2025-2026学年山西省晋中市太谷区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages33页2025-2026学年山西省晋中市太谷区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值为（）A.

B.

C.

D.

2.一元二次方程x2-3x-1=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根 D.无法确定3.超级工程——北京大兴国际机场：凤凰涅槃，位列“新世界七大奇迹”之首，其曲面屋盖由8000余块玻璃构成，每块玻璃的曲率都经过优化接近于0.618，既满足结构受力要求，又形成富有韵律的视觉效果.这里玻璃曲率的优化中，所蕴含的数学知识是（）A.位似变换

B.平移变换

C.旋转变换

D.黄金分割4.在2025年秋季《国家学生体质健康标准》测试数据上报中，太谷区为从中了解我区初中生体质健康水平，便在全区的测试数据中随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对我区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（）累计抽测的学生数n1002003004005006007008009001000体质健康合格的学生数与n的比值0.850.900.930.900.890.900.910.910.920.92A.0.92 B.0.93 C.0.903 D.0.905.太原市迎泽大街西段路灯“11头火棉桃灯”（如图1）于2025年8月底“上岗”.它在保留了传统中华灯造型的基础上，进行了照明技术的创新.所有的光源都采用了LED技术，不仅节能环保，还能带来更智能的照明体验.如图2是路灯的底座，它的俯视图如图3所示，则该几何体的左视图是（）A. B. C. D.6.已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件：①AB∥CD；②OA=OC；③OB=OD；④AC⊥BD，从以上条件中任选三个，能判定四边形ABCD是菱形的选法有（）种.A.1

B.2

C.3

D.47.关于反比例函数的图象和性质，下列说法错误的是（）A.图象经过点（1，-2） B.图象关于原点中心对称

C.图象关于直线y=x对称 D.y的值随x值的增大而增大8.如图，在四边形ABCD中，已知∠D=∠ACB，那么补充下列条件后不能判定△ACD和△ABC相似的是（）

A.AC平分∠BAD B.∠DCA=∠B C. D.9.2025年，由于新能源汽车的快速崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年9月份售价为25万元，11月份售价为24.01万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x,则所列方程正确的是（）A.24.01（1+2x）=25 B.24.01（1+x）2=25

C.25（1-x）2=24.01 D.25（1-2x）=24.0110.如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=10cm,AD=6cm,点E是BC上一点，将纸片沿DE折叠，点A，B分别落在点A'、B'处，当点C在A'B'上时，则线段CE的长为（）A.

B.

C.2.5cm

D.5cm二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.若x=1是一元二次方程x2-3x+m=0的一个根，则m的值为

.12.如图是一组悬挂在天花板上的创意吊灯，清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯B前必须先取下吊灯C，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个被取下的吊灯是B的概率是

.

13.验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间佩戴“星趣控”镜片的矫正治疗后，小颖的镜片焦距由0.2米调整到0.25米，则近视眼镜的度数减少了

度.14.如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，可得几何体的体积为

cm2.15.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD=3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD=30°，∠BED=60°，且CD=4，则AB的长为

.三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

按要求完成下列各题：

（1）解方程：x（x-3）-x+3=0；

（2）计算：4sin60°-6tan30°+2cos245°.17.(本小题7分)

如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A（4，3），B（1，2），C（3，1）.

（1）以点A为位似中心，在点A的下方画出△A1BC1使△AB1C1与△ABC位似，且位似比为3：1；

（2）写出点C1的坐标：（______）；

（3）四边形BCC1B1的面积为______.18.(本小题9分)

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=k1x+b（k1≠0）与反比例函数（k2≠0）的图象在第二象限交于点A（-1，4），在第四象限交于点B（2，m），过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC.

（1）求一次函数与反比例函数的表达式.

（2）求△ABC的面积.

（3）根据图象直接写出不等式的解集.19.(本小题7分)

《数学之美》是中国邮政于2025年3月14日（国际圆周率日）发行的纪特邮票.该套邮票共4枚，面值分别为80分、1.20元、1.20元、1.50元.邮票图案名称为：圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带.数学兴趣小组的同学对该组邮票很感兴趣，便收集了这4张邮票的图案并制成卡片，依次标为A、B、C、D，现将卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）.

（1）将这四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张卡片图案刚好是“欧拉公式”的概率是______；

（2）小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“欧拉公式”和“莫比乌斯带”的概率.

20.(本小题8分)

利用一元二次方程解决实际问题.

截至2025年10月30日，《浪浪山小妖怪》的累计票房已超过17亿元，登顶中国影史国产二维动画电影票房冠军.问童子毛绒品牌公司，借助电影《浪浪山小妖怪》的东风，推出《浪浪山小妖怪》系列毛绒公仔、挂偶等并在各大网站、店铺爆卖.现已知某店铺成本价为50元/个的“小猪妖”毛绒挂偶，当它的售价为80元/个销售时，每周可售出100个.经过市场调查发现，每个“小猪妖”毛绒挂偶的售价每上涨1元，周销售量将减少5个.问：该店铺本周计划涨价销售该款“小猪妖”毛绒挂偶，并盈利2000元，求该店铺本周该款“小猪妖”毛绒挂偶的售价.21.(本小题9分)

项目化学习项目主题测量“史公塔”的高度项目背景史公塔，也称北坛塔，位于晋中市介休城西北，坐落在北坛公园内.县级文物保护单位.塔建于清乾隆十三年（1748），系八角七层楼阁式砖塔，塔顶饰以黄、绿两色琉璃瓦，塔刹和覆钵为黄色琉璃，配以绿琉璃垂脊，外观雄浑秀丽，金碧辉煌.有木梯、台阶可登顶远眺.某数学“综合与实践”小组以“测量史公塔的高度”为主题开展项目学习.测量示意图说明：点A为“史公塔”的塔顶，点C、D是两个观测点，DE为垂直于地面的高台，且B、C、D三点共线测量数据C处的仰角E处的仰角高台DE的高度CD的距离45°38°5m5.88m……任务一：请运用你所学的知识，根据上表中的测量数据，帮助“综合与实践”小组求出塔顶A到地面的距离（结果保留整数，参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）；

任务二：该“综合与实践”小组要写出一份完整的课题活动报告，除了上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）.22.(本小题12分)

综合与应用

定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“完美点”.

【尝试初探】

（1）点C（4，5）______“完美点”（填“是”或“不是”）；若点D（8，b）是第一象限内的一个“完美点”，则b=______；

【深入探究】

（2）①若“完美点”E（m,6）（m＞0）在双曲线且k为常数）的图象上，求该反比例函数的表达式；

②在①的条件下，若点F（9，n）也在双曲线的图象上，请在图2中描出E，F两点，构造出△EOF，画出该反比例函数在第一象限的图象，并求出△EOF的面积.

23.(本小题13分)

综合与探究

【自主探究】

在综合与实践课上，老师以“正方形的旋转”为主题，开展数学活动.如图1，

已知正方形ABCD和正方形EBGF，当点F在对角线BD上时，在老师提出：猜想线段DF与AE的数量关系时，大家一致认为，并且有两个小组给出如下的证明思路：

奋进组：要想证明，可以构造并证明等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的斜边与底角的三角函数，然后通过等量代换，便可证明；

创新组：要想证明，可利用平行线分线段成比例定理，对比例式进行变形，然后利用等腰直角三角形的斜边与底角的三角函数.便可证明；

【操作思考】

（1）请你根据“奋进组”和“创新组”提出的思路对下面问题做出选择（）

A.“奋进组”的思路正确，“创新组”的思路不正确

B.“创新组”的思路正确，“奋进组”的思路不正确

C.“奋进组”和“创新组”的思路都正确

D.“奋进组”和“创新组”的思路都不正确

【深入探究】

（2）将正方形EBGF绕着点B顺时针旋转α；（0＜α＜360°）当正方形EBGF旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，若成立请加以证明；若不成立，请写出正确的数量关系，并加以证明.

【拓展延伸】

（3）如图3，将正方形EBGF绕着点B顺时针旋转α（0＜α＜360°）的过程中，当A，E，G三点共线时，直线BF与射线DC相交于点H，当，，线段DH的长为______.（直接写出答案）

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】2

12.【答案】

13.【答案】100

14.【答案】270

15.【答案】

16.【答案】x1=3，x2=1

1

17.【答案】如图，△A1B1C1即为所作；

1，-3

20

18.【答案】反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为y1=-2x+2

3

不等式的解集为-1＜x＜0或x＞2

19.【答案】

20.【答案】该店铺本周该款“小猪妖“毛绒挂偶的售价为90元/个．

21.【答案】任务一：该塔AB的高度约为44米；

任务二：除了上表中的项目外，我认为还需要补充项目有：测量工具等等（答案不唯一）．

22.