2025-2026学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）期末数学模拟试卷(含部分答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）期末数学模拟试卷一、选择题：共16分，每小题2分1.中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义.下列纹样中，是中心对称图形的是（）A. B.

C. D.2.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2+2绕着原点旋转180°，得到的抛物线的表达式为（）A.y=-x2+2 B.y=x2-2 C.y=x2+2 D.y=-x2-23.若x=2是关于x的一元二次方程x2+ax-a=0的一个解，则a的值为（）A.2 B.4 C.-2 D.-44.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A.a＜0 B.ac＞0 C.2a+b＞0 D.b2-4ac＜05.近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆.设新能源汽车出口量的年平均增长率为x,根据题意可列方程为（）A.31（1+x）=120.3 B.31（1+2x）=120.3

C.31（1+x）2=120.3 D.120.3（1-x）2=316.如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20cm,设圆的半径为xcm,正方形的边长为ycm,阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满足的函数关系分别是（）A.一次函数关系，一次函数关系

B.一次函数关系，二次函数关系

C.二次函数关系，二次函数关系

D.二次函数关系，一次函数关系7.定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”.例如：点P（2，4）在函数y=x2上，点Q（-2，-4）在函数y=-2x-8上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y=x2和y=-2x-8互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”.已知函数y=x2+2x和y=4x+n-2022互为“守望函数”，则n的最大值为（）A.2020 B.2022 C.2023 D.40848.在正方形ABCD中，AB=4，M是CD边上一动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值为（）A.2+2

B.2-2

C.2

D.二、填空题：共16分，每小题2分。9.写出一个一元二次方程，使它的两个根差为1：

.10.如图，AB为⊙O的直径，△BCD内接于⊙O，若∠D=40°，则∠ABC=

°.11.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，ED=4，AB=16，则直径CD的长是______．12.若点M（-3，y1），N（-1，y2），P（4，y3）在抛物线y=-x2+2x+m上，则y1，y2，y3大小顺序为______．（用“＜”号连接）13.3月14日是国际数学节.某校数学组在今年的数学节活动中策划了“解密风云”“连数成画”和“函数追击”三个挑战游戏，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个游戏，那么他们选择相同游戏的概率是

.14.如图，正五边形和正六边形有公共边AB=5cm.以点A为圆心，AB为半径画圆.则扇形ACD的面积为

.15.已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x245y0.350.353那么的值为

.16.某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）.修复每个景点所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下：景点ABCD工人数4325天数3452公园计划聘用m人，用n天的时间完成所有修复工作.

（1）若m=7，则n的最小值是

；

（2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为元

（用含a的式子表示）元.三、解答题：共58分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分，。17.解方程：x2-4x-6=0．18.已知m是方程x2-3x+1=0的一个根，求代数式（m-3）2+（m+1）（m-1）的值.19.下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：⊙O及⊙O外一点P.

求作：直线PA和直线PB，使得PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B.

作法：如图，

①连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点Q；

②以点Q为圆心，OQ的长为半径作圆，交⊙O于点A和点B；

③作直线PA和直线PB.

所以直线PA和PB就是所求作的直线.

根据小石设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接OA，OB.

∵OP是⊙Q的直径，

∴∠OAP=∠OBP=①______（②______）（填推理的依据）.

∴PA⊥OA，PB⊥OB.

∵OA，OB为⊙O的半径，

∴PA，PB是⊙O的切线（③______）（填推理的依据）.20.关于x的一元二次方程x2+（m-3）x+2-m=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程的实数根均为非负数，求m的取值范围.21.某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的红布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的两端（如图所示），由甲乙两位嘉宾分别从红布两端各选两根细绳打个结，若拿开红布，三根细绳连成一条，则分在同队；否则互为反方队员.

（1）若甲嘉宾随意打个结，他恰好将AA1和BB1连成一条的概率为______；

（2）请用画树状图或列表法，求甲，乙两位嘉宾能分在同队的概率.22.如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（3，0）和B（0，-3）两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M在抛物线上，且不与A重合，过点B作x轴的平行线交直线AM于点N.若点N位于点B的右侧，则点M的横坐标xM的取值范围是______.23.如图，AB，AC分别与⊙O相切于B，C两点，BO的延长线交弦CD于点E，CE=DE，连接OD.

（1）求证：∠A=∠DOE；

（2）若OD∥AC，⊙O的半径为2，求AB的长.24.科学兴趣小组利用不同材料制作了A，B两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为x（单位：klx）时，A电池板的输出电压y1（单位：V）和B电池板的输出电压y2（单位：V）.部分数据如下：x/klx0102030405060708090100y1/V00.61.21.8m3.03.64.24.85.46.0y2/V02.43.84.65.05.35.55.75.85.66.0通过分析数据发现，可以用函数刻画y1与x,y2与x之间的关系，回答下列问题：

（1）①y1可以看作是关于x的正比例函数，则m的值为______；

②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高.请选出y2中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”；

（2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2两个函数的图象；

（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：

①当光照强度为55klx时，B电池板的输出电压与A电池板的输出电压之差约为______V（结果保留小数点后一位）；

②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于6.5V，则光照强度应至少达到______klx（结果保留整数）.25.在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y=ax2-2ax+a（a≠0）上的两点．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）当-2＜x1＜-1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；

（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1=y2，求t的取值范围．26.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α（0°＜α＜45°），AD⊥BC于D，将射线BA绕点B顺时针旋转45°得到射线BM，过点C作BM的垂线交BM于点E，交射线BA于点F，连接ED.

（1）依题意补全图形，并求∠EDC的大小（用含α的式子表示）；

（2）在DC上取点G，使DG=AD，连接EG.用等式表示线段EG，AF与CF的数量关系，并证明.27.在平面直角坐标系xOy中，将中心为T的正方形记作正方形T，对于正方形T和点P（不与O重合）给出如下定义：若正方形T的边上存在点Q，使得直线OP与以TQ为半径的⊙T相切于点P，则称点P为正方形T的“伴随切点”.

（1）如图，正方形T的顶点分别为点O，A（2，2），B（4，0），C（2，-2）.

①在点P1（2，1），P2（1，1），P3（1，-1）中，正方形T的“伴随切点”是______；

②若直线y=x+b上存在正方形T的“伴随切点”，求b的取值范围；

（2）已知点T（t,t+1），正方形T的边长为2.若存在正方形T的两个“伴随切点”M，N，使得△OMN为等边三角形，直接写出t的取值范围.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】x2-3x+2=0（答案不唯一）

10.【答案】50

11.【答案】20

12.【答案】y1＜y3＜y2

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】18

16.【答案】7，50a．

17.【答案】解：x2-4x-6=0，

x2-4x=6，

x2-4x+4=6+4，即（x-2）2=10，

∴x-2=±，

∴x1=2+，x2=2-．

18.【答案】2m2-6m+8，6．

19.【答案】90°

直径所对的圆周角是直角

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

20.【答案】证明：（1）因为一元二次方程为x2+（m-3）x+2-m=0，

所以Δ=（m-3）2-4×1×（2-m）=m2-6m+9-8+4m=m2-2m+1=（m-1）2，

又因为（m-1）2≥0，

所以该方程总有两个实数根．

解：（2）x2+（m-3）x+2-m=0，

（x-1）（x+m-2）=0，

则x1=1，x2=-m+2．

因为该方程的实数根均为非负数，

所以-m+2≥0，

解得m≤2，

故m的取值范围是：m≤2．

21.【答案】

22.【答案】y=x2-2x-3

xM＞0或xM＜-1

23.【答案】（1）证明：连接OC，

∵BO的延长线交弦CD于点E，CE=DE，

∴OE⊥CE，

∵OC=OD，

∴∠DOE=∠COE，

∵AB，AC分别与⊙O相切于B，C两点，

∴∠ABO=∠ACO=90°，

∴∠A+∠BOC=180°，

∵∠BOC+∠COE=180°，

∴∠COE=∠A，

∴∠DOE=∠A；

（2）解：过C作CH⊥AB于H，

则四边形BECH是矩形，

∴BH=CE，CH=BE，∠CHA=∠BHC=90°，

∵OD∥AC，

∴∠DOC=∠ACO=90°，

∵OC=OD=2，∠DOE=∠COE=45°，

∴∠A=45°，

∴CD=，

∴CE=DE=OE=，

∴BE=OB+OE=2+，

∴AH=CH=BE=2+，

∴AB=AH+BH=2+=2+2．

24.【答案】①2.4；②见解析；

见解析；

①2.1；②31．

25.【答案】解：（1）y=ax2-2ax+a=a（x-1）2，

∴抛物线的对称轴为x=1；

（2）∵-2＜x1＜-1，