2025北京丰台十二中高三（上）开学考数学试题含答案

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.4.设0<a<b，则下列选项中不正确的是()D.a22 6.将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与函数g(x)=2x的图象关于原点对称，则8.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：A.13hB.23hC.33hD.34h“f(x)在[0,2]上单调递减”的()A.充分而不必要条件B.必要的前n项和（n=1,2,3,则下列结论中正确的是()B.存在n011.抛物线y2=4x的准线方程为.13.若对任意的实数x，cos=Asin恒成立，则满足条件的一组A，θ的值为①使得f(x)+f(−x)=sinx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；②使得f(x)−f(−x)=x3恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；③存在在R上单调递减的函数f(x)，使得f(x)+f(x+1)=x3恒成立；④存在函数f(x)和实数a使得f(x+a)+f(x)=sinx恒成立，且a有无穷多个.（1）求a；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积.解答计分.（1）若F为AC的中点，求证：BF//平面AED；（2）若ABC为等边三角形，求平面ABC与平面AED夹角的余弦值.18.某公司为了解A，B两个地区用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取400名用户，从B地区随机B地区20,40)40,60)60,80)80,100]用频率估计概率.（1）对A地区所抽取的400名用户按评分区间20,40)，40,60)，60,80)，80,100]进行分层随机（2）从A，B两个地区各随机抽取1名用户，设X为这两人中评分不低于80分的人数，求至少有1名用（3）若A地区用户对该公司产品的评分的平均值为μ1，B地区用户对该公司产品的评分的平均值为μ2，两个地区的所有用户对该公司产品的评分的平均值为μ0，试比较μ0和的大小.（结论不要求证（2）设O为原点，直线l:y=m，动点P在椭圆E上，过点O作OP的垂线交直线l于点Q，点O到直线20.已知函数=xlnx−的导数为g(x)=f,(x).（3）若函数f(x)有两个极值点，求a的取值范围.im2mi2ms<t，求证：as>at；（3）给定正整数s，t，若各项互不相同的有穷数列{an}存在s+1项递增子列或t+1项递减子列，求数列n项数λ的最小值.【分析】根据集合的补集运算，即可求得答案.2.【答案】D【分析】根据复数的除法运算即可求解.【分析】根据离心率及a,b,c的关系可求得b=a，进而求解即可.4.【答案】C2226.【答案】C【分析】利用函数关于原点对称与函数图象平移变换求出函数f(x)的解析式，代入x=−2计算可得出f(−2)的值.【详解】函数g(x)=2x的图象关于原点对称的函数的解析式为y=−2−x，故选：C【分析】利用辅助角公式化简函数，由正弦函数的图像的性质及已知条件得到函数对称轴，即可求得①的最小值.【分析】根据题设条件可得ek1(9,(9, tek t(9,(9,【分析】根据题设，结合函数单调性的定义、充分、必要条件的定义求解即可.任取x1,x22，由于x1若f(x)在[0,2]上单调递减，取f(x)=−x，满足f(x)在[0,2]上单调递减，对于C，求得an=2n,Sn=n(n+1)，易得S4>b4即可判断；对于D，根据题意，n≥5时，可证得bnnnn−24n→{l→{l224,解得{,解得 44n−132nnn−24nn4【分析】根据抛物线C1方程求出准线方程.【分析】由二项式定理即可得到答案.13.【答案】①.1②.τ（答案不唯一）【分析】应用诱导公式计算求解即可.故答案为：1；τ（答案不唯一）.【分析】建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法即可求解.【详解】由已知，以B为坐标原点，以BC,BA,BB1所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，-- f(x)在R上为奇函数，即可判断正误；对于②,令f(x)=为偶函数，即可判断正误；对于③,由{可得f(x+2)>f(x),从而判断正误；对于④,令f,a=2kπ【详解】对于①,由题可得，所以2f=0,则f在R上为奇对于②,令f=x3可得：g为偶函数，偶函数有无穷多个，则使得f(x)−f(−x)=x3恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个，故②正确；>0,则f(x+2)>f(x),这与函数f(x)在R上单调递减矛盾，所以③不正确；对于④,令f(x)=,a=2kπ(k∈Z),则f(x+a)==,满足f(x+a)+f(x)=sinx恒成立，所以存在函数f(x)和实数a使得f(x+a)+f(x)=sinx恒成立，且a有无穷多个，故④正确； （2）若选择条件①,解法1：利用正弦定理求sinB即可判断，解法2：利用余弦定理得c2−4c+9=0，利若选择条件②,利用同角三角函数平方关系先求cosB，利用两角和的正弦公式得sinC，再利用正弦定理若选择条件③,利用余弦定理即可求c，进而得b，再由三角形的面积公式即可求解. 所以cosB=故sinC=sin=sin=sin60ocosB+cos60osinB=22（2）法一：延长CB，DE交于H，连接AH，由此作出二面角D−AH−C的平面角上DAC.并证明，再求上DAC的余弦值即可.法二：先证得FB,FC,FG两两垂直，以F为原点建立空间直角坐标系，利用向量法计算二面角的余弦值取AD中点G，连接GE，GF，则GF为ACD的中位线.:GF//CD，FG=2又'.'BE//CD:BE//FG且BE=FG=2.:四边形BFGE为平行四边形.:BF//EG又'.'BF丈平面AED，EG平面AED:BF∥平面AED.法一：延长CB，DE交于H，连接AHABC是等边三角形，F为AC的中点,:BF丄AC1又'.'BE//CD且.:BE为HCD的中位线,B为HC的中点又'.'F为AC的中点，:BF为AHC的中位线，:BF//AH，:AH丄AC.∵平面ABC丄平面ACD，平面ABC平面ACD=AC，AH平面ABC,:AH丄平面ACD.AD平面ACD，:AH丄AD.因此，二面角D−AH−C的平面角为上DAC.5因此，平面ABC与平面AED夹角的余弦值为.法二：∵平面ABC丄平面ACD，平面ABC平面ACD=AC，CCD平面ABC.'.'FG//CD:FG丄平面ABC.:FG丄BF，FG丄FC又ABC等边三角形，F为AC的中点:BF丄FC所以FB,FC,FG两两垂直，以F为原点，如图建立空间直角坐标系.所以A(0,-,0)E(,0,2)设n=(x,y,z)为平面ADE的一个法向量，设m=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量设平面ABC与平面AED夹角为θ,cosθ=3因此，平面ABC与平面AED夹角的余弦值为.，μμμ222 0（2）法1：设点P(x0,y0)，Q(t,m)，由P在椭圆E上及OP丄OQ得Q(−,m)，利用距离公式求得0xx+y2ym22,结合x即可求解.法2：设点P(x0,y0)，Q(t,m)，由点P在椭圆E上得x+2y=2，由向量垂直的坐标运算得x0t+y0m=0，若直PQ斜率存在，设直线PQ方程为：y−y0=利用点O到直线PQ的距离公式并化简得 22法1：设点P(x0,y0)，Q(t,m)，因为点P在椭圆E上，所以x+2y=2；22m222m2x0x0x0x0x法2：设点P(x0,y0)，Q(t,m)，因为点P在椭圆Ex若直线PQ斜率存在，即x0≠t，点O到直线PQ的距离为d：d=展开得xm2+yt2−2x0my0t=y+m2−2y0m+x+t2−2x0t，2222aaaaaaaa所以h(a)在(0,1)上单调递增，所以g()<0.x变化时，g’(x),g(x)变化如下