5任意角课件高一上学期数学人教A版

0102必备知识•自主导学关键能力•师生共研5.1任意角和弧度制5.1.1任意角【学习目标】1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角.(数学抽象)2.了解象限角的概念.(数学抽象)3.理解并掌握终边相同的角的概念,会表示终边相同的角.(数学抽象、数学运算)01必备知识•自主导学一、任意角1.角的旋转定义:角可以看成一条射线绕着它的_____旋转所成的图形.2.角的分类:分类定义图示正角一条射线绕其端点按_______方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按_______方向旋转形成的角零角一条射线_____做任何旋转形成的角端点逆时针顺时针没有二、角的加、减法1.若两角的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称____.2.设α,β是任意两个角,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是____.3.相反角:把射线OA绕端点O按不同方向旋转_________所成的两个角叫做互为相反角,角α的相反角记为___,α-β=α+____.α=βα+β相同的量-α(-β)三、象限角和终边相同的角1.象限角条件:在平面直角坐标系中,角的顶点与原点重合,角的始边与__轴的非负半轴重合;结论:角的_____在第几象限,这个角就是第几象限角.角的终边在_________,就认为这个角_______任何一个象限.终边坐标轴上不属于x【点拨】2.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=___________________,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限角{α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z}{β|β=α+k·360°,k∈Z}【思考】你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗?提示:在同一“参照系”下,可以使角的讨论得到简化,由此还能有效地表现出角的终边位置“周而复始”的变化规律,从而利用任意角、直角坐标系刻画周期性的变化现象.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)第一象限角都是锐角.()提示:第一象限角不一定是锐角,如390°.(2)相等的角的终边相同,终边相同的角相等.()提示:相等的角的终边相同,终边相同的角不一定相等,可能相差360°.(3)第二象限角一定大于第一象限角.()提示:第二象限角不一定大于第一象限角,如第二象限角120°,第一象限角390°.(4)第二象限角是钝角.()提示:460°是第二象限角,但不是钝角,故错误.××××02关键能力•师生共研类型1任意角与终边相同的角(数学抽象)【典例1】(1)已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则下面关系正确的是(

)A.A=B=C B.A⊆C C.A∩C=B D.B∪C⊆C【解析】选D.第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z;锐角可表示为0°<β<90°,小于90°的角可表示为γ<90°;由三者之间的关系可知,D正确.(2)下面与-850°12'终边相同的角是(

)A.230°12' B.229°48' C.129°48' D.130°12'【解析】选B.与-850°12'终边相同的角可表示为α=-850°12'+k·360°(k∈Z),当k=3时,α=-850°12'+1080°=229°48'.【总结升华】1.判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧:判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即可.2.终边相同的角的表示(1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式;(2)终边相同的角的差是360°的整数倍.【即学即练】已知角α=2025°.(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<360°;(3)求与α终边相同的最大负角与最小正角.【解析】(1)由2025°除以360°,得商为5,余数为225°,所以取k=5,β=225°,则α=5×360°+225°.又β=225°是第三象限角,所以α为第三象限角.(2)与角2025°终边相同的角为k·360°+2025°,k∈Z.令-360°≤k·360°+2025°<360°,k∈Z,所以k可取-6,-5,得角θ为-135°,225°.(3)由(2)知,与α终边相同的最大负角是-135°,最小正角是225°.

【总结升华】表示终边在一条直线上的角的方法(1)终边在一条直线上的角的集合是由终边分别在以原点为端点,构成直线的两条射线上的角的集合的并集;(2)终边在一条直线上的角的差为k·180°,k∈Z,一般是选取终边在这条直线上的一个锐角,再加上k·180°,k∈Z即可.【即学即练】写出终边在如图所示直线上的角的集合.【解析】(1)由题图易知,在0°~360°内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=-45°+(2k+1)·180°,k∈Z}∪{β|β=-45°+2(k+1)·180°,k∈Z}={β|β=-45°+n·180°,n∈Z}.(2)同理可得终边在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z},终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=-45°+n·180°,n∈Z}={β|β=-45°+2k·90°,k∈Z}={β|β=45°+(2k-1)·90°,k∈Z},所以终边在直线y=x上和在直线y=-x上的角的集合为S1={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k-1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+n·90°,n∈Z}.

角度2

区域角的表示【典例4】(1)如图终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是(

)A.{α|k·360°+30°<α<k·360°+45°,k∈Z}B.{α|k·180°+150°<α<k·180°+225°,k∈Z}C.{α|k·360°+150°<α<k·360°+225°,k∈Z}D.{α|k·360°+30°<α<k·180°+45°,k∈Z}【解析】选C.在0°~360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°,所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°+150°<α<k·360°+225°,k∈Z}.(2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内,试指出角β的取值范围.【解析】阴影在x轴上方部分的角的集合为:A={β|k·360°+60°≤β≤k·360°+105°,k∈Z}.阴影在x轴下方部分的角的集合为:B={β|k·360°+240°≤β≤k·360°+285°,k∈Z}.所以阴影部分角β的取值范围是A∪B,即{β|k·360°+60°≤β≤k·360°+105°,k∈Z}∪{β|k·360°+240°≤β≤k·360°+285°,k∈Z),其中B可以化为:{β|k·360°+180°+60°≤β≤k·360°+180°+105°,k∈Z}.即{β|(2k+1)×180°+60°≤β≤(2k+1)×180°+105°,k∈Z}.集合A可以化为{β|2k×180°+60°≤β≤2k×180°+105°,k∈Z}.故A∪B可化为{β|n·180°+60°≤β≤n·180°+105°,n∈Z}.

2.(2025·扬州高一检测)如图所示,终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是

.

【解析】因为终边落在y轴上的角为90°+n·180°,n∈Z,终边落在图中直线上的角为