2025年高三数学期末蟾宫折桂卷二

2025年高三数学期末蟾宫折桂卷二2025年高三数学期末蟾宫折桂卷二

姓名：______班级：______学号：______得分：______

（考试时间：90分钟，满分：100分）

1.选择题（每小题3分，共15分）

1-5题，每题3分，共15分

2.填空题（每小题4分，共16分）

6-10题，每题4分，共16分

3.解答题（共12分）

11题，共12分

4.解答题（共14分）

12题，共14分

5.解答题（共18分）

13题，共18分

6.解答题（共15分）

14题，共15分

7.解答题（共10分）

15题，共10分

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**一、选择题（每小题3分，共15分）**

1.已知集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3>0}，则A∩B=（）

A.{x|1<x<3}B.{x|x>3}C.{x|1<x<2或2<x<3}D.{x|x>3或x<1}

2.复数z=(2+i)/(1-i)，则|z|等于（）

A.√2B.2C.1D.√5

3.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.πB.2πC.π/2D.4π

4.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，a_5=9，则a_10的值为（）

A.15B.18C.21D.24

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=4，则cosA的值为（）

A.1/2B.1/3C.√2/2D.√3/2

**二、填空题（每小题4分，共16分）**

6.不等式|x-1|<2的解集为__________。

7.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相切，则k的值为__________。

8.已知函数f(x)=e^x-1，则f(x)的反函数f^(-1)(x)的解析式为__________。

9.在等比数列{b_n}中，b_1=1，b_3=8，则b_5的值为__________。

10.一个圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面积为__________。

**三、解答题（共12分）**

11.解不等式组：

{x^2-3x+2>0

{x+1≥0

**四、解答题（共14分）**

12.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，

(1)求f(x)的极值点；

(2)若f(x)在区间[a,b]上单调递增，求a、b的取值范围。

**五、解答题（共18分）**

13.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=2c^2。

(1)求sinA·sinB的取值范围；

(2)若c=2，求△ABC的面积。

**六、解答题（共15分）**

14.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N*）。

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)设S_n为数列{a_n}的前n项和，求S_n。

**七、解答题（共10分）**

15.求函数f(x)=cos^2x+sinx在区间[0,π]上的最大值和最小值。

8.选择题（每小题3分，共15分）

16-20题，每题3分，共15分

9.填空题（每小题4分，共12分）

21-24题，每题4分，共12分

10.解答题（共10分）

25题，共10分

11.解答题（共12分）

26题，共12分

12.解答题（共14分）

27题，共14分

13.解答题（共16分）

28题，共16分

14.解答题（共18分）

29题，共18分

15.解答题（共10分）

30题，共10分

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**八、选择题（每小题3分，共15分）**

16.若z为纯虚数，且z^2=1+i，则z等于（）

A.1+iB.-1-iC.iD.-i

17.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次出现的点数之和为6的概率为（）

A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18

18.已知函数y=2^x和y=log_2(x)的图像关于某条直线对称，则该直线为（）

A.x轴B.y轴C.x=1D.y=1

19.在空间中，过一点可以作（）条直线与一个已知平面垂直

A.1B.2C.无数D.0

20.一个四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面均为等边三角形，则其体积为（）

A.2√3B.4√3C.8√3D.16√3

**九、填空题（每小题4分，共12分）**

21.已知向量a=(1,2)，b=(-3,4)，则向量a·b的值为__________。

22.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标为__________。

23.某班级有30名学生，其中男生20名，女生10名，随机抽取3名学生，则恰好抽到2名女生的概率为__________。

24.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边c的值为__________。

**十、解答题（共10分）**

25.求极限lim_(x→0)(sinx/x)。

**十一、解答题（共12分）**

26.已知函数f(x)=x^2-4x+3，

(1)求f(x)的图像的顶点坐标；

(2)若f(x)在区间[1,a]上恒大于0，求a的取值范围。

**十二、解答题（共14分）**

27.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2a=b+c。

(1)求sinA/sinB的取值范围；

(2)若a=3，求△ABC的周长。

**十三、解答题（共16分）**

28.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n+2n（n∈N*）。

(1)求{b_n}的通项公式；

(2)设T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n。

**十四、解答题（共18分）**

29.求函数f(x)=sin^2x+cosx在区间[0,2π]上的最大值和最小值。

**十五、解答题（共10分）**

30.在直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B(0,1)，点P为直线y=x上的动点，求PA+PB的最小值。

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**一、选择题答案**

1.C2.A3.A4.B5.C

6.C7.B8.y=e^(x-1)9.3210.8π

11.B12.C13.A14.C15.D

16.D17.A18.C19.A20.B

**二、填空题答案**

21.622.(2,-3)23.1/324.√2

**三、解答题答案**

11.{x|x>2}

12.(1)f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，

极值点为x=0，x=2；

(2)增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，

若[a,b]⊆(-∞,0)或[a,b]⊆(2,+∞)，则a<0<b且b<2或a>2，

取值范围a<0或a>2。

13.(1)由余弦定理a^2+b^2-2abcosC=2c^2，

又a^2+b^2=2c^2，则-2abcosC=0，cosC=0，

0<C<π，则C=π/2，sinA·sinB=sinA·sin(π/2-A)=sinA·cosA=1/2sin2A，

0<2A<π，sin2A∈(0,1]，

sinA·sinB∈(0,1/2]。

(2)c=2，C=π/2，由勾股定理a^2+b^2=4，

S=1/2ab=1/2√(4-(a^2+b^2)/2)=1/2√(4-2)=√2。

14.(1)a_n+1=2a_n+1，

a_n+1+1=2(a_n+1)，

{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，

a_n+1=2^n，a_n=2^n-1；

(2)S_n=1+3+7+...+2^n-1，

S_n=n·2^(n+1)/2-1=2^(n+1)-n-1。

15.令t=sinx，t∈[-1,1]，

f(x)=t^2+t，对称轴t=-1/2，

当t=-1/2时，y_min=-1/4+(-1/2)=-3/4，

当t=1时，y_max=1+1=2，

最小值-3/4，最大值2。

**四、解答题答案**

25.lim_(x→0)(sinx/x)=1（重要极限）

26.(1)顶点(2,-1)；

(2)f(x)图像开口向上，对称轴x=2，

区间[1,a]上恒大于0，需1<a≤2或a≥4。

27.(1)由2a=b+c及正弦定理2sinA=sinB+sinC，

2sinA=sin(π-A)=sinB+sinC=sinA+sinC，

sinC=sinA，0<C<π，则C=A，

sinA/sinB=sinA/sin(π-2A)=sinA/(sinAcosA+cosAsinA)=1/(1+cosA)，

0<A<π/2，cosA∈(0,1)，1/(1+cosA)∈(1/2,1)，

取值范围(1/2,1)；

(2)a=3，C=A，2a=b+c，b+c=6，

由余弦定理3^2=b^2+c^2-2bc·1，9=b^2+c^2-bc，

(b+c)^2=36，b^2+c^2+2bc=36，

36-bc+3bc=36，bc=9，

b+c=6，b，c为方程x^2-6x+9=0的两根，x=3，

b=c=3，周长3+3+6=12。

28.(1)b_n+1=b_n+2n，

b_n+2=b_n+1+2(n+1)，

b_n+2-(b_n+1)=2(n+1)，

b_n+1-b_n=2n，

{b_n}是首项b_1=2，公差为2的等差数列，

b_n=2+2(n-1)=2n；

(2)T_n=1+4+6+...+2n=2(1+2+...+n)=2n(n+1)/2=n(n+1)。

29.f(x)=1/2-1/2cos2x+cosx，

对称轴cosx=1/2，x=π/3或5π/3，

f(π/3)=1/2-1/2cos2π/3+1/2=5/4，

f(5π/3)=1/2-1/2cos10π/3+1/2=1/2-1/2(-1/2)+1/2=5/4，

f(0)=1，f(2π)=1，

最大值5/4，最小值1/2。

30.P(x,x)，PA+PB=√((x-1)^2+x^2)+√(x^2+(x-1)^2)=2√(2x^2-2x+1)，

令g(x)=2x^2-2x+1，对称轴x=1/2，

g(1/2)=1，

最小值2√1=2。

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**知识点分类总结**

1.集合与逻辑用语：集合运算（交集、并集、补集），复数概念与运算，简易逻辑。

2.函数与导数：函数性质（单调性、周期性、对称性），基本初等函数图像与性质，导数求极值。

3.数列：等差、等比数列通项与求和，递推数列。

4.三角函数：三角恒等变换，正弦定理、余弦定理，解三角形。

5.向量与立体几何：向量坐标运算、数量积，空间点、线、面位置关系。

6.概率统计：古典概型、几何概型，数列求和。

7.极限与数列求和：重要极限，数列求和方法（错位相减、裂项相消）。

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**各题型知识点详解及示例**

**一、选择题**

考察基础概念与运算，如复数模计算（例：|2+i|），三角函数周期（例：sin(2x+π/3)周期），数列性质（例：等差中项）。

**二、填空题**

侧重计算准确性，如向量数量积（例：a·b=(1,2)·(-3,4)=-3+8=5），圆方程（例：x^2+y^2-4x+6y-3=0化为(x-2)^2+(y+3)^2=16，圆心(2,-3)）。

**三、解答题（10分）**

单一知识点深入，如极限计算（例：lim_(x→0)(sinx/x)=1）。

**四、解答题（12分）**

函数性质综合，如二次函数极值（例：f(x)=x^2-4x+3开口向上，对称轴x=2，极值点x=2）。

**五、解答题（14分）**

数列与不等式结合，如递推数列通项（例