江苏省南通市启东市2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2025-2026学年江苏省南通市启东市九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y=x2−1的顶点坐标是A.(1,0) B.(−1,0) C.(0,1) D.(0,−1)2.已知⊙O的半径为5cm.若点P在⊙O外，则点P和点O的距离可以是(

)A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm3.在下列事件中，不可能事件是(

)A.投掷一枚硬币，正面向上 B.从只有红球的袋子中摸出黄球

C.任意画一个圆，它是轴对称图形 D.射击运动员射击一次，命中靶心4.将抛物线y=3x2向下平移2个单位，得到新抛物线的解析式为(

)A.y=3(x−2)2 B.y=3x2+2 5.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C.若AB=8，OC=3，则⊙O的半径是(

)A.4

B.5

C.6

D.106.不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是(

)A.红球 B.白球 C.黑球 D.黄球7.已知正六边形的半径是4cm，则它的边心距是(

)A.2cm B.22cm C.28.如果a>0，方程ax2+bx+c=0的两个不相等的实数根x1，x2满足x1A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径.下列剪法恰好能配成一个圆锥的是(

)A. B. C. D.10.已知函数y=−12x2+x+4，当x=p时，y>4.下列结论：①0<p<2；②当x=p+1时，y>4；③当x=p−3时，y<4；④当x=p+2时，A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共6小题，共22分。11.若事件A为必然事件，则事件A发生的概率P(A)=

.12.若开口向下的抛物线顶点在原点，则这条抛物线的解析式是

(写出一个即可).13.已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线.若∠ACB=50∘，则∠BAC=

度.14.在平面直角坐标系中，若二次函数y=x2+6x+c的图象与x轴有两个公共点，则常数c的取值范围是

15.下面的三个问题中都有两个变量：

①直角三角形两条直角边的和等于8，直角三角形的面积y与一直角边长x；

②钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s.钢球滚动的距离ym与滚动的时间xs；

③用长度一定的篱笆围成矩形场地，矩形面积y与一边长x.

其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是

(填序号).

16.如图，四边形ABCD是矩形，经过点A的圆分别与边BC，CD相切于E，F两点.

(1)∠EAF=______度；

(2)若BE=22，DF=2，则图中阴影部分的面积是______.

三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知二次函数y=ax2+2ax的图象经过点(−1,1).

(1)求a的值；

(2)在所给的坐标系中画出这个函数的图象18.(本小题8分)

如图，A，B是⊙O上的两个点，C是AB的中点.求证：∠CAO=∠CBO.19.(本小题10分)

在投掷铅球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分.如图，建立平面直角坐标系xOy，铅球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足二次函数关系，记出手点与落地点的水平距离为投掷距离.小亮投掷铅球时，记录部分数据如下表.x/m12467…y/m98389…(1)求y与x的函数表达式；

(2)当铅球的投掷距离超过11m时，得分为满分.请通过计算说明小亮在此次投掷中是否得满分.20.(本小题10分)

如图，已知△ABC.

(1)尺规作图：求作⊙O，使⊙O经过A，B，C三点；

(2)仅用没有刻度的直尺在⊙O上找一点D，使∠BCD=90∘(21.(本小题10分)

为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A.羽毛球，B.乒乓球，C.花样跳绳，D.踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动.

(1)若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______；

(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率.22.(本小题12分)

如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AB延长线上一点.若______，______，则______.

(1)给出下列表述：①AB是⊙O的直径；②CD是⊙O的切线；③∠BCD=∠A.请从中选择适当表述，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明(写出一种情况即可)；

(2)在(1)的条件下，若CA=CD，⊙O的半径为4，则劣弧AC的长为______.23.(本小题12分)

为拓宽高端市场，某水产品养殖基地正规划开展特定高端水产品的专业化养殖项目.经过市场调查得到如下信息：

(1)若该水产品的总产量为5760kg，求x的值；

(2)养殖面积定为多少时，基地利润最大？最大利润是多少？

24.(本小题13分)

如图，四边形APBC内接于⊙O，延长AP，CB相交于点D，E是AC上一点，PE交AB于点F，且AB=AC，PE=CE.

(1)若∠PCD=20∘，∠D=50∘，求∠ACB的度数；

(2)求证AF=PF；

(3)若BD=PD=3，BC=6，求△AEF25.(本小题13分)

已知平面直角坐标系中，开口向上的抛物线y=mx2+nx经过点(h,k).

(1)当h=2，k=0时，求该抛物线的对称轴；

(2)当0<h<2时，k的值始终为负数，证明：2m+n≤0；

(3)在(2)的条件下，该抛物线经过(t,y1)，(3t,y2)两点，且当t>12参考答案一、选择题：1.D

2.D

3.B

4.D

5.B

6.A

7.C

8.D

9.D

10.C

二、填空题：11.1

12.y=−x2(13.40

14.c<9

15.①③

16.45；

12−3π

三、解答题：17.解：(1)∵二次函数y=ax2+2ax的图象经过点(−1,1)，

∴1=a−2a，

解得a=−1.

∴a的值为−1；

(2)由(1)可知函数为x−3−2−101y−3010−3描点、连线作图如下：

.

18.证明：连接AB，

∵C是AB的中点，

∴AC=BC.

∴AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∴∠CAB+∠OAB=∠CBA+∠OBA，

即证明：连接AB，

∵C是AB的中点，

∴AC=BC.

∴AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∴∠CAB+∠OAB=∠CBA+∠OBA，

19.解：(1)由题意得，抛物线顶点为(4,3)，

∴可设抛物线的为y=a(x−4)2+3.

又将x=1，y=94代入上式，

∴94=9a+3.

∴a=−112.

∴y=−112(x−4)2+3，即y=−112x2+23x+53.

(2)将y=0代入y=−112(x−4)2+3，

∴−112(x−4)2+3=0.

∴x1=10，x2=−2(不合题意，舍去).

∵10<11，

∴小亮在此次投掷中没有得满分．

20.解：(1)如图，分别作线段BC，AC的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，OA的长为半径画圆，

则⊙O即为所求．

(2)22.解：(1)若①②，则③．

证明：如图，连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90∘，即∠ACO+∠BCO=90∘，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD=90∘，即∠BCD+∠BCO=90∘，

∴∠ACO=∠BCD，

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∴∠BCD=∠A；

故答案为：①；②；③(答案不唯一)；

(2)∵若CA=CD，

∴∠A=∠D，

∵∠BCD=∠A，

∴∠BCD=∠D，

∴∠ABC=∠BCD+∠A=2∠BCD，

∴∠ABC=2∠A，

∵∠ACB=90∘，

∴∠ABC=60∘，

∴∠AOC=120∘，

∴AC的长为：120π×4180=83π，

故答案为：83π.

23.解：(1)由题意，得(960−40x)x=5760，

∴x1=x2=12.

答：x的值为12.

(2)设基地利润为y万元，

∴y=0.05(960−40x)x−(62+4x)

=−2x2+44x−62.

=−2(x−11)2+180.

∴当x=11时，y有最大值180.

答：养殖面积定为11亩时，基地利润最大，最大利润是180万元．

24.(1)解：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB.

∵AC=AC，

∴∠APC=∠ABC.

∴∠APC=∠ACB.

∵∠APC=∠D+∠PCD=50∘+20∘=70∘，

∴∠ACB=70∘；

(2)证明：∵PE=CE，

∴∠EPC=∠ECP.

由(1)知，∠APC=∠ACB，

∴∠APC−∠EPC=∠ACB−∠ECP.

即∠APE=∠PCD.

∵PB=PB.

∴∠PAB=∠PCD.

∴∠PAB=∠APE.

∴AF=PF.

(3)解：过点A作AH⊥BC，垂足为H.

∵AB=AC，

∴BH=CH=12BC=3.

∵BD=PD，

∴∠DBP=∠DPB.

∵四边形APBC内接于⊙O，

∴∠APB+∠ACD=180∘.

∵∠DPB+∠APB=180∘.

∴∠ACD=∠DPB.

同理，∠DAC=∠DBP.

∴∠ACD=∠DAC.

∴