.从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于瓶的概率；试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱瓶，批发成本元；小箱每箱瓶，批发成本元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为时看作销量为瓶）.①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，求和的分布列和数学期望；②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？注：销售额=销量×定价；利润=销售额－批发成本.19．（12分）如图，已知四棱锥，平面，底面为矩形，，为的中点，.（1）求线段的长.（2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值.20．（12分）已知函数.（1）设，求函数的单调区间，并证明函数有唯一零点.（2）若函数在区间上不单调，证明：.21．（12分）设函数.（1）若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围；（2）若，证明：.22．（10分）如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，且，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

用去换中的n，得，相加即可找到数列的周期，再利用计算.【详解】由已知，①，所以②，①+②，得，从而，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故选：D.【点睛】本题考查周期数列的应用，在求时，先算出一个周期的和即，再将表示成即可，本题是一道中档题.2、C【解析】

设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求.【详解】设,则,所以,依题意可得,设,则,当时,,则单调递减；当时,,则单调递增,所以,且,有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2.故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.3、B【解析】

根据偶函数性质，可判断关系；由时，，求得导函数，并构造函数，由进而判断函数在时的单调性，即可比较大小.【详解】为定义在上的偶函数，所以所以;当时，，则，令则，当时，，则在时单调递增，因为，所以，即，则在时单调递增，而，所以，综上可知，即，故选：B.【点睛】本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.4、A【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即．考点：全称命题.5、A【解析】试题分析：，故选A.【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.6、C【解析】分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比所满足的等量关系式，解方程即可得结果.详解：根据题意有，即，因为数列各项都是正数，所以，而，故选C.点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比，而待求量就是，代入即可得结果.7、D【解析】由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且都位于第一象限，且，可知为的三等分点，且,点在直线上，并且，则，，设，则，解得，即，代入双曲线的方程可得，解得，故选D．点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．8、D【解析】

根据函数图像得到函数的一个解析式为，再根据平移法则得到答案.【详解】设函数解析式为，根据图像：，，故，即，，，取，得到，函数向右平移个单位得到.故选：.【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.9、B【解析】

还原几何体的直观图，可将此三棱锥放入长方体中,利用体积分割求解即可.【详解】如图，三棱锥的直观图为，体积.故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.10、D【解析】

通过计算，可得，最后计算可得结果.【详解】由题可知：所以所以猜想可知：由所以所以故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.11、B【解析】

根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．【详解】如图所示，菱形形的边长为2，，∴，∴，∴，且，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．12、A【解析】

根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值．【详解】因为不等式有正整数解，所以，于是转化为，显然不是不等式的解，当时，，所以可变形为．令，则，∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以当时，，故，解得．故选：A．【点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

基本事件总数n126，其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m72，由此能求出其中三种颜色的球都有的概率．【详解】解：袋中有2个红球，3个白球和4个黄球，从中任取4个球，基本事件总数n126，其中三种颜色的球都有，可能是2个红球，1个白球和1个黄球或1个红球，2个白球和1个黄球或1个红球，1个白球和2个黄球，所以包含的基本事件个数m72，∴其中三种颜色的球都有的概率是p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14、4【解析】

由题意结合代数式的特点和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】.当且仅当时等号成立.据此可知：的最小值为4.【点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．15、18【解析】

先由，可得，再结合等差数列的前项和公式求解即可.【详解】解：因为，所以，.故答案为：18.【点睛】本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列的前项和公式，属基础题.16、【解析】试题分析：由三角函数定义知，又由诱导公式知，所以答案应填：．考点：1、三角函数定义；2、诱导公式．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）先求出，又由可判断出在上单调递减，故，令，记，利用导数求出的最小值即可；（2）由在上不单调转化为在上有解，可得，令，分类讨论求的最大值，再求解即可.【详解】（1）已知，，由可得，又由,知在上单调递减，令，记，则在上单调递增；，在上单调递增；，（2），，在上不单调，在上有正有负，在上有解，，，恒成立，记，则，记，，在上单调增，在上单调减.于是知（i）当即时，恒成立，在上单调增，，，.（ii）当时，，故不满足题意.综上所述，【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.18、；①详见解析；②应该批发一大箱.【解析】

酸奶每天销量大于瓶的概率为，不大于瓶的概率为，设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件，则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.利用对立事件概率公式求解即可.①若早餐店批发一大箱，批发成本为元，依题意，销量有，，，四种情况，分别求出相应概率，列出分布列，求出的数学期望，若早餐店批发一小箱，批发成本为元，依题意，销量有，两种情况，分别求出相应概率，由此求出的分布列和数学期望；②根据①中的计算结果，，从而早餐应该批发一大箱.【详解】解：根据图中数据，酸奶每天销量大于瓶的概率为，不大于瓶的概率为.设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件，则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.所以.①若早餐店批发一大箱，批发成本为元，依题意，销量有，，，四种情况.当销量为瓶时，利润为元；当销量为瓶时，利润为元；当销量为瓶时，利润为元；当销量为瓶时，利润为元.随机变量的分布列为所以（元）若早餐店批发一小箱，批发成本为元，依题意，销量有，两种情况.当销量为瓶时，利润为元；当销量为瓶时，利润为元.随机变量的分布列为所以（元）.②根据①中的计算结果，，所以早餐店应该批发一大箱.【点睛】本题考查概率，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，属于中档题.19、（1）的长为4（2）【解析】

（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，根据向量垂直关系计算得到答案.（2）计算平面的法向量为，为平面的一个法向量，再计算向量夹角得到答案.【详解】（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以.，因为，所以，即，解得，所以的长为4.（2）因为，所以，又，故.设为平面的法向量，则即取，解得，所以为平面的一个法向量.显然，为平面的一个法向量，则，据图可知，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线段长度，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20、（1）为增区间；为减区间.见解析（2）见解析【解析】

（1）先求得的定义域，然后利用导数求得的单调区间，结合零点存在性定理判断出有唯一零点.（2）求得的导函数，结合在区间上不单调，证得，通过证明，证得成立.【详解】（1）∵函数的定义域为，由，解得为增区间；由解得为减区间.下面证明函数只有一个零点：∵，所以函数在区间内有零点，∵，函数在区间上没有零点，故函数只有一个零点.（2）证明：函数，则当时，，不符合题意；当时，令，则，所以在上单调增函数，而，又∵区间上不单调，所以存在，使得在上有一个零点，即，所以，且，即两边取自然对数，得即，要证，即证，先证明：，令，则∴在