江苏省泰兴市三中2026届高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

江苏省泰兴市三中2026届高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法有（）ABCA.3种 B.6种C.12种 D.27种2．已知数列满足，若.则的值是（）A. B.C. D.3．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）A.函数在区间上单调递增 B.函数在区间上单调递减C.函数在处取得极大值 D.函数在处取得极小值4．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（）A（e，4） B.（e，4]C.（e，4） D.（，4]5．参加抗疫的300名医务人员，编号为1，2，…，300.为了解这300名医务人员的年龄情况，现用系统抽样的方法从中抽取15名医务人员的年龄进行调查.若抽到的第一个编号为6，则抽到的第二个编号为（）A.21 B.26C.31 D.366．已知函数，则下列判断正确的是（）A.直线与曲线相切B.函数只有极大值，无极小值C.若与互为相反数，则的极值与的极值互为相反数D.若与互为倒数，则的极值与的极值互为倒数7．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是（）A.极差 B.方差C.平均数 D.中位数8．展开式的第项为（）A. B.C. D.9．已知等差数列的前项和为，，，则（）A. B.C. D.10．已知抛物线过点，则抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.11．已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.12．经过点且与直线垂直的直线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆的左、右焦点为，过作x轴垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________.14．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）①当时，的周长为定值②当时，三棱锥的体积为定值③当时，有且仅有一个点P，使得④当时，有且仅有一个点P，使得平面15．函数y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＝________.16．如图，在平行六面体中，设，N是的中点，则向量_________．（用表示）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知p：关于x的方程至多有一个实数解，.（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.18．（12分）有三个条件：①数列的任意相邻两项均不相等，，且数列为常数列，②，③，，中，从中任选一个，补充在下面横线上，并回答问题已知数列的前n项和为，______，求数列的通项公式和前n项和19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.（1）求证：；（2）求证：平面.20．（12分）已知抛物线C的焦点为，N为抛物线上一点，且（1）求抛物线C的方程；（2）过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，，求直线l的方程21．（12分）2021年7月25日，在东京奥运会自行车公路赛中，奥地利数学女博士安娜·基秣崔天以3小时52分45秒的成绩获得冠军，震惊了世界！广大网友惊呼“学好数理化，走遍天下都不怕”．某市对中学生的体能测试成绩与数学测试成绩进行分析，并从中随机抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：体能一般体能优秀合计数学一般5050100数学优秀4060100合计90110200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“体能优秀”还是“体能一般”与数学成绩有关？（结果精确到小数点后两位）（2）①现从抽取的数学优秀的人中，按“体能优秀”与“体能一般”这两类进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人，求其中至少有2人是“体能优秀”的概率；②将频率视为概率，以样本估计总体，从该市中学生中随机抽取10人参加座谈会，记其中“体能优秀”的人数为X，求X的数学期望和方差参考公式：，其中参考数据：0.150.100.050.250.0102.0722.7063.8415.0246.63522．（10分）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据给定信息，按用色多少分成两类，再分类计算作答.【详解】计算不同的涂色方法数有两类办法：用3种颜色，每个矩形涂一种颜色，有种方法，用2色，矩形A，C涂同色，有种方法，由分类加法计数原理得(种)，所以不同的涂法有12种.故选：C2、D【解析】由，转化为，再由求解.【详解】因为数列满足，所以，即，因为，所以，所以，故选：D3、C【解析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可判断A,B的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关系可判断、的结论【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；根据函数的导数图象，函数在时，，故函数在区间上单调递减，故正确；由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，故函数处取得极小值，故正确，故选：4、B【解析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.【详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，又，所以当时，，当时，，则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4故选:B【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化.5、B【解析】将300个数编号：001，002，003，，3000，再平均分为15个小组，然后按系统抽样方法得解.【详解】将300个数编号：001，002，003，，3000，再平均分为15个小组，则第一编号为006，第二个编号为.故选：B.6、C【解析】求出函数的导函数，通过在某点处的导数为该点处切线的斜率，求出切线方程，并且判断出极值，通过结合与互为相反数，若与互为倒数，分别判断的极值与的极值是否互为相反数，以及是否互为倒数.【详解】，，令，得，所以，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，故A错；当时，存在使，且当时，；当时，，即有极小值，无极大值，故B错误；设为的极值点，则，且，所以，，当时，；当时，，故C正确，D错误.7、C【解析】根据茎叶图依次计算甲和乙的平均数、方差、中位数和极差即可得到结果.【详解】甲的平均数为：；乙的平均数为：；甲和乙的平均数相同；甲的方差为：；乙的方差为：；甲和乙的方差不相同；甲的极差为：；乙的极差为：；甲和乙的极差不相同；甲的中位数为：；乙的中位数为：；甲和乙的中位数不相同.故选：C.8、B【解析】由展开式的通项公式求解即可【详解】因为，所以展开式的第项为，故选：B9、C【解析】利用已知条件求得，由此求得.【详解】依题意，解得，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.10、D【解析】把点代入抛物线方程求出，再化成标准方程可得解.【详解】因为抛物线过点，所以，所以抛物线方程为，方程化成标准方程为，故抛物线的焦点坐标为.故选：D.11、B【解析】由渐近线方程，设出双曲线方程，结合与椭圆有相同的焦点，求出双曲线方程.【详解】∵双曲线：的一条渐近线方程为：∴设双曲线：∵双曲线与椭圆有相同的焦点∴，解得：∴双曲线的方程为.故选：B.12、A【解析】根据点斜式求得正确答案.【详解】直线的斜率为，经过点且与直线垂直的直线方程为，即.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】以为等腰直角三角形列方程组可得之间的关系式，进而求得椭圆的离心率.【详解】椭圆的左、右焦点为，点P由为等腰直角三角形可知，，即可化为，故或（舍）故答案为：14、②④【解析】①结合得到P在线段上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P，使得线面垂直.【详解】由题意得：，，，所以P为正方形内一点，①，当时，，即，，所以P在线段上，所以周长为，如图1所示，当点P在处时，，故①错误；②，如图2，当时，即，即，，所以P在上，，因为∥BC，平面，平面，所以点P到平面距离不变，即h不变，故②正确；③，当时，即，如图3，M为中点，N为BC的中点，P是MN上一动点，易知当时，点P与点N重合时，由于△ABC为等边三角形，N为BC中点，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因为平面，则，当时，点P与点M重合时，可证明出⊥平面，而平面，则，即，故③错误；④，当时，即，如图4所示，D为的中点，E为的中点，则P为DE上一动点，易知，若平面，只需即可，取的中点F，连接，又因为平面，所以，若，只需平面，即即可，如图5，易知当且仅当点P与点E重合时，故只有一个点P符合要求，使得平面，故④正确.故选：②④【点睛】立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.15、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或当a＝－3，b＝3时，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝416、【解析】根据向量的加减法运算法则及数乘运算求解即可.【详解】由向量的减法及加法运算可得，，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据命题p为真命题，可得，解之即可得解；（2）若p是q的充分不必要条件，则，列出不等式组，解之即可得出答案.【小问1详解】解：命题p：关于x的方程至多有一个实数解，∴，解得，∴实数a的取值范围是；【小问2详解】解：命题，∵p是q的充分不必要条件，∴，∴，且两式等号不能同时取得，解得，∴实数m的取值范围是.18、；【解析】选①，由数列为常数列可得，由此可求，根据任意相邻两项均不相等可得，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，选②由取可求，再取与原式相减可得，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，选③由取与原式相减可得，取可求，由此可得，故，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，【详解】解：选①：因为，数列为常数列，所以，解得或，又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，所以数列为2，-1，2，-1，2，-1……，所以，即，所以，又，所以是以为首项，公比为-1的等比数列，所以，即；所以选②：因为，易知，，所以两式相减可得，即，以下过程与①相同；选③：由，可得，又，时，，所以，因为，所以也满足上式，所以，即，以下过程与①相同19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由直棱柱的性质可得，由勾股定理可得，由线面垂直判定定理即可得结果；（2）取的中点，连结和，通过线线平行得到面面，进而得结果.【详解】（1）∵直三棱柱，∴面，∴，又∵，，，∴，∴，∵，∴面，∴（2）取的中点，连结和，∵，且，∴四边形为平行四边形，∴，面，∴面，∵，且，∴四边形平行四边形，∴，面，∴面，∵，∴面面，∴平面.【点睛】方法点睛：线面平行常见的证明方法：（1）通过构造相似三角形（三角形中位线），得到线线平行；（2）通过构造平行四边形得到线线平行；（3）通过线面平行得到面面平行，再得线面平行.20、（1）（2）或【解析】（1）抛物线的方程为，利用抛物线的定义求出点N，代入抛物线方程即可求解.（2）设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理以及焦半径公式可得或，即求.【小问1详解】抛物线的方程为，设，依题意，由抛物线定义，即.所以，又由，得，解得(舍去)，所以抛物线的方程为.【小问2详解】由（1）得，设直线的方程为，，，由，得.因为，故所以.由题设知，解得或，因此直线方程为或.21、（1）不能，理由见解析；（2）①，②，【解析】（1）运用公式求出，比较得出结论.（2）①先用分层抽样得到“体能优秀”与“体能一般”的人数，再利用公式计算至少有2人是“体能优秀”的概率.②根据已知条件知此分布列为二项分布，故利用数学期望和方差