数学奥林匹克竞赛模拟试题真题及答案

数学奥林匹克竞赛模拟试题练习题及答案选择题1.已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2ax+a1=0\}\)，且\(A\cupB=A\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(2\)或\(3\)D.\(1\)或\(2\)或\(3\)答案与解析：先求解集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，因式分解得\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。对于集合\(B\)，由\(x^2ax+a1=0\)，因式分解得\((x1)[x(a1)]=0\)，解得\(x=1\)或\(x=a1\)，所以\(B=\{1,a1\}\)。因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)。当\(a1=1\)，即\(a=2\)时，\(B=\{1\}\)，满足\(B\subseteqA\)；当\(a1=2\)，即\(a=3\)时，\(B=\{1,2\}\)，也满足\(B\subseteqA\)。所以实数\(a\)的值为\(2\)或\(3\)，答案选C。2.若函数\(y=f(x)\)的定义域是\([0,2]\)，则函数\(g(x)=\frac{f(2x)}{x1}\)的定义域是（）A.\([0,1]\)B.\([0,1)\)C.\([0,1)\cup(1,4]\)D.\((0,1)\)答案与解析：已知函数\(y=f(x)\)的定义域是\([0,2]\)，对于函数\(g(x)=\frac{f(2x)}{x1}\)，要使\(f(2x)\)有意义，则\(0\leqslant2x\leqslant2\)，解得\(0\leqslantx\leqslant1\)；又因为分母不能为\(0\)，即\(x1\neq0\)，解得\(x\neq1\)。综合可得\(0\leqslantx\lt1\)，所以函数\(g(x)\)的定义域是\([0,1)\)，答案选B。3.设\(a=\log_{3}2\)，\(b=\ln2\)，\(c=5^{\frac{1}{2}}\)，则（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(b\ltc\lta\)C.\(c\lta\ltb\)D.\(c\ltb\lta\)答案与解析：利用换底公式，\(a=\log_{3}2=\frac{\ln2}{\ln3}\)，\(b=\ln2\)，因为\(\ln3>1\)，所以\(\frac{\ln2}{\ln3}<\ln2\)，即\(a\ltb\)。\(a=\log_{3}2>\log_{3}\sqrt{3}=\frac{1}{2}\)，\(c=5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}<\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}\)。所以\(c\lta\)，综上可得\(c\lta\ltb\)，答案选C。填空题4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,1)\)，若\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)与\(2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\)平行，则\(x\)的值为____。答案与解析：先求出\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)与\(2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\)的坐标。\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,2+2)=(1+2x,4)\)；\(2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=2(1,2)(x,1)=(2x,41)=(2x,3)\)。因为\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)与\(2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\)平行，则根据向量平行的坐标关系：若\(\overrightarrow{m}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{n}=(x_2,y_2)\)平行，则\(x_1y_2x_2y_1=0\)。所以\(3(1+2x)4(2x)=0\)，展开得\(3+6x8+4x=0\)，合并同类项得\(10x5=0\)，移项得\(10x=5\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)。5.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3=6\)，\(S_3=12\)，则公差\(d\)的值为____。答案与解析：根据等差数列的通项公式\(a_n=a_1+(n1)d\)和前\(n\)项和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n1)}{2}d\)。已知\(a_3=6\)，则\(a_1+2d=6\)；\(S_3=12\)，则\(3a_1+\frac{3\times(31)}{2}d=12\)，即\(3a_1+3d=12\)，化简为\(a_1+d=4\)。用\(a_1+2d=6\)减去\(a_1+d=4\)，可得：\((a_1+2d)(a_1+d)=64\)，即\(d=2\)。解答题6.已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)在\(x=\frac{2}{3}\)与\(x=1\)时都取得极值。(1)求\(a\)，\(b\)的值；(2)若对\(x\in[1,2]\)，\(f(x)\ltc^2\)恒成立，求\(c\)的取值范围。答案与解析：(1)对函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)求导得\(f^\prime(x)=3x^2+2ax+b\)。因为函数\(f(x)\)在\(x=\frac{2}{3}\)与\(x=1\)时都取得极值，所以\(x=\frac{2}{3}\)与\(x=1\)是方程\(3x^2+2ax+b=0\)的两个根。根据韦达定理：若\(x_1,x_2\)是一元二次方程\(mx^2+nx+p=0(m\neq0)\)的两根，则\(x_1+x_2=\frac{n}{m}\)，\(x_1x_2=\frac{p}{m}\)。对于方程\(3x^2+2ax+b=0\)，\(\frac{2}{3}+1=\frac{2a}{3}\)，\(\frac{2}{3}\times1=\frac{b}{3}\)。由\(\frac{2}{3}+1=\frac{2a}{3}\)，即\(\frac{1}{3}=\frac{2a}{3}\)，解得\(a=\frac{1}{2}\)；由\(\frac{2}{3}\times1=\frac{b}{3}\)，解得\(b=2\)。(2)由(1)知\(f(x)=x^3\frac{1}{2}x^22x+c\)，\(f^\prime(x)=3x^2x2=(3x+2)(x1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，解得\(x=\frac{2}{3}\)或\(x=1\)。当\(x\in[1,\frac{2}{3})\)时，\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；当\(x\in(\frac{2}{3},1)\)时，\(f^\prime(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x\in(1,2]\)时，\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增。计算\(f(1)=(1)^3\frac{1}{2}\times(1)^22\times(1)+c=1\frac{1}{2}+2+c=\frac{1}{2}+c\)；\(f(\frac{2}{3})=(\frac{2}{3})^3\frac{1}{2}\times(\frac{2}{3})^22\times(\frac{2}{3})+c=\frac{8}{27}\frac{2}{9}+\frac{4}{3}+c=\frac{22}{27}+c\)；\(f(1)=1^3\frac{1}{2}\times1^22\times1+c=1\frac{1}{2}2+c=\frac{3}{2}+c\)；\(f(2)=2^3\frac{1}{2}\times2^22\times2+c=824+c=2+c\)。比较\(f(1)=\frac{1}{2}+c\)，\(f(\frac{2}{3})=\frac{22}{27}+c\)，\(f(1)=\frac{3}{2}+c\)，\(f(2)=2+c\)的大小，可得\