椭圆定点定值问题试题及答案

椭圆定点定值问题试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，过右焦点\(F\)的直线交椭圆于\(A\)、\(B\)两点，若\(\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}\)，则椭圆离心率\(e\)的取值范围是（）A.\((0,\frac{1}{2})\)B.\((0,\frac{\sqrt{2}}{2})\)C.\((\frac{1}{2},1)\)D.\((\frac{\sqrt{2}}{2},1)\)2.椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)上一点\(P\)到左焦点\(F_1\)的距离为\(3\)，则点\(P\)到右焦点\(F_2\)的距离为（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)3.椭圆\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的焦点为\(F_1,F_2\)，过\(F_1\)的直线交椭圆于\(A,B\)两点，则\(\triangleABF_2\)的周长为（）A.\(8\)B.\(12\)C.\(16\)D.\(20\)4.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，过\(F_1\)且垂直于\(x\)轴的直线与椭圆交于\(A,B\)两点，若\(\triangleABF_2\)为正三角形，则该椭圆的离心率为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)5.椭圆\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的焦距为\(2\)，则\(m\)的值为（）A.\(5\)B.\(3\)C.\(5\)或\(3\)D.\(8\)6.设\(F_1,F_2\)是椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\)的两个焦点，\(P\)是椭圆上一点，且\(\vertPF_1\vert:\vertPF_2\vert=3:1\)，则\(\trianglePF_1F_2\)的面积为（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(1\)7.椭圆\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)上一点\(M\)到焦点\(F_1\)的距离为\(2\)，\(N\)是\(MF_1\)的中点，则\(\vertON\vert\)等于（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(8\)D.\(\frac{3}{2}\)8.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，点\(P\)在椭圆上，且\(\angleF_1PF_2=90^{\circ}\)，\(\vertPF_1\vert=3\vertPF_2\vert\)，则椭圆的离心率为（）A.\(\frac{\sqrt{10}}{4}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{10}}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{5}}{4}\)9.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右顶点分别为\(A,B\)，点\(P\)在椭圆上，直线\(PA\)，\(PB\)的斜率分别为\(k_1,k_2\)，若\(k_1k_2=-\frac{1}{4}\)，则椭圆的离心率为（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)10.过椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)的右焦点\(F\)作直线\(l\)交椭圆于\(A,B\)两点，若\(\vertAB\vert=\frac{7}{2}\)，则直线\(l\)的斜率为（）A.\(\pm1\)B.\(\pm\sqrt{2}\)C.\(\pm\sqrt{3}\)D.\(\pm2\)二、多项选择题（每题2分，共20分）1.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，下列说法正确的是（）A.椭圆上任意一点到两焦点距离之和为\(2a\)B.椭圆的离心率\(e\in(0,1)\)C.椭圆的焦点在\(x\)轴上D.若椭圆的离心率\(e\)越接近\(1\)，则椭圆越扁2.对于椭圆\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)，下列结论正确的是（）A.长轴长为\(6\)B.短轴长为\(4\)C.焦距为\(2\sqrt{5}\)D.离心率为\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)3.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，过\(F_1\)的直线交椭圆于\(A,B\)两点，则（）A.\(\triangleABF_2\)的周长为\(4a\)B.若\(\vertAB\vert\)的最大值为\(3a\)，则椭圆的离心率\(e=\frac{1}{2}\)C.若\(\vertAB\vert\)的最小值为\(3b\)，则椭圆的离心率\(e=\frac{1}{2}\)D.若\(\triangleABF_2\)的面积的最大值为\(bc\)，则椭圆的离心率\(e=\frac{\sqrt{2}}{2}\)4.设椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，点\(P\)在椭圆上，则（）A.当点\(P\)为椭圆短轴端点时，\(\angleF_1PF_2\)最大B.若\(\vertPF_1\vert=2\vertPF_2\vert\)，则椭圆的离心率\(e\in[\frac{1}{3},1)\)C.若\(\trianglePF_1F_2\)是等腰三角形，则\(\vertPF_1\vert\in[a-c,2a-c]\)D.若\(\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0\)，则椭圆的离心率\(e\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1)\)5.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)，直线\(l\)过椭圆的右焦点\(F\)，且与椭圆交于\(A,B\)两点，则（）A.当直线\(l\)垂直于\(x\)轴时，\(\vertAB\vert=3\)B.当直线\(l\)斜率为\(0\)时，\(\vertAB\vert=4\)C.以\(AB\)为直径的圆与椭圆的右准线相离D.\(\triangleAOB\)面积的最大值为\(\sqrt{3}\)6.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，过\(F_1\)作倾斜角为\(30^{\circ}\)的直线交椭圆于\(A,B\)两点，若\(\vertAF_2\vert+\vertBF_2\vert=2a\)，则（）A.直线\(AB\)的方程为\(y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+c)\)B.\(\vertAB\vert=\frac{4\sqrt{3}}{3}a\)C.椭圆的离心率\(e=\frac{\sqrt{3}}{3}\)D.点\(F_2\)到直线\(AB\)的距离为\(\frac{\sqrt{3}}{2}c\)7.设椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右顶点分别为\(A,B\)，点\(P\)在椭圆上，且异于\(A,B\)两点，直线\(PA\)，\(PB\)的斜率分别为\(k_1,k_2\)，则（）A.\(k_1k_2=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\)B.若\(k_1k_2=-\frac{1}{2}\)，则椭圆的离心率\(e=\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.若\(k_1k_2=-\frac{1}{3}\)，则椭圆的离心率\(e=\frac{\sqrt{6}}{3}\)D.若\(k_1k_2=-\frac{1}{4}\)，则椭圆的离心率\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)8.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，过椭圆的左焦点\(F_1\)作直线\(l\)交椭圆于\(A,B\)两点，若\(\vertAB\vert\)的最大值为\(4\)，最小值为\(3\)，则（）A.\(a=2\)B.\(b=\sqrt{3}\)C.椭圆的离心率\(e=\frac{1}{2}\)D.椭圆的短轴长为\(2\sqrt{3}\)9.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，点\(P\)在椭圆上，且\(\vertPF_1\vert=3\vertPF_2\vert\)，则（）A.\(\vertPF_2\vert=\frac{a}{2}\)B.椭圆的离心率\(e\in[\frac{1}{2},1)\)C.当\(e=\frac{1}{2}\)时，\(\trianglePF_1F_2\)是直角三角形D.当\(e=\frac{\sqrt{2}}{2}\)时，\(\trianglePF_1F_2\)是等腰直角三角形10.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)，直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆交于\(A,B\)两点，若以\(AB\)为直径的圆过椭圆的右顶点，则（）A.\(m=-\frac{4k}{7}\)B.直线\(l\)恒过定点\((\frac{2}{7},0)\)C.\(\triangleAOB\)面积的最大值为\(\frac{12}{7}\)D.当\(k=0\)时，\(\vertAB\vert=2\sqrt{3}\)三、判断题（每题2分，共20分）1.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)上任意一点到两焦点距离之和为\(2a\)。（）2.椭圆的离心率\(e\)越大，椭圆越圆。（）3.椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)的长轴长为\(4\)。（）4.过椭圆焦点的直线与椭圆相交，所截得的弦长中，通径最短。（）5.若椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，点\(P\)在椭圆上，且\(\vertPF_1\vert=2\vertPF_2\vert\)，则\(\vertPF_2\vert=\frac{2a}{3}\)。（）6.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右顶点分别为\(A,B\)，点\(P\)在椭圆上，直线\(PA\)，\(PB\)的斜率分别为\(k_1,k_2\)，则\(k_1k_2=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\)。（）7.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)，直线\(l\)过椭圆的右焦点\(F\)，