土木工程科学数据分析方法课件 第六章 方差分析

1

授课内容

第六章：方差分析

试验结果的变化大体上由两类因素引起：一、随机因素二、人为控制因素科学试验的目的常常是为了判断受人们控制的因素对试验结果的影响是否

确实存在。方差分析正是通过对试验结果数据变动的分析，对上述问题做出

判断的有效工具。因为它可以将随机变动和非随机变动从混杂状态下分离开

来

，帮助发现起主导作用的变异来源，从而抓住主要矛盾或关键因素并采取有效措施。方差分析就是将多个样本的观察值作为一个整体，把观察值的总变动根据变动的来源进行分解，做出数量估计，从而发现各个观察值在总变动中所占的重要程度。授课内容■单因素试验的方差分析如果在一项试验中只有一个因素在改变称为单因素试验，如果多于一个因素在改变称为多因素试验。因素所处的状态，称为该因素的水平。在因素的每一水平下进行了独立实验，其结果是一个随机变量。假设各总体均为正态变量，且各总体的方差相等，那么这是一个检验同方差的多

个正态总体均值是否相等的问题。授课内容1

授课内容

第六章：方差分析试验次数↵AiA2.….↵A₅1↵x1↵x12↵...↵x1s2↵:n↵样本均值↵

…x2s↵

…((44xm¹↵xn2↵....Xn.s↵x₁↵x₂↵...↵x₅↵总体均值↵μ₁μz...↵μs…x22…x21■单因素试验的方差分析设因素有s个水平A₁,A₂,

…

,A₅,在水平A,(=1,2,…,s)下进行n;(n≥2)次独立实验，得到如表6.1-1的结果。表6.1-1单因素试验数据表授课内容1

授课内容

第六章：方差分析水平A;下的样本之间相互独立。单因素试验方差分析的任务是检验s个总体N(μ₁

,o²),N(u₂

,o²),…,N(μs,o²)的均值是否相等，即检验假设：

H₀

:

从=从=

·

=μ;H₁:M₃

₂,

·,μ

不全相等

(6.1-2)由此得检验问题(6.

1-2)的拒绝域为式(6.

1-25)

(6.1-25)n-S授课内容假定各个水平A;(j=1,2,…,s)下的样本

x₁

j,x2j,…xn,来自具有相同方差ø²、均值分别为μ;(j=1,2,…,S)的正态总体N(u;,o²),μ;与o²

未知，且设不同1

授课内容第六章：方差分析单因素试验的方差分析表6.1-2单因素试验方差分析表方差来源偏差平方和自由度均方差FF临界值因素影响Fa(L.6)随机误差fe=n-s总和S_T=S_E+S_Af=n-1授课内容1

授课内容

第六章：方差分析■单因素试验的方差分析SA叫做因素A的效应平方和；Sg叫做误差平方和；总偏差ST=SA+SE外加剂I外加剂IⅡ外加剂Ⅲ922131510999031307103298713291100105313291035105313501091解：本例中，试验的指标是混凝土的断裂能，因素为外加剂，假定除外加剂这一因素外，混凝土原材料的规格、试件养护的条件、试验人员的水平等其它条件都相同。这就是单因素试验。试验的目的是为了考察三种外加剂对混凝土的抗裂性有无显著的差异。外加剂因素有3个水平，即s=3;每个水平均试验5次，试验总次数为n=15。为了方便计算，首先将表中的数据都减去900后所得结果及初步计算结果列于表6.1-4。授课内容1

授课内容

第六章：方差分析单因素试验的方差分析【例6-1】为了研究几种外加剂对混凝土抗裂性能有无显著影响，进行了断裂韧

性试验，结果如表6.1-3所示。表6.1-3混凝土的断裂能(N·m-1)表6.1-4例1的计算表外加剂外加剂I外加剂I外加剂III处理后的数据22415199340713287429200153429135153450191列平均值83.6426171.4总平均值2271)偏差平方和计算SA=5×[(83.6-227)²+(426-227)²+(171.4-227)²]=5×63255.92=316279.6SE=(22-83.6)²+(3-83.6)²+(87-83.6)²+(153-83.6)²+(153-83.6)²+(415-426)²+(407-426)²+(429-426)²+(429-426)²+(450-426)²+(199-171.4)²+(132-171.4)²+(200-171.4)²+(132-171.4)²+(191-171.4)²=25852.4ST=SA+S

=316279.6+25852.4=342132授课内容1

授课内容

第六章：方差分析单因素试验的方差分析表6.1-4例1的计算表外加剂外加剂I外加剂IⅡ外加剂IⅢ处理后的数据22415199340713287429200153429135153450191列平均值83.6426171.4总平均值227授课内容1

授课内容

第六章：方差分析单因素试验的方差分析2)自由度计算

3)方差计算f₁=3-1=2fe=15-3=12f=15-1=14表6.1-4例1的计算表外加剂外加剂I外加剂IⅡ外加剂IⅢ处理后的数据22415199340713287429200153429135153450191列平均值83.6426171.4总平均值227授课内容1

授课内容

第六章：方差分析显

然

：F>F0.01,(2,12)5)结论：外加剂间有差别且影响高度显著。4)F检验查附

录F

分

布

表

可

知

，Fo.05,(2,12)=3.89,F0.01,(2,12)=6.93

单因素试验的方差分析注：*表示影响显著;**表示影响高度显著。综上所述，单因素方差分析的步骤可归纳如下：1)提出原假设和备择假设。原假设为H₀:μ₁=L₂

=

…=μ₁…=μm

,备择假设为：H₁:M₁,μ2,…,

全相等；2)设原假设的前提

成立；3)计算统计量：偏差平方和，自由度，均方差和F

值；4)根据显著性水平a,

查出，若

原假设成立；否则原假设不成立，备择假设成立。5)将计算结果及结论列成方差分析表。授课内容1

授课内容

第六章：方差分析方差来源偏差平方和自由度均方差FF

临

界

值结论因素影响(组间)316279.62158139.873.43.89,6.93**随机误差(组内)25852.4122154.37总和3421321424438单因素试验的方差分析表6.1-5例6-1的方差分析表授课内容1

授课内容

第六章：方差分析双因素试验的方差分析单因素方差分析只研究一种因素对试验结果的影响，当可能存在多个因素同时对结果产生影响时，虽然可以采用固定其他因素，只研究一种因素变

化的方法，对所有因素分别研究，但这种方法不仅效率低，而且容易遗漏最

好的组合。另一方面，若需要同时研究几种因素的影响，用单因素分析是无

法进行的，此时就需要进行多因素试验。多因素方差分析的思路和方法相同，本节介绍双因素试验方差分析。双因素试验的方差分析6.2.1双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A

、B作用于试验的指标，因素A有r

个水平A₁,A₂,

…

,A,,因素B有s

个水平B₁,B₂,…,B

。现对因素A

、B的水平的每对组合(A,B),i=1,2,…,r,j=1,2,…,s

都作t(t≥2)

次试验(称为等重复试验),得到结果如表6.2-1。表6.2-1双因素重复试验因

素B1B₂…BsA₁X111,X112,…,X11tX121,X122,…,X12t…X1s1,X1s2,…,X1stA₂X211,X212,…,X21tX221,X222,…,X22t…X2s1,X2s2,…,X2st……………ArXr11,Xr12,…,Xr1tXr21,Xr22,…,Xr2t…Xrs1,Xrs2,…,Xrst授课内容1

授课内容

第六章：方差分析双因素试验的方差分析6.2.1双因素等重复试验的方差分析xik~N(μ₁,o²),i=1,2,

…

,r,j=1,2,

…

,S,k=1,2,

…

,t,

各x独立。这里，μ,均为未知参数，授课内容1

授

课

内

容

第六章：方差分析

,

水

平A和水平B的

交水平B的效应β=μ;-

μ。进而

(6.2-5)引入记号：总平均互效应

Y;=μ₃-H-μ;+μ。令水平A的效应α₁=

H₁.-μ,双因素试验方差分析的数学模型可表示为式(6.2-5),μ、a;、β;、Y;及σ²都是未知参数。9授课内容1

授课内容

第六章：方差分析对于这一模型要检验以下三个假设：(1)H₀₁:α₁=a₂=…=a,=0;H₁₁:α₁,a₂,…,a,

不全为零；(2)H₀2:β₁=β₂=…=β₅=0;H₁2:β₁

,β₂,…,β不全为零；(3)H₀

3:Y1=Y12=…=yrs;H₁3:Y11,Y12,…,Yrs

不全为零。双因素试验的方差分析6.2.1双因素等重复试验的方差分析(6.2-5)方差来源偏差平方和自由度均方差FF临界值因素ASAfi=r-1Faxc.J)因素BSBf=s-1Fa(L、J)交互作用SA×Bfs=(r-1)(s-1)Fa(55)误差SEf。=rs(t-1)一一总和STf=rst-1授课内容1

授课内容

第六章：方差分析SA=u(7一双²

S=2220%一)“表6.2-2双因素等重复试验的方差分析表掺合料A掺合料BAi平均值B1B₂B₃A15.825.626.535.575.264.126.08A₂4.915.415.164.944.285.054.84A36.017.093.925.715.837.324.07A47.585.824.875.787.155.124.14Bi平均值5.865.694.95一授课内容1

授课内容

第六章：方差分析【例6-2】为了研究两种矿物质掺合料A

和B

对耐久性混凝土抗氯盐渗透性能的影响，在水泥混凝土中掺加不同用量的矿物质掺合料A

和B,

A

取4个不同的水平，B

各取3个不同的水平，测试水泥混凝土试件的DRCM氯离子扩散系数(单位10-¹²m²/s),得结果如表6.2-3。表6.2-3水泥混凝土试件的DRCM氯离子扩散系数双因素试验的方差分析解：本例中试验的指标是混凝土的抗氯盐渗透性能

(DRCM

氯离子扩散系数),

矿物质掺合料A和B是因素，它们分别有3个和4个水平。这是一个双因素的试验。试验

的目的在于考察在各种因素的各个水平下抗氯盐渗透性能有无显著的差异，即考查掺

合料A

和B

这两个因素对混凝土的抗氯盐渗透性能是否有显著的差异。据数据可知，因素A有r=4个水平，因素B有s=3

个水平，重复次数t=2。试验数据的总平均x=5.5。1)偏差平方和计算授课内容1

授

课

内

容

第六章：方差分析掺合料B₁掺合料B₂掺合料B₃掺合料A₁5.825.626.535.264.126.08平均值5.544.876.305方差0.15681.1250.10125掺合料A₂4.915.415.164.285.054.84平均值4.5955.235方差0.198450.06480.0512掺合料A₃6.017.093.925.837.324.07平均值5.927.2053.995方差0.01620.026450.01125掺合料A₄7.585.824.877.155.124.14平均值7.3655.474.505方差0.092450.2450.26645授课内容1

授课内容

第六章：方差分析■双因素试验的方差分析中

表6.2-4SE计算表授课内容1

授

课

内

容

第六章：方差分析SA×B=ST-SE-SA-SB=17.666682)自由度计算f₁=4-1=3,f₂=3-1=2,f₃=3×2=6,fe=4×3×(2-1)=12,f=4×3×2-1=23双因素试验的方差分析1)偏差平方和计算查F

分布表可知，

F0.05,(3,12)=3.