黑龙江省龙江教育联盟2025-2026学年上学期高三1月期末数学试卷（含答案）

高三数学试卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上。2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N∣−1<A.2   B.3   C.4   D.52.已知z=2−aiA.−1   B.12C.1   D.23.记等差数列{an}的前n项和为Sn，aA.18   B.28   C.30   D.424.已知实数x，y满足x2+4yA.2   B.52C.3   D.45.已知圆台的上、下底面半径之比为1:2，母线长为5，侧面积为45πA.48π   B.60C.84π   D.6.已知α,β∈0,π2A.−2   B.−7C.−328  7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为πA.2 B.3C.2 D.68.已知函数f(x)={x2−x,A.(1−2,0) B.C.(1−22,0) 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知向量a=(3,1)，b=(−23,2)，A.a与b的夹角为23B.a在b上的投影向量为−C.c=(D.|10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l:y=k(x+1)(k>0)与C交于A.k=B.|C.∆PQFD.点Q到直线l的最小距离为111.记数列{an}的前n项和为Sn，a1=4，A.数列anB.aC.数列anD.1三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x−1)x2+13.已知函数f(x+1)+f(x−1)=f(x)+1，14.袋中有除颜色外其余完全相同的2个红球和3个白球，每次取1个球，若取出红球，则不放回；若取出白球，则放回。现连续取3次球，若袋中还有1个红球，则第2次取出红球的概率为

¯四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，(1)当A=C时，求△（2）求cosC的取值范围。16.（15分）某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(x=1记为1，2022年记为2，以此类推）满足一元非线性回归直线方程，统计数据如下：∑∑∑∑v∑4002306.21441.64注：μi=x（1）设μ和y的相关系数为r1，x和v的相关系数为r2和y=（2）根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程。附：①相关系数r=∑i二乘估计公式分别为b^=∑②参考数据：10≈3.1617.（15分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12（1）求C的方程；（2）求∆F18.（17分）在如图所示的五面体中，∆ABC是等腰直角三角形，AA1，BB1，C（1）求证：平面A1B1（2）设四棱锥A−BCC1B1的外接球球心为19.（17分）已知函数f(x)=（1）若曲线y=f(x)在x=1处的切线在y轴上的截距为（2）若f(x)有2个极值点x1，x（3）当n>1，且n∈N参考答案及解析25—26学年度期末考试

高三年级数学一、选择题1.B【解析】由A={0,1,2,3,4}，B=0,122.C【解析】z=2−ai1+2i=(2−3.A【解析】由a3+a5=8，得2a4=8，所以a44.A【解析】由题意得(x+2y)2−1=6xy=3·x5.C【解析】设圆台的上、下底面半径分别为x，2x，高为h，则π(2x+x)×5=45π，

6.B【解析】因为sin2α−2sinαcosβ+cos2β=19①，cos2α−2cosαsinβ+sin2β=13②，由①+②得，2−2(sinαcosβ7.B【解析】由题意得点P在第一象限，|F1F2|=2c，由双曲线的定义得|PF1|−|PF2|=2a，所以|PQ|+|QF1|−|PF2|=2a，因为8.D【解析】令g(x)=0，当x≥0时，k=x2−x则x>2−1；令h'(x)<0，则0<x所以h(x)min=h(2−1)=22−3，又h(0)=h(1)=0，所以当k<22−3时，方程g(x)=0无实数根；当k=22−3时，方程g(x)=0有1个根；当k∈(22−3,0]时，方程g所以当0≤k≤1时，方程g(x)=0无实数根，当k<0或k>1时，方程g(x)=0有1个根，综上可知，当k<22−3和0<k≤1时，方程g(x二、选择题9.ABD【解析】cos⟨a，b⟩=a·b|a|×|b|{x=−3y=−1，则c=(3,1)时，|c10.AC【解析】设M(x1,y1)，N得k2<1，又x1+x2=4k2−2，所以|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=4k2=16，又k>0，所以k=12，故A正确；因为x1+x2=14，x111.BCD【解析】因为(n+1)(Sn+1−Sn)=2(n+2)(Sn−Sn−1)，所以(n+1)an+1=2(n+2)an，整理得an+1n+2=2a三、填空题12.20【解析】展开式的通项公式为Tr+1=x·C6r(x2)6−13.2029【解析】由f(x+1)+f(x−1)=f(x)+1①，得f(x+2)+f(x)=f(x+1)+1②，由①+②得f(x+2)+f(x−1)=2，所以f(x+5)+f(x+2)=2，即f(x+5)=f(x−1)，所以14.2061【解析】记“第i次取出白球为事件Ai”，“第i次取出红球为事件Bi”，“连续取球3次，口袋中还有1个红球为事件C”，则P(C)=P(B1C四、解答题15.解：（1）因为A=C，a=2由sinB=3sinC由余弦定理得cosB=a2+c设∆ABC内切圆的半径为r，则1解得r=23−3（2）由题意知b=3c，acosC=由三角形的三边关系可得{c+3令f(c)=13c当x∈(2,又f(2)=63，所以f(c所以cosC的取值范围为6316.解：（1）令μ=x2，则yr1令v=lny，则y=emx因为∑i所以r2则r1<r（2）由（1）知，用模型y=令v=lny，则y=emx所以m^=∑因为x¯=3，v¯则y关于x的回归直线方程为v^=0.62x17.解：（1）因为ca=1−又4a2+解得a2=16，所以C的方程为x2（2）由c2=a2−设l：x=my+2，A由{x216由Δ=144得y1+y|y所以∆F1AB令m2+1=t，则因为函数f(t)=3t+1所以Smax=12，即18.（1）证明：由题意可知，CC1⊥AC，所以四边形AA1C因为CC1=2所以A1所以A1所以A1在∆B1BC中，可得B1C在梯形AA1B所以A1所以A1因为A1所以A1C⊥因为A1C⊂所以平面A1B1（2）解：取B1A的中点为在Rt∆AB同理可求得DC1=DC=62，则B以C为原点，直线CA，CB，CC1分别为x，y，则C(0,0,0)，B1(0,1,2)，ACA1→=(1,0,1)，设平面OA1C则{令x=1，得n设平面A1B1则{令a=1，得m设平面A1B1C与平面则cosθ=所以平面A1B1C与平面19.（1）解：因为f'(x)=x又f(1)=−32，则所求切线方程为令x=0，则y=−3（2）解：若f(x)有2个极值点x1，x2，则f'(x)=0有两个不同的正根x1，x{4−4a>0f(=1令g(a