黑龙江省牡丹江市三中2026届数学高二上期末复习检测试题含解析

黑龙江省牡丹江市三中2026届数学高二上期末复习检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（）A. B.C. D.2．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是A. B.C. D.3．设等比数列的前项和为，若，，则（）A.66 B.65C.64 D.634．数列中，满足，，设，则（）A. B.C. D.5．若数列的前项和，则此数列是（）A.等差数列 B.等比数列C.等差数列或等比数列 D.以上说法均不对6．若等比数列的前n项和，则r的值为（）A. B.C. D.7．沙糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）A.月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B.这一年的总利润超过400万元C.这12个月利润的中位数与众数均为30 D.7月份的利润最大8．已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（）A. B.C. D.9．焦点坐标为的抛物线的标准方程是（）A. B.C. D.10．已知是等比数列，，，则（）A. B.C. D.11．是等差数列，，，的第（）项A.98 B.99C.100 D.10112．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．命题“x≥1，x2-2x+4≥0”的否定为____________.14．若圆C的方程为，点P是圆C上的动点，点O为坐标原点，则的最大值为______15．若满足约束条件，则的最大值为_____________16．函数的单调递减区间是____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知P，Q的坐标分别为，，直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积是.设点M的轨迹为曲线C.（1）求曲线的方程；（2）设为坐标原点，圆的半径为1，直线：与圆相切，且与曲线交于不同的两点A，B.当，且满足时，求面积的取值范围.18．（12分）已知椭圆的左，右顶点分别是，，且，是椭圆上异于，的不同的两点（1）若，证明：直线必过坐标原点；（2）设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程19．（12分）某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：单价（元）1819202122销量（册）6156504845（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？附：，，，.20．（12分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，焦距为，过点作直线交椭圆于两点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆相交于两点，求定点与交点所构成的三角形面积的最大值.21．（12分）已知动点M到点F（0，2）的距离，与点M到直线l：y＝﹣2的距离相等.（1）求动点M的轨迹方程；（2）若过点F且斜率为1的直线与动点M的轨迹交于A，B两点，求线段AB的长度.22．（10分）如图是一个正三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知，，M为AB中点.（1）证明：平面；（2）求此几何体的体积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，运用线面角的向量求解方法可得答案【详解】如图，连接交于点，过点作于，则平面，则，设，则，则根据三角形面积得，代入解得以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则，，设平面的法向量为，，，则，即，令，得，所以直线与平面所成的角的余弦值为，故选：2、D【解析】由题，为可导函数，，即曲线在点处的切线的斜率是，选D【点睛】本题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，本题解题的关键是对所给的极限式进行整理，得到符合导数定义的形式3、B【解析】根据等比数列前项和的片段和性质求解即可.【详解】解：由题知：，，，所以，，成等比数列，即5，15，成等比数列，所以，解得.故选：B.4、C【解析】由递推公式可归纳得，由此可以求出的值【详解】因为，，所以，，，因此故选C【点睛】本题主要考查利用数列的递推式求值和归纳推理思想的应用，意在考查学生合情推理的意识和数学建模能力5、D【解析】利用数列通项与前n项和的关系和等差数列及等比数列的定义判断.【详解】当时，，当时，，当时，，所以是等差数列；当时，为非等差数列，非等比数列’当时，，所以是等比数列，故选：D6、B【解析】利用成等比数列来求得.【详解】依题意，等比数列的前n项和，，，所以.故选：B7、B【解析】根据图形和中位数、众数的概念依次判断选项即可.【详解】A：由图可知，月收入的最大值为90，最小值为30，故A正确；B：各个月的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以总利润为20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(万元)，故B错误；C：这12个月利润的中位数与众数均为30，故C正确；D：7月份的利润最大，为60万元，故D正确.故选：B8、A【解析】根据椭圆的方程求出，再由椭圆的对称性及定义求解即可.【详解】由椭圆的对称性可知，,所以，又椭圆方程为，所以，解得，所以，故选：A9、D【解析】依次确定选项中各个抛物线的焦点坐标即可.【详解】对于A，的焦点坐标为，A错误；对于B，的焦点坐标为，B错误；对于C，焦点坐标为，C错误；对于D，的焦点坐标为，D正确.故选：D.10、D【解析】由，，可求出公比，从而可求出等比数的通项公式，则可求出，得数列是一个等比数列，然后利用等比数的求和公式可求得答案【详解】由题得.所以，所以.所以，所以数列是一个等比数列.所以=.故选：D11、C【解析】等差数列，，中，，，由此求出，令，得到是这个数列的第100项【详解】解：等差数列，，中，，令，得是这个数列的第100项故选：C12、B【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据还有一个量词的命题的否定的方法解答即可.【详解】命题“x≥1，x2-2x+4≥0”的否定为“”.故答案为：.14、##【解析】根据点与圆的位置关系求得正确答案.【详解】圆的方程可化为，所以圆心为，半径.由于，所以原点在圆外，所以最大值为.故答案为：15、【解析】由下图可得在处取得最大值，即.考点：线性规划.【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大（小）值.16、【解析】求导，根据可得答案.【详解】由题意，可得，令，即，解得，即函数的递减区间为.故答案为：.【点睛】本题考查运用导函数的符号，研究函数的单调性，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】【小问1详解】设点，则，整理得曲线的方程：【小问2详解】因为圆的半径为1，直线：与圆相切，则，，设，将代入得，，，，，所以，，因为，令，在上单调减，，所以18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设，首先证明，从而可得到，即得到；进而可得到四边形为平行四边形；再根据为的中点，即可证明直线必过坐标原点（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据条件可求出直线MN过定点，从而可得到过定点，进而可得到点在以为直径的圆上运动，从而可求出动点的轨迹方程【小问1详解】设，则，即因为，，所以因为，所以，所以.同理可证.因为，，所以四边形为平行四边形，因为为的中点，所以直线必过坐标原点【小问2详解】当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，联立，整理得，则，，.因为，所以，因为，解得或.当时，直线的方程为过点A，不满足题意，所以舍去；所以直线的方程为，所以直线过定点.当直线的斜率不存在时，因为，所以直线的方程为，经验证，符合题意.故直线过定点.因为为的中点，为的中点，所以过定点.因为垂直平分公共弦，所以点在以为直径的圆上运动，该圆的半径，圆心坐标为，故动点的轨迹方程为．19、(1)(2)当单价应定为22.5元时，可获得最大利润【解析】（l）先计算的平均值，再代入公式计算得到（2）计算利润为：计算最大值.【详解】解：（1），，，所以对的回归直线方程为：（2）设获得的利润为，，因为二次函数的开口向下，所以当时，取最大值，所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润【点睛】本题考查了回归方程，函数的最值，意在考查学生的计算能力.20、（1）（2）【解析】（1）根据题意可得，，再由，即可求解.（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立求得关于的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式配方即可求解.【详解】解（1）由题意得：，，∴，∴∴椭圆的方程为(2)∵直线的斜率为，∴可设直线的方程为与椭圆的方程联立可得：①设两点的坐标为，由韦达定理得：，∴点到直线的距离，∴由①知：，，令，则，∴令，则在上的最大值为∴的最大值为综上所述：三角形面积的最大值2.【点睛】本题考查了根据求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆额位置关系中三角形面积问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.21、（1）x2＝8y（2）16【解析】小问1：由抛物线的定义可求得动点M的轨迹方程；小问2：可知直线AB的方程为y＝x+2，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出y1+y2的值，利用抛物线的定义可求得|AB|的值.【小问1详解】由题意点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，所以，则p＝4，所以动点M的轨迹方程是x2＝8y；【小问2详解】由已知直线AB方程是y＝x+2，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得x2﹣8x﹣16＝0，，所以x1+x2＝8，则y1+y2＝x1+x2+4＝12，故|AB|＝y1+y2+4＝1622、（1）证明见解析（2）【解