解析形如函数y=x^4-x^2+1的图像示意图画法步骤C2

函数y=44x⁴-114x²+87的性质及其图像示意图本文主要内容：介绍函数y=44x⁴-114x²+87的定义域、值域、单调性、奇偶性、极限和凸凹性，并通过函数的导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间。函数的定义域：根据函数的特征，函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）。函数的值域：因为y=44x⁴-114x²+87，则：44x⁴-114x²+87-y=0,对x²的二次方程有解，则：判别式△=114²-4*44(-y)≥0，即：4*44y≥4*44*87-114²，解得y≥eq\f(579,44)≈13.16故函数的值域为：[eq\f(579,44),+∞)。函数的单调性：∵y=44x⁴-114x²+87,∴eq\f(dy,dx)=4*44x³-2*114x,令eq\f(dy,dx)=0,则：4*44x³-2*114x=0,x(88x²-114)=0,即x₁=0，或者x²=eq\f(57,44),进一步求出：x₁=-eq\f(1,22)eq\r(627),x₂=0,x₃=eq\f(1,22)eq\r(627)≈1.14,则：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,22)eq\r(627)],(0,eq\f(1,22)eq\r(627))时，eq\f(dy,dx)<0,则此时函数为减函数，该区间为减区间。(2)当x∈[-eq\f(1,22)eq\r(627),0],[eq\f(1,22)eq\r(627),+∞)时，eq\f(dy,dx)>0,则此时函数为增函数，该区间为增区间,当x0=±eq\f(1,22)eq\r(627)时，y有最小值：ymin=f(±eq\f(1,22)eq\r(627))=44*(±eq\f(1,22)eq\r(627))⁴-114*(±eq\f(1,22)eq\r(627))²+87=eq\f(579,44).函数的奇偶性：∵f(x)=y=44x⁴-114x²+87,∴f(-x)=44*(-x)⁴-114*(-x)²+87=44x⁴-114x²+87=f(x).即函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称。函数的极限：eq\s(lim,x→0)44x⁴-114x²+87=87;eq\s(lim,x→-∞)44x⁴-114x²+87=+∞;eq\s(lim,x→+∞)44x⁴-114x²+87=+∞.函数的凸凹性∵eq\f(dy,dx)=176x³-228x,∴eq\f(d²y,dx²)=528x²-228,令eq\f(d²y,dx²)=0，则：x²=eq\f(19,44),即：x₁=-eq\f(1,22)eq\r(209),x₂=eq\f(1,22)eq\r(209)≈0.66;则：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,22)eq\r(209)),(eq\f(1,22)eq\r(209),+∞)时，eq\f(d²y,dx²)>0,则此时函数为凹函数，该区间为凹区间。(2)当x∈[-eq\f(1,22)eq\r(209)，eq\f(1,22)eq\r(209)]时，eq\f(d²y,dx²)<0,则此时函数为凸函数，该区间为凸区间。函数的五点图x00.660.901.141.3844x⁴08.3528.8774.31159.58114x²049.6692.34148.15217.10y8745.6923.5313.1629.48x-1.38-1.14-0.90-0.66044x⁴159.5874.3128.878.350114x²217.10148.1592.3449.660y29.4813.1623.5345.6987函数的示意图：y=44x⁴-114x²+87y(0,87)(-0.66,45.69)(0.66,45.69)(-1.38,29.48)