高一数学《简单线性规划》教学设计（人教B版必修）

高一数学《简单线性规划》教学设计（人教B版必修）一、课程标准解读本节课是人教B版高中数学必修课程中不等式模块的核心内容，聚焦“简单线性规划”的概念、建模与求解。依据高中数学课程标准，本节课需达成以下要求：知识层面：学生需理解线性规划的基本概念（目标函数、约束条件、可行域、最优解），掌握线性规划问题的建模方法与图解法，能运用线性规划解决简单的优化问题。能力层面：培养学生的数学建模能力（将实际问题转化为数学模型）、逻辑推理能力（可行域与最优解的推导）、数学运算能力（最优解的计算）。核心素养层面：落实数学抽象（从实际问题中抽象出目标函数与约束条件）、数学建模（构建线性规划模型）、逻辑推理（图解法的原理分析）、数学运算（最优解的求解）四大核心素养，让学生感受数学在解决实际优化问题中的应用价值。二、学情分析知识基础：高一学生已掌握二元一次不等式（组）的解法、平面直角坐标系的基本性质，具备初步的函数与方程思想，但对“优化问题”的数学表达和求解方法缺乏系统认知，尚未形成完整的建模思维。认知特点：学生好奇心强，善于通过直观图形理解抽象概念，但抽象思维和逻辑推理能力仍处于发展阶段，对多约束条件下的变量关系分析存在困难，容易混淆“可行域”与“最优解”的逻辑关联。学习困难：①难以将实际问题中的文字描述转化为规范的数学表达式（目标函数与约束条件）；②对可行域的几何意义理解不透彻，无法准确绘制约束条件对应的平面区域；③运用图解法时，难以通过目标函数的平移确定最优解的位置。三、教学目标1.知识与技能（1）识记线性规划的核心概念（目标函数、约束条件、可行域、最优解），理解其几何意义。（2）掌握线性规划模型的建立步骤，能写出目标函数的一般形式z=ax+by（a,b为常数，x,y为决策变量）和约束条件的一般形式Aix+Biy+Ci≥0（或（3）熟练运用图解法求解二元线性规划问题，能通过平面图形确定可行域，并找到目标函数的最优解。2.过程与方法（1）通过实际案例分析，经历“实际问题→抽象概括→建立模型→求解验证”的完整过程，培养数学建模能力。（2）通过图解法的探究，体会“数形结合”的数学思想，提升逻辑推理与直观想象能力。（3）在小组合作中，学会沟通协作，共同解决复杂的线性规划问题，培养团队协作能力。3.情感态度与价值观（1）认识数学在资源分配、生产调度等实际领域的应用价值，激发对数学学习的兴趣。（2）在解决问题的过程中，培养严谨求实的科学态度和面对困难不放弃的探索精神。（3）体会团队合作的重要性，学会尊重他人观点，提升沟通与表达能力。4.核心素养（1）数学抽象：从实际问题中抽象出决策变量、目标函数和约束条件，形成线性规划的数学模型。（2）数学建模：将实际优化问题转化为规范的线性规划模型，并通过求解模型解决实际问题。（3）逻辑推理：通过约束条件推导可行域的形状，通过目标函数的平移推导最优解的位置，培养逻辑推理能力。（4）数学运算：准确计算可行域顶点坐标，代入目标函数求解最优值，提升数学运算的准确性。四、教学重点与难点1.教学重点（1）线性规划的核心概念（目标函数、约束条件、可行域、最优解）的理解。（2）线性规划模型的建立（决策变量设定、目标函数构建、约束条件转化）。（3）图解法求解二元线性规划问题的步骤（画可行域、平移目标函数、找最优解）。2.教学难点（1）实际问题转化为线性规划模型（如何将文字描述的约束条件准确转化为数学不等式）。（2）可行域的准确绘制（尤其是多约束条件下平面区域的交集判断）。（3）最优解的确定（目标函数平移方向与最优解的对应关系，含边界最优解与整数最优解的初步认知）。五、教学准备类别具体内容多媒体课件包含概念讲解、公式推导动画、图解法步骤演示图表、实际案例数据、练习题库。教具线性规划可行域实物模型（平面直角坐标系内的多边形区域模型）、直尺、圆规。实验器材线性规划模拟软件（如GeoGebra），用于动态演示可行域与目标函数的平移过程。文本资料任务单（含案例分析、建模步骤、练习题）、评价表（含概念理解、建模能力、求解准确性评分项）。学习用具坐标纸、铅笔、橡皮、计算器（用于顶点坐标与目标函数值计算）。教学环境小组式座位排列（4人一组），黑板划分“概念区”“公式区”“图解区”“例题区”。六、教学过程（共45分钟）（一）导入环节（5分钟）1.情境创设某农场拥有可种植面积约1000平方米（折合1.5亩）的土地，计划种植小麦和玉米两种作物。已知：小麦每亩（≈666.7平方米）产量500公斤，种植成本1000元；玉米每亩产量800公斤，种植成本1500元；农场现有总种植预算2000元，且要求玉米种植面积不超过小麦种植面积的2倍。请问：如何分配土地种植面积，才能使作物总产量最大？2.认知冲突引导学生思考：若只种小麦或只种玉米，总产量分别是多少？（计算：只种小麦：1.5×500=750公斤；只种玉米：1.5×800=1200公斤，但玉米种植成本1.5×1500=2250元>2000元，超出预算）。显然单一种植无法满足“预算约束”与“产量最大化”的双重需求，引出“多约束下的优化问题”。3.引出课题这类问题需要通过“线性规划”这一数学工具解决。本节课我们将学习《简单线性规划》，掌握其建模与求解方法，解决此类实际优化问题。（二）新授环节（25分钟）任务一：梳理线性规划核心概念（8分钟）教师活动：（1）结合导入案例，抽象出线性规划的三大核心要素：决策变量：设x为小麦种植亩数，y为玉米种植亩数（x≥0，y≥0）；目标函数：总产量最大化，即z=500x+800y（z为总产量，单位：公斤）；约束条件：x+y≤1.51000x+1500y≤2000（2）给出通用定义：线性规划：在一组线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值的问题；可行域：满足所有约束条件的决策变量xy构成的平面区域（如图1）最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行域内的点。（3）展示图1：线性规划可行域示意图（平面直角坐标系内，由约束直线x+y=1.5、1000x+1500y=2000、y=2x、x=0、y=0围成的多边形区域，标注可行域D，顶点分别为O00、A1.50、B学生活动：（1）结合案例理解决策变量、目标函数、约束条件的定义；（2）观察图1，识别可行域的形状与顶点；（3）小组讨论：可行域为什么是封闭的多边形？顶点在求解中有什么作用？即时评价：能准确说出决策变量、目标函数、约束条件的定义；能指出图1中可行域的顶点坐标。任务二：线性规划模型的建立步骤（7分钟）教师活动：（1）总结建模“四步法”：①设：设定决策变量（明确变量含义与取值范围）；②列：列出约束条件（将实际限制转化为线性不等式/等式）；③定：确定目标函数（明确最大化/最小化目标，转化为线性表达式）；④写：写出完整模型（目标函数+约束条件）。（2）例题演示：以“工厂生产计划”为例，完整演示建模过程：某工厂生产A、B两种产品，A产品每单位利润100元，B产品每单位利润200元；生产A需2小时机器时间、3小时人工时间，生产B需1小时机器时间、2小时人工时间；工厂每天机器时间上限8小时，人工时间上限12小时。建立最大化利润的线性规划模型。（3）推导模型：\begin{cases}\text{max}z=100x+200y\\2x+y\leq8\\3x+2y\leq12\\x\geq0,y\geq0\end{cases}（x为A产品产量，y为B产品产量）。学生活动：（1）跟随教师学习建模四步法；（2）独立完成导入案例的完整建模（对照教师给出的约束条件修正）；（3）小组交流建模过程中遇到的问题（如单位统一、约束条件遗漏等）。即时评价：能按“四步法”完成简单实际问题的建模；模型中决策变量定义清晰，约束条件无遗漏、无错误。任务三：图解法求解线性规划问题（10分钟）教师活动：（1）讲解图解法“三步法”：①画可行域：在平面直角坐标系中，画出每个约束条件对应的直线，确定每个约束条件对应的区域，取交集得可行域；②平移目标函数：将目标函数z=ax+by变形为y=−abx+zb（b≠0），其中zb为直线在y轴上的截距，截距与z同号时，截距最大（小）对应z③找最优解：平移直线y=−abx，观察其与可行域的最后一个交点，该交点即为最优解，代入目标函数得最（2）以“工厂生产计划”模型为例，演示图解过程：画可行域：如图2，约束直线2x+y=8（与x轴交于(4,0)，y轴交于(0,8)）、3x+2y=12（与x轴交于(4,0)，y轴交于(0,6)），可行域为四边形O00、A40、B40（两直线交点）、C06？修正：联立2x+y=8与3x+2y=12，解得x=4，y=0？重新计算：联立方程2x+y=8→y=8−2x，代入3x+2y=12得3x+28−2x=12→3x+16−4x=12→x=4，y=0，可行域为O00、A40、C平移目标函数：z=100x+200y变形为y=−12x+z200，斜找最优解：平移直线y=−12x，当直线过C06时，截距最大（3）强调：可行域为凸多边形时，最优解一定在可行域的顶点上，因此可通过计算所有顶点的目标函数值，对比得出最优解。学生活动：（1）跟随教师学习图解法步骤，在坐标纸上绘制图2；（2）独立用图解法求解导入案例的线性规划问题，计算可行域顶点的目标函数值；（3）小组内核对答案，讨论“为什么最优解在顶点上”。即时评价：能准确绘制可行域；能通过平移目标函数或计算顶点函数值找到最优解；能说出图解法的核心原理（数形结合）。（三）巩固训练（10分钟）1.基础巩固层（4分钟）练习1：建立并求解下列线性规划模型：某工厂生产A、B两种产品，A每单位利润50元，B每单位利润80元；生产A需2小时机器时间、3小时人工时间，生产B需1小时机器时间、2小时人工时间；每天机器时间8小时，人工时间10小时。求最大化利润。（模型：\begin{cases}\text{max}z=50x+80y\\2x+y\leq8\\3x+2y\leq10\\x\geq0,y\geq0\end{cases}；最优解：x=2，y=2，z_{\text{max}}=260元）2.综合应用层（4分钟）练习2：某餐厅提供A、B两种菜品，A每份利润10元，B每份利润15元；制作A需1小时厨师时间、1小时服务员时间，制作B需0.5小时厨师时间、1小时服务员时间；每天厨师时间6小时，服务员时间8小时，且A至少提供20份、B至少提供15份。求最大化利润。（模型：\begin{cases}\text{max}z=10x+15y\\x+0.5y\leq6\\x+y\leq8\\x\geq20？修正：数据调整为“每天厨师时间60小时，服务员时间80小时”，模型：(\begin{cases}\text{max}z=10x+15y\\x+0.5y\leq60\\x+y\leq80\\x\geq20\\y\geq15\\x\geq0,y\geq0\end{cases}；最优解：x=20，y=60，z_{\text{max}}=1100元）3.拓展挑战层（2分钟）练习3：设计一个“校园绿植种植规划”线性规划问题（包含2个决策变量、3个约束条件），并写出模型（不求解）。（四）课堂小结（3分钟）知识梳理：回顾线性规划的核心概念（决策变量、目标函数、约束条件、可行域、最优解）、建模四步法、图解法三步法。方法提炼：强调“数形结合”“建模思想”在解决优化问题中的作用，总结“实际问题→数学模型→数学解→实际解”的逻辑链条。作业布置：必做：完成基础巩固层与综合应用层练习的详细求解过程（含可行域绘制）；选做：完成拓展挑战层练习，并用GeoGebra软件模拟可行域与最优解。七、作业设计1.基础性作业（1520分钟）（1）核心知识点：建模与图解法。（2）作业内容：求解下列问题：某商店销售甲、乙两种商品，甲每件进价10元，售价15元；乙每件进价12元，售价18元；商店每天进货资金不超过300元，进货数量不超过30件。求每天的最大利润。（3）要求：写出完整建模过程，绘制可行域，标注最优解，计算最优利润。2.拓展性作业（30分钟）（1）核心知识点：线性规划的实际应用。（2）作业内容：调查所在社区的一个优化问题（如共享单车停放点规划、社区活动场地分配等），收集相关数据（如场地面积、使用需求、约束条件等），建立线性规划模型，并说明模型的实际意义。（3）要求：数据真实，模型规范，附200字左右的问题分析说明。3.探究性作业（自主安排时间）（1）核心知识点：线性规划的求解方法拓展。（2）作业内容：查阅资料，了解“单纯形法”的基本原理，对比图解法与单纯形法的适用场景，撰写一份500字左右的探究报告。（3）要求：逻辑清晰，体现自主探究过程，可附简单的方法对比表。八、知识清单及拓展1.核心概念与公式（1）目标函数：z=ax+by（a,b为常数，x,y为决策变量），分为最大化（\text{max}z）和最小化（\text{min}z）两类。（2）约束条件：Aix+Biy+Ci≥0（或≤0、=0），x≥0，y≥0（非负约束，实（3）线性规划标准形式：[\begin{cases}...xt{max（或min）}z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n\\...11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\...21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\...\\...m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\\...,x_2,...,x_n\geq0\end{cases}]（其中bi≥0，不等式约束可通过引入松弛变量/剩余变量转化为等式约束（4）可行域：二元线性规划的可行域为平面直角坐标系内的凸多边形（特殊情况下为线段、射线或空集）。（5）最优解性质：凸多边形可行域的最优解必在顶点上（若存在最优解）。2.求解方法（1）图解法：适用于二元线性规划问题，核心是“画域→平移→找交点”。（2）单纯形法：适用于多元线性规划问题，通过迭代计算可行域顶点的目标函数值，找到最优解。（3）软件求解：GeoGebra、Lingo、Excel规划求解等工具，可快速求解复杂线性规划问题。3.应用领域资源分配（人力、物力、财力分配）、生产计划（产品产量规划）、运输调度（物资运输路线与数量规划）、经济决策（投资组合优化）、校园管理（场地规划、课程安排）等。4.拓展延伸（1）整数线性规划：决策变量需取整数的线性规划问题（如产品产量、人数等）。（2）非线性规划：目标函数或约束条件为非线性的优化问题。（3）对偶线性规划：原线性规划的对偶问题，可用于验证原问题解的最优性，简化复杂问题的求解。九、教学反思1.教学目标达成情况大部分学生能掌握线性规划的核心概念和建模四步法，能运用图解法求解简单二元线性规划问题，达成了知识与技能目标。但在综合应用层练习中，部分学生仍存在“约束条件转化错误”“可行域绘制不准确”的问题，尤其是含“至少”“不超过”等关键词的约束条件转化，需在后续教学中加强专项训练。核心素养方面，学生的数学建模与逻辑推理能力得到初