辽宁省大连市103中学2026届数学高二上期末学业水平测试模拟试题含解析

辽宁省大连市103中学2026届数学高二上期末学业水平测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（）A. B.C. D.2．下列命题中正确的是A.命题“若，则”的否命题为：“若，则”B.若命题，是假命题，则实数C.“”的一个充分不必要条件是“”D.命题“若，则”的逆否命题为真命题3．已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点到平面的距离为（）A. B.C. D.4．（5分）已知集合A={x|−2<x<4}，集合B={x|(x−6)(x+1)<0}，则A∩B=A.{x|1<x<4} B.{x|x<4或x>6}C.{x|−2<x<−1} D.{x|−1<x<4}5．已知函数，则等于（）A.0 B.2C. D.6．若等比数列的前n项和，则r的值为（）A. B.C. D.7．均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述.设曲线上任意一点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为.同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为.若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（）A. B.C. D.8．已知，命题“若，则，全为0”的否命题是（）A.若，则，全不为0. B.若，不全为0，则.C.若，则，不全为0. D.若，则，全不为0.9．某地为应对极端天气抢险救灾，需调用A，B两种卡车，其中A型卡车x辆，B型卡车y辆，以备不时之需，若x和y满足约束条件则最多需调用卡车的数量为（）A.7 B.9C.13 D.1410．若，则（）A B.C. D.11．已知是空间的一个基底，若，，若，则（）A. B.C.3 D.12．函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线右支上，若线段PF的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，且直线PF的斜率为，则该双曲线的离心率是______14．已知实数x，y满足方程，则的最大值为_________15．已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，以a为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点.若(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为___________.16．若实数、满足，则的取值范围为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆，直线过定点.（1）若与圆相切，求的方程；（2）若与圆相交于两点，且，求此时直线的方程.18．（12分）为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.（1）若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；（2）从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.重量范围（单位：）个数为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.19．（12分）已知直线过点（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程20．（12分）已知双曲线C：的离心率为，过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为（1）求双曲线C的方程；（2）直线（）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，求m的取值范围21．（12分）如图，在四棱锥中，，，，，为中点，且平面.（1）求点到平面的距离；（2）线段上是否存在一点，使平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值.22．（10分）请分别确定满足下列条件的直线方程（1）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2＝0垂直直线方程是（2）求与直线3x-4y+7=0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用空间向量的基本定理，用，，表示向量【详解】因为是的中点，是的中点，，故选：B2、C【解析】．命题的否定是同时否定条件和结论；．将当成真命题解出的范围，再取补集即可；．求出“”的充要条件再判断即可；．判断原命题的真假即可【详解】解：对于A：命题“若，则”的否命题为：“若，则“，故A错误；对于B：当命题，是真命题时，，所以，又因为命题为假命题，所以，故B错误；对于C：由“”解得：，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对于D：因为命题“若，则”是假命题，所以其逆否命题也是假命题，故D错误；故选：C3、A【解析】先求出向量，再利用空间向量中点到平面的距离公式即可求解.【详解】解：由题知，点在内，点在外，所以又向量为平面的法向量所以点到平面的距离为：故选：A.4、D【解析】由(x−6)(x+1)<0，得−1<x<6，从而有B={x|−1<x<6}，所以A∩B={x|−1<x<4}，故选D5、D【解析】先通过诱导公式将函数化简，进而求出导函数，然后算出答案.【详解】由题意，，故选：D.6、B【解析】利用成等比数列来求得.【详解】依题意，等比数列的前n项和，，，所以.故选：B7、C【解析】设单位圆上一点为，经过题设变换后坐标为，则，代入圆的方程即可得曲线方程.【详解】由题设，单位圆上一点坐标为，经过横向均匀压缩至原来的一半，纵向均匀压缩至原来的，得到对应坐标为，∴，则，故中，可得：.故选：C.8、C【解析】根据四种命题的关系求解.【详解】因为否命题是否定原命题的条件和结论，所以命题“若，则，全为0”的否命题是：若，则，不全为0，故选：C9、B【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解【详解】设调用卡车的数量为z，则，其中x和y满足约束条件，作出可行域如图所示：当目标函数经过时，纵截距最大，最大.故选：B10、D【解析】直接利用向量的坐标运算求解即可【详解】因为，所以，故选：D11、C【解析】由，可得存在实数，使，然后将代入化简可求得结果【详解】，，因，所以存在实数，使，所以，所以，所以，得，，所以，故选：C12、A【解析】构造函数，结合已知条件可得恒成立，可得为上的减函数，再由，从而将不等式转换为，根据单调性即可求解.【详解】构造函数，因为，所以为上的增函数又因为，所以原不等式转化为，即，解得.所以原不等式的解集为，故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】如图利用条件可得，，然后利用双曲线的定义可得，即求.【详解】如图设双曲线的右焦点为，线段PF的中点为M，连接，则，又直线PF的斜率为，∴在直角三角形中，，∴，∴，即，∴.故答案：3.14、##【解析】设，根据直线与圆的位置关系即可求出【详解】由于，设，所以点既在直线上，又在圆上，即直线与圆有交点，所以，，即故答案为：15、【解析】过F作，利用点到直线距离可求出，再根据勾股定理可得，，由可得，即可建立关系求解.【详解】如图，过F作，则E是AB中点，设渐近线为，则，则在直角三角形OEF中，，在直角三角形BEF中，，，则，即，即，则，即，.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是分别表示出，，由建立关系.16、【解析】直接利用换元法以及基本不等式，求出结果【详解】解：设，由于，所以，由于，(当且仅当时取等号)所以(当且仅当时取等号)，(当且仅当时取等号)，故，，所以，整理得：故的取值范围为的取值范围故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或；（2）或.【解析】（1）由圆的方程可得圆心和半径，当直线斜率不存在时，知与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，由此可得方程；（2）当直线斜率不存在时，知与圆相切，不合题意；当直线斜率存在时，利用垂径定理可构造方程求得，由此可得方程.【小问1详解】由圆的方程知：圆心，半径；当直线斜率不存在，即时，与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，设，即，圆心到直线距离，解得：，，即；综上所述：直线方程为或；【小问2详解】当直线斜率不存在，即时，与圆相切，不合题意；当直线斜率存在时，设，即，圆心到直线距离，，解得：或，直线的方程为或.18、（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望为.【解析】（1）利用正态密度曲线的对称性结合已知条件可求得的值；（2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.【小问1详解】解：已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，由正态分布的对称性可知，，所以从苹果园中随机采摘个苹果，该苹果的重量在内的概率为.【小问2详解】解：由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，，；，所以，随机变量的分布列为：所以19、（1）（2）或【解析】(1)由两条直线垂直可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可；(2)当直线过原点时，根据直线的点斜式方程即可得出结果；当直线不过原点时可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可.【小问1详解】解：因为直线与直线垂直所以，设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为【小问2详解】解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，所以直线的方程是综上，所求直线的方程为或20、（1）（2）或【解析】（1）利用双曲线离心率、点在双曲线上及得到关于、、的方程组，进而求出双曲线的标准方程；（2）联立直线和双曲线的方程，得到关于的一元二次方程，利用直线和双曲线的位置关系、根与系数的关系得到两个交点坐标间的关系，利用A，B两点都在以点为圆心的同一圆上得到，再利用向量的数量积为0得到、的关系，进而消去得到的不等式进行求解.【小问1详解】解：因为过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为，所以点在双曲线上，由题意，得，解得，，，即双曲线的标准方程为.【小问2详解】解：联立，得，因为直线与该双曲线C交于不同的两点，所以且，即且，设，，的中点，则，，因为A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，所以，即，因为，，所以，即，将代入，得，解得或，即m的取值范围为或.21、（1）（2）线段上存在一点，当时，平面.【解析】（1）设点到平面的距离为，则由，由体积法可得答案.（2）由（1）连接,可得则从而平面，过点作交于点，连接，可证明平面平面，从而可得出答案.【小问1详解】由，，为中点，则由平面，平面,则又，且,则平面又，则平面,且都在平面内所以所以,取的中点，连接，则,所以,所以所以所以则设点到平面的距离为，则由即,即【小问2详解】线段上是否存在一点，使平面.由（1）连接,则四边形为平行四边形，则过点作交于，则为中点，则为的中点,即又平面，则平面过点作交于点，连接，则,即又平面,所以平面又，所以平面平面又平面,所以平面所以线段上存在一点，当时，平面.22、（1）2x+y﹣2＝0（2）3x-4y-12=0【解析】（1）设与直线x﹣2y﹣2＝0垂直的直线方程为2x+y+m＝0，把（1，0）代入2x+y+m＝0，解得m即得解（2）方法一：由