八年级数学上册期末总复习总结

汇报人:XXXX2026年01月09日上册八年级数学上册期末总复习总结ppt课件CONTENTS目录01

三角形02

全等三角形03

轴对称04

整式的乘法与因式分解CONTENTS目录05

分式06

实数与二次根式07

复习策略与备考建议三角形01三角形的定义与分类

三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

按边分类三角形按边可分为不等边三角形、等腰三角形（底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形/正三角形）。

按内角分类三角形按内角可分为锐角三角形（三个内角都是锐角）、直角三角形（有一个内角是直角）、钝角三角形（有一个内角是钝角）。三角形的性质三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。例如，给定长度3cm、6cm的木棒，第三根木棒长度需大于3cm且小于9cm才能组成三角形。内角和定理三角形的内角和为180°。在直角三角形中，两个锐角之和为90°；在等边三角形中，每个内角均为60°。外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个不相邻的内角。例如，三角形一个外角为120°，若不相邻两内角之比为2:1，则这两个内角分别为80°和40°。稳定性三角形具有稳定性，即三边长度确定后，其形状和大小固定不变。这一性质在建筑结构（如屋顶桁架）和机械设计中广泛应用。三角形的重要线段

三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。锐角三角形的高在三角形内部，直角三角形的两条直角边互为高，钝角三角形有两条高在三角形外部。

三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。角平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的三条角平分线交于一点，即内心。三角形典型例题与解题技巧

01三边关系判定三角形存在性已知线段长度3cm、6cm，求第三边范围。根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得第三边长度大于3cm且小于9cm。

02三角形内角和与外角性质应用在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，求∠C的外角。利用三角形内角和为180°，得∠C=70°，其外角为180°-70°=110°，或直接用外角等于不相邻两内角和：50°+60°=110°。

03全等三角形判定方法选择已知△ABC≌△DEF，AB=DE，∠A=∠D，若证BC=EF，可选用ASA或AAS判定。若已知两边及夹角对应相等用SAS，三边对应相等用SSS，直角三角形斜边直角边用HL。

04角平分线性质与判定综合题在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=5，AC=3，△ABC面积为16，求DE长。由角平分线性质得DE=DF，根据面积公式：(5×DE+3×DF)/2=16，解得DE=4。全等三角形02全等三角形的概念与性质

全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点称为对应顶点，重合的边称为对应边，重合的角称为对应角。

全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等，其周长和面积也相等，对应边上的中线、角平分线、高线分别相等。

三角形的稳定性三角形三边的长度确定后，其形状和大小就完全确定，这一性质称为三角形的稳定性，是全等三角形判定的基础。全等三角形的判定方法

边边边（SSS）判定三边对应相等的两个三角形全等。若△ABC与△DEF的三边AB=DE、BC=EF、AC=DF，则△ABC≌△DEF。

边角边（SAS）判定两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。若AB=DE、∠A=∠D、AC=DF，则△ABC≌△DEF，需注意“夹角”不可替换为“对角”。

角边角（ASA）判定两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。若∠A=∠D、AB=DE、∠B=∠E，则△ABC≌△DEF，夹边是两角公共边。

角角边（AAS）判定两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。若∠A=∠D、∠B=∠E、BC=EF，则△ABC≌△DEF，由三角形内角和定理可推导ASA。

斜边、直角边（HL）判定斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。在Rt△ABC与Rt△DEF中，若AC=DF（斜边）、BC=EF（直角边），则Rt△ABC≌Rt△DEF。全等三角形辅助线添加技巧倍长中线法遇到三角形中线时，延长中线至两倍长度，构造全等三角形。例如：在△ABC中，AD是BC边中线，延长AD至E使DE=AD，连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。截长补短法用于证明线段和差关系，在较长线段上截取一段等于某短线段，或延长短线段至与长线段相等。如：已知AB=CD+EF，可在AB上截取AG=CD，再证GB=EF。作高法在直角三角形或需构造直角时，过顶点作对应边的高。例如：等腰三角形中作底边上的高，可利用“三线合一”性质证全等；钝角三角形中作高可转化为直角三角形。平移法通过平移线段构造全等，适用于含平行线或相等线段的图形。如：在梯形ABCD中，AD∥BC，可平移一腰使两腰、上下底差构成三角形，利用全等证边或角关系。翻折法（轴对称）沿某直线翻折图形，使分散条件集中。例如：角平分线条件下，过平分线上一点向两边作垂线，构造全等直角三角形；或翻折某三角形使对应边重合。全等三角形真题演练与解析SSS判定典型题已知△ABC中，AB=AC，D为BC中点，求证：△ABD≌△ACD。思路：利用中点性质得BD=CD，结合AB=AC及公共边AD，通过SSS判定全等。SAS判定综合题如图，AB=AD，AC平分∠BAD，求证：△ABC≌△ADC。关键：角平分线得∠BAC=∠DAC，结合AB=AD、公共边AC，用SAS证全等。ASA/AAS判定应用题在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，求证两三角形全等。解析：根据AAS判定定理，两角及其中一角对边对应相等即可得证。HL判定直角三角形已知Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，证明△ABC≌△DEF。方法：利用HL定理，直角边和斜边对应相等判定全等。易错点解析：对应关系误区：忽略对应边、对应角关系导致判定错误。如“SSA”并非全等判定条件，需严格区分SAS中“夹”角的要求，避免混淆边边角与边角边。轴对称03轴对称的概念与性质

轴对称图形的定义如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

两个图形成轴对称的定义把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

轴对称的基本性质不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，且对称的图形都全等。

线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。线段垂直平分线与角平分线性质线段垂直平分线的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。角平分线的性质

角平分线上的点到角的两边的距离相等；角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。性质的核心应用逻辑

两者均体现"点到特殊线（线段/角边）的距离关系"，可用于证明线段相等、角相等，或确定满足特定条件的点的位置，是几何证明中转化边角关系的重要工具。等腰三角形与等边三角形01等腰三角形的定义与性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边为腰，另一边为底边。其性质包括：两腰相等；两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）；是轴对称图形，对称轴为三线合一所在直线。02等腰三角形的判定方法判定等腰三角形可依据：有两条边相等的三角形是等腰三角形；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。03等边三角形的定义与性质三条边都相等的三角形叫做等边三角形。其性质有：三边都相等；三个内角都相等，且均为60°；每条边上都存在三线合一；是轴对称图形，有3条对称轴，即每条边的三线合一所在直线。04等边三角形的判定方法等边三角形的判定方法包括：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。轴对称作图与最短路径问题

轴对称图形的作图步骤1.确定对称轴（直线）；2.找出图形关键点；3.作各关键点关于对称轴的对称点（过点作对称轴垂线并延长等长）；4.依次连接对称点得到对称图形。

线段垂直平分线作图应用已知线段AB，用尺规作其垂直平分线：分别以A、B为圆心，大于1/2AB长为半径画弧，两弧交于两点，过两点的直线即为垂直平分线，该线上任意点到A、B距离相等。

将军饮马问题模型构建直线l同侧有A、B两点，在l上找一点P使PA+PB最短。方法：作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于P，P即为所求点，此时PA+PB=A'B（两点之间线段最短）。

最短路径问题拓展：三角形周长最小锐角△ABC中，在BC边上找两点D、E（DE定长），使AD+DE+EB最短。方法：将A沿BC方向平移DE长度得A'，作B关于BC对称点B'，连接A'B'交BC于E，回推得D点，此时路径最短。整式的乘法与因式分解04幂的运算与整式乘法法则同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)（\(m\)、\(n\)为整数，\(a\neq0\)）。幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘，即\((a^m)^n=a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)为整数，\(a\neq0\)）。积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即\((ab)^n=a^nb^n\)（\(n\)为整数，\(a\)、\(b\neq0\)）。单项式乘单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式乘多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即\(m(a+b+c)=ma+mb+mc\)。多项式乘多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即\((a+b)(m+n)=am+an+bm+bn\)。乘法公式

平方差公式两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即(a+b)(a-b)=a²-b²。公式适用于两个二项式相乘，且一项完全相同，另一项互为相反数的情况。

完全平方公式两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍，即(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²。公式中首尾平方和，中间项为两数乘积的2倍，符号与原式中两数间的符号一致。

公式的几何意义平方差公式可通过边长为a和b的大正方形减去小正方形的面积差来理解；完全平方公式可借助边长为(a+b)或(a-b)的正方形面积展开图，直观展示各项之间的关系，帮助理解公式的构成。

公式的灵活应用在计算中，需准确识别公式结构，合理变形。例如，对于(2x+3y)(2x-3y)，可直接应用平方差公式得4x²-9y²；对于(3m-2n)²，应用完全平方公式得9m²-12mn+4n²，注意中间项系数的计算。因式分解的方法与步骤

提公因式法找出多项式各项的公因式，将其提取出来，使多项式化为公因式与另一个因式的乘积形式。依据是乘法分配律的逆运用，公因式可以是单项式也可以是多项式。

公式法利用平方差公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)和完全平方公式\(a^2\pm2ab+b^2=(a\pmb)^2\)进行因式分解，适用于符合公式特征的多项式。

因式分解的一般步骤先观察多项式是否有公因式，若有则先提公因式；再看剩余部分是否符合公式特征，运用公式法继续分解；分解后检查是否彻底，确保每个因式不能再分解。整式运算与因式分解易错点分析

幂的运算符号与指数混淆易混淆同底数幂乘法（指数相加）与幂的乘方（指数相乘），如将\((a^3)^2\)错误计算为\(a^5\)，正确结果应为\(a^6\)；忽略负号运算，如\((-a)^2=a^2\)，\((-a)^3=-a^3\)。

乘法公式结构特征不清平方差公式\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)与完全平方公式\((a\pmb)^2=a^2\pm2ab+b^2\)混淆，如错将\((a+b)^2\)计算为\(a^2+b^2\)，遗漏中间项\(2ab\)。

因式分解不彻底或方法错误提公因式时漏项，如\(2x^2-4x\)只提\(2x\)得\(2x(x-2)\)正确，若提\(2\)得\(2(x^2-2x)\)则不彻底；误用公式，如对\(x^2+4\)错误使用平方差公式分解，实则无法分解。

符号处理与括号运用不当去括号时符号出错，如\(-(a-b)=-a+b\)易误写为\(-a-b\)；添括号时忽略符号规则，如将\(a-b+c\)变形为\(a-(b+c)\)，正确应为\(a-(b-c)\)。分式05分式的概念与基本性质

分式的定义如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式，其中A称为分子，B称为分母。

分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零，即当B≠0时，分式A/B有意义。

分式值为零的条件分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，即当A=0且B≠0时，分式A/B的值为零。

分式的基本性质分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，即A/B=(A×C)/(B×C)=(A÷C)/(B÷C)（C≠0）。分式的四则运算

分式的乘法法则分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即\(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)（\(b\)、\(d\)不为0）。

分式的除法法则分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即\(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\)（\(b\)、\(c\)、\(d\)不为0）。

分式的加减法法则同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即\(\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pmb}{c}\)；异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，即\(\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}\pm\frac{bc}{bd}=\frac{ad\pmbc}{bd}\)（分母均不为0）。

分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序进行，能化简的要先化简。分式方程的解法与增根检验分式方程的定义含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解法步骤1.能化简的先化简；2.方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；3.解整式方程；4.验根。增根产生的原因在将分式方程化为整式方程时，方程两边同乘以的最简公分母有可能为0，从而产生增根。增根的检验方法将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。分式的实际应用问题工程问题模型核心公式：工作量=工作效率×工作时间。常通过设工作总量为1（或最简公分母），用分式表示各部分工作效率，依据“各部分工作量之和=总工作量”列方程。行程问题模型基础关系：路程=速度×时间。涉及顺水/逆水航行时，顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，根据时间差或路程关系列分式方程。利润问题模型关键公式：利润率=（利润÷成本）×100%。通过分式表示成本、售价或数量关系，结合“利润=售价-成本”或“利润率相等”等条件建立方程。浓度问题模型基本公式：浓度=溶质质量÷溶液质量。溶液稀释或混合时，溶质质量不变，用分式表示稀释前后浓度，依据溶质质量相等列方程求解。解题步骤与检验1.审题：明确已知量与未知量，找出等量关系；2.设元：设合适未知数；3.列方程：根据等量关系列出分式方程；4.求解：化为整式方程求解；5.检验：既要检验是否为整式方程的解，也要确保符合实际意义（如时间、工作量为正数）。实数与二次根式06实数的概念与分类

实数的定义有理数和无理数统称为实数。有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数。

按定义分类实数可分为有理数和无理数。有理数包括整数和分数；无理数包括开方开不尽的数、含π的数、有特定结构的无限不循环小数（如0.1010010001…）等。

按性质分类实数可分为正实数、零和负实数。正实数包括正有理数和正无理数；负实数包括负有理数和负无理数。二次根式的性质与化简

二次根式的概念形如√a（a≥0）的数学表达式叫做二次根式，其中a称为被开方数。当a>0时，二次根式有两个值，分别为正根和负根；当a=0时，二次根式的值为0。

二次根式的性质非负性：对于任意实数a，√a的值总是非负的。乘方与开方互逆：对于任意非负实数a，有√(a²)=a。运算性质：√(ab)=√a×√b（a≥0,b≥0）；√(a/b)=√a/√b（a≥0,b>0）。

二次根式的化简方法先将被开方数分解因数，把能开得尽方的因数开出来。例如√12=√(4×3)=√4×√3=2√3。被开方数是分数或分式时，要化去分母中的根号。

同类二次根式的合并几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式时，将系数相加减，根号部分不变，如2√3+3√3=5√3。二次根式的运算与求值

01二次根式的乘法法则二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即√a·√b=√(ab)（a≥0，b≥0）。

02二次根式的除法法则二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即√a/√b=√(a/b)（a≥0，b>0）。

03二次根式的加减运算先将二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变。

04二次根式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，能简算的要简算。

05二次根式的化简求值先将代数式中的二次根式化简，再代入已知字母的值进行