等腰三角形（解析版）

13.3.1等腰三角形

一、单选题

1.如图，在4x4的正方形网格中有两个格点A、B,连接A8,在网格中再找一个格点C,使得“.A4c是

等整直阳三角形，满足条件的格点C的个数是（）

【答案】B

【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①48为等腰直角8c底边：②48为等腰直角△48C其

中的条腰.

【详解】如图：分情况讨论：

①人£为等腰直角△4BC底边时，符合条件的C点有0个；

②为等腰直角8c其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.

故共有3个点，

【点评】本题考查了等腰三角形的判定：解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合

的思想是数学解题中很重要的解题思想.

2.若等腰三角形的两边长分别是2和6,则它的周长为（）

A.10B.12C.14D.10或14

【答案】C

【分析】分腰为2和6两种情况分别i寸论，再根据三角形的三边关系进行取舍，再求周长即可.

【详解】当腰为2时，则三边为2、2、6,此时2+2V6,不满足三角形的三边关系，不符合题意；

当腰为6时，则三边为6、6、2,满足三角形的三边关系，周长为14：

故选：C.

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，注意利用三角形的三边关系进行验证是解题

的关键.

3.如图，直线MNHPQ,等腰直角三角板ABC的底角顶点A落在PQ上，直角顶点C落在上，若

乙BCM-10°,则"AB的度数为()

A.70°B.65。C.60。D.55°

【答案】D

【分析】根据条件可得NMCA=80°,由MN//PQ,可得NSQ=NMC4根据等腰直角三角形的性质则可

求得结果.

【详解】•••由题意知，ZACB=90°,ZBAC=45°

AZMCA=ZACB-Z.BCM==90°-10°=80°

MN//PQ

：.ZCAQ=ZMCA=3Q°

/.ZR4e=180°-ZBAC-ZCAQ=55°

故选：D.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟绦掌握这些性质是解决本题的关键.

4.已知。是等腰三角形的两边长，且。，/满足j2〃―3〃+5+(2a+3b—13)2=(),则此等腰三角形

的周长为().

A.8B.6或8C.7D.7或8

【答案】D

【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分。的值是腰长与底边两种情况讨论求解.

【详解】1j2"3K+5+(2a+3Z?-13)2=0,

2a-3H5=0

[2。+36-13=0

①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3,能组成三角形，周长=2+2+3=7；

②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3,能组成三角形，周长=2+3+3=8,

所以该等腰三角形的周长为7或8.

故选：D.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0,则每

一个算式都等于。求出。、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判

断.

5.如图，在人以45c中，z：B=90，ZC=30，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB，AC

于点尸，Q：再分别以点尸，。为圆心，以大于g尸Q的长为半径作弧，两弧交于点E,作射线4E交3C

于点尸•设,•.w，乙48c的面积分别为S1，邑，则今■的值为（）

32

1

C.耳»7

【答案】B

【分析】根据作图过程可得A尸是皿C的平分线，根据角平分线的性质和NB=90。，ZC=30°.可得

FA=FC，设3/=工，则R7=E4=2x,BC=3x,根据三角形的面积公式分别求出S1，邑，再计算兴

即可.

【详解】根据作图过程可知：A厂是/84C的平分线,

・•・ZBAF=ZCAF=-ABAC，

2

VZB=90°.ZC=30°,

:.NBA。=60°

ZBAF=乙CAF=-ZBAC=30°,

2

ZG4F=ZC=30°

・•・FA=FC

设8尸二工，则在/中，FA=2x

：.FC=FA=2x,BC=BF+FC=x+2x=3x,

：.S.=-BF»AB=--AB,S,=-BC>AB=—>AB，

122■22

故选：B.

【点评】本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形面枳公式等知

识点，掌握角平分线的画法与性质是解决本题的关键.

6.如图，在由△48c中，ZACB=909.根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是（）

A.EC=ECB.BE=ECC.BC=BED.AE=EC

【答案】C

【分析】证明N8EC=N8CE,可得结论.

【详解】由作图可知，CDA.AB,CE平分4C。，

/.NACE=NDCE,

ZACB=ZCDB=90°,

AZ4+ZB=90°,ZB+ZDC8=90°,

二NA=NDCB,

,/ZB£C=ZA+ZACE,ZBCE=/E0/DCB,

：.NBEC=NBCE,

：.BC=BE,

故选：C.

【点评】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

7.如图，在AABC中，ZACB=90%ZC4D=30%AC=BC=AD^则NC3O的度数为（）

A.12°B.13。C.14°D.15°

【答案】D

【分析】可过C作CE1AD于邑过D；乍。£_L8C于F,依据题意可得/FCD=N£CO,进而得到△CEDg^CFD,

得到CF=8F,再利用等腰三角形的判定可得出结论.

【详解】如图，过C作C£_LAD于E,过。作DF_L8c于F.

'/ZCAD=30°,

：,Z4CE=60°,且C£」AC,

2

'：AC=AD,NCAD=30°,

Z4CD=75°,

NFCD=9(T-NACD=15°,ZECD=ZACD-ZACE=15°,

在△CED和ACFD中，

/CED=NCFD

<ZECD=ZFCD.

CD=CD

.•.△CED9△CFDCAAS),

1I

；・CF=CE=-AC=-BC,

22

：.CF=BF,

VDF±BC,

/.BD=CD,

：.ZDC8=ZC6D=15°,

故选：D.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，能够熟练运用其性质进行

解题是关键.

8.如图，正五边形A8CDE中，F为CO边中点，连接Ab,则N84F的度数是（）

A.50°B.54°C.60°D.72°

【答案】B

【分析】连接4C,4D,正五边形48CDE中，得到48=AE=8C=DE,N8=NE,证得根据全等

三角形的性质得到N84?=/弘D,AC=AD,根据等腰三角形的性质得到NCAF=NO4R即可得到结论.

五边形A8CDE是正五边形，

/.AB=AE=BC=DE,NB=NE,ZBAE=108°，

在△△8c和△NED中

AB=AE

</B=/E

BC=ED

/^ABC^/\AED,

ABAC=NEAD,AC=AD

vAFICD

:.ZCAF=ZDAF

二.^BAF=ZEAF=-/BAE=54°.

2

故选B.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线

构造全等三角形是解题的关键.

二、填空题

9.将一张圆形纸片(圆心为点。)沿直径A/N对折后，按图1分成六等份折叠得到图2,将图2沿虚线A4

剪开，再将cAOB展开得到如图3的一个六角星.若/CDE=W,则NO8A的度数为.

【答案】135。

【分析】利用折叠的性质，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题.

【详解】连接OC,E0

360。

由折叠性质可得：NEOC==------=30。，EC=DC,OC平分N£CO

12

・•.ZECO=-NECD=-(180°-2x75。)=15°

22

ZO£C=180°-Z£CO-Z£OC=135°

即NO84的度数为135。

故答案为：135。

【点评】主要在考资折叠的性质，学生动手操作的能力，也考查了等腰三角形的性质及内角和定理，掌握

折叠及等腰三角形的性质正确推理冲算是解题关键.

10.如图，在四边形A8CO中，AB=BC=BD.设NA8C=a,则NADC=（用含。的代数式

表示）.

【答案】180。-!。

2

【分析】由等腰的性质可得：ZADB=90°--ZABD,/8DC=90。—两角相加即可得到结论.

22

【详解】在△ABD中，AB=BD

：.Z4=ZADB=-(180°-NA8Q)=90°-1NABD

22

在△8CD中，BC=BD

:.NC=NBDC=-(180°-NCBD)=90°--/CBD

22

,/ZABC=ZABD+NCBD=a

/.ZADC=ZA£>B+乙CBD

=90°--AABD+90°--NCBD

22

=180°-1(Z>4BD+ZCBD)

=180°——ZABC

2

=180。」。

2

故答案为：180。一

2

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分别求出/ADB=90。-N

2

BDC=90°--NCBD是解答本题的关健.

2

11.为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了•个如图所示的正五角星（是

正五边形的五个顶点），则图中NA的度数是度.

【答案】36

【分析】根据题意，得五边形（EG”,J,K是止五边形的五个顶点；为止五边形，且八尸=AK：根据多

边形内角和性质，得正五边形尸GWK内角和，从而得N4：再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质

计算:，即可得到答案.

【详解】•.•正五角星（是正五边形的五个顶点）

・••五边形（£G,"”,K是正五边形的五个顶点）为正五边形，且A〃=AK

Z4=——=108°

5

，Z3=180°-Z4=72°

,:AF=AK

・•・N2=N3=72。

:.Zl=180°-Z2-Z3=36°

故答案为：36.

【点评】本题考查了正多边形、多边形内角和、补角、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是

熟练掌握正多边形、多边形内角和、等腰三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解.

12.如图，。是△A8C的AC边上一点，且AO=O8,CD=CB.若NC=100。，则/八=.

【答案】200

【分析】根据等腰三角形的性质得出/CD8=NCBD,NA=N48D,根据三角形内角和定理求出NCD8+N

C8D=80。，求出NCD8,根据三角形外向性质得出NAFN48D=NCD8,寻求出答案即可.

【详解】VZC=100%

ZCDB+ZCBD=180°-ZC=80\

'：CD=CB,

：.ZCDB=ZCBD=—x80°=40°,

2

\"AD=DB,

：.NA=/48D,

•/Z4+Z48D=ZCDfi=40°,

Z4=20°,

故答案为:20。.

【点评】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能综合运用知识

点进行推理和计算是解此题的关键，注意：等边对等角.

13.在三角形48c中，A。，CE为高，两条高所在的直线相交于点H,若CH=AI3,则ZACB的大小为.

【答案】45。或135。

【分析】根据同角的余角相等求出N0CH=/048,再利用“角角边"证明AaB。和△CHD全等，根据全等三角

形对应边相等可得4D=CD,求出△ACD是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出48=45。,

然后分△48C是锐角三角形和钝角三角形两种情况求解即可.

【详解】\'AD,CE为高,

Z4DB=ZCE8=90°,

/84D+N8=90°,

NDCH+N8=90°,

/."CH-aDAB,

在△A8。和△CHD中，

ZDCH=NDAB

<ZADB=ZCDH=90,

CH=AB

.•.△A8。刍△CH。（445）,

：.AD=CD,

•.FD是高，

.•.△ACD是等腰直角三角形，

NACD=45°,

如图1,AABC是锐角三角形时，NACB=/ACD=45",

如图2,8c是钝角三角形时，Z/ACB=1800-Z/ACD=180°-45<,=1350,

所以，ZACB的大小为45。或135。.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，难点在于要分情况讨诒，作出图形更形象直观.

14.如图，已知直线m是正五边形48CDE的对称轴，且直线m过点。，直线m与对角线8E相交于点。,

则NAOE=度.

【答案】72

【分析】证明4。=80,求出N48。可得结论.

【详解】•・•直线m是正五边形八8CDE的对称轴，

：.AO=BO,

VZBAE是正五边形ABCDE的一个角，

(5-2)x180°

/BAE=---------------------=108°,

5

'：AE=AB,N8AE=108°,

ZAEB=ZABE=36°,

：.ZBAO=ZABO=36°,

：.NAOE=N8AO+N48O=36°+36°=72°,

故答案为:72.

【点评】本题考查正多边形，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出NA8G36。.

三、解答题

15.如图，已知A8=OC,NA=ND,AC与相交于点O,求证：NOBC=/OCB.

【答案】证明见解析

【分析】根据全等三角形的性质，通过证明△ABOdDCO,得OB=OC,结合等腰三角形的性质,

即可得到答案.

/A=/D

【详解】Z.AOB=ZDOC,

AB=DC

/.^ABO^/\DCO(AAS),

：,OB=OC,

・,.NOBC=4OCB.

【点评】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的

性质，从而完成求解.

16.已知：如图，点A、B、C、。在一条直线上，FB//EA交EC于H点,EA=FB,AB=CD.

(1)求证：7ACE^BDF；

(2)若CH=BC,NA=50。，求NO的度数.

【答案】(1)见解析;(2)80°

【分析】(1)由E4//F3,利用同位角相等可得N£4C=Nb8£>.由A8=CQ,利用等式性质可得AC=BD,

可证&ACE且BDF(SAS)；

(2)由FB//EA可得ZEAC=ZFBD=50°,由CH=8C利用等角对等边，可求ZHBC=4BHC=50°.利

用三角形内角和可得NEC4=80。.利用VACE史BOF性质，可得NEC4=/O=80。.

【详解】(1)证明：:EA//FB,

：.NEAC=zlFBD.

'：AB=CD,

：.AB+BC=CD+BC,即

在44CE和/8£)产中，

AC=BD

/EAC=NFBD,

EA=FB

:…ACEWBDF(SAS).

(2)解：FB//EA,

ZE4C=ZFfiZ>50°,

,:CH=BC,

:.ZHBC=/BHC=50。.

・•.ZEC4=180°-50°-50°=80°.

,:NACE办BDF，

.••ZEC4=NO=80。.

【点评】本题考查平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和，掌握平行线性

质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和是解题关犍.

17.如图，AD=BC,NDAB=/CBA.求证：OA=OB.

【答案】见解析.

【分析】利用SAS可证明△ABDBaBAC,即可得NABD=NBAC,进而可证明结论.

【详解】证明：在△A6D和二£4C中，

AD=BC

•:，/DAB=ZCBA

AB=BA

：.Z\ABD^£,BAC(SAS)

・•・ZABD=NBAC,：.OA=OB.

【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，证明△ABDgABAC是解题的关键.

18.已知：如图，点C在/MOA/的边0M上.

求作：射线CD,使CD//ON,且点D在NMO/V的角平分线上.

作法：①以点。为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线。M,ON于点48：

②分别以点48为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；

2

③画射线OQ：

④以点C为圆心，C。长为半径画弧，交射线OQ于点。：

⑤画射线CD.

射线CD就是所求作的射线.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全佟形（保留作图痕迹）：

（2）完成下而的证明：

••,00平分NMON,

/.ZMOD=.

•：OC=CD,

：.ZMOD=.

ZNOD=ZCDO.

：.CD//ON（）（填推理的依据）.

【答案】（1）见解析：（2）/NOD；NCDO：内错角相等，两直线平行

【分析】（1）根据作图方法要求，依次完成即可；

（2）根据角平分线、等腰三角形的性质及平行线的判定即可证明结论.

【详解】（1）解：补全图形，如图：

M

C

ON

（2）证明:VOD平分/MON,

NMOD=/NOD.

'：OC=CD,

ZMOD=ZCDO.

NNOO=/COO.

・・・CO〃ON（内错角相等，两直线平行.）

故答案为：/NOD；NCD。：内错角相等，两直线平行.

【点评】本题考萱了基本作图及平行线的判定，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰:•角形的性质及平行

线的判定是解题的关键.

19.如图，点。是&A5C中48边上的一点，连接CO.

（1）在8c边上求作一点尸，使得户；（要求：尺规作图，不写作法,保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若AO=CO,求证：DF//AC.

【答案】（1）图见解析：（2）证明见解析.

【分析】（1）根据角平分线的尺规作图作N8DC的角平分线，交8c丁点尸即可：

（2）先根据三角形的外角性质可得NA+NACD=N8ZX?=2N8QF,再根据等腰三:角形的性质可得

ZA=ZACD,从而可得NA=N8£"，然后根据平行线的判定即可得证.

【详解】（1）作N8DC的角平分线，交BCT点F,则点尸即为所求，如图所示：

(2)-ZA+ZACD=ZBDC=ZBDF+ZCDF,4BDF=/CDF,

:.ZA+ZACD=2/BDF,

\-AD=CD,

:.ZA=^ACD,

:.2ZA=2ABDF,即NA=NBOb，

■.DF//AC.

【点评】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识点，熟练掌握角平分

线的尺规作图是解题关键.

20.如图，A8〃8,A。与6c相交于点E.

（1）尺规作图：作NE4O的平分线AF,交BC于点F，交CQ的延长线于点G.（要求：不写做法，只

保留作图痕迹，并标明字母）

（2）求证：DA=DG.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据作角平分线的作法作图即可：

（2）根据平行线的性质及角平分线的定义可分别得到NBAG=NG,ZBAG=ZDAG,等量代换可得NG=

/DAG，再由等腰三角形的判定即可证得OA=OG.

【详解】（1）解：如图，AF即为所求：

(2)证明：

...N8AG=NG,

YAF平分/8/W,

,ZBAG=ZDAG,

/G=NDWG,

：.DA=DG.

【点评