基本不等式+教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教学设计

课程基本信息学科数学年级高一学期秋季课题2.2基本不等式教科书书名：普通高中教科书数学必修第一册教材出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学目标1.理解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式成立的条件和等号成立的条件。2.能运用基本不等式解决简单的最值问题、比较大小问题以及证明简单的不等式问题。3.了解基本不等式的几何意义，体会数形结合思想在数学中的应用。教学内容教学重点：基本不等式的推导过程和基本应用，包括利用基本不等式求最值的条件（一正、二定、三相等）。教学难点：1.基本不等式的几何意义的理解；2.利用基本不等式解决最值问题时，如何构造“一正、二定、三相等”的条件。教学过程情境导入问题1：某商场要制作一个容积为1000m3的无盖长方体蓄水池，池底是正方形，如何设计这个蓄水池的底面边长和高，才能使所用的材料最省？问题2：用长为8m的铁丝围成一个矩形，如何围才能使矩形的面积最大？最大面积是多少？引导学生思考：这两个问题都涉及到“最值”问题，如何用数学知识来解决呢？从而引出本节课的主题——基本不等式。新知探究1.重要不等式的推导提问：对于任意实数a，b，我们知道(a-b)2≥0，当且仅当a=b时，等号成立。请同学们展开这个不等式，能得到什么结论？学生自主展开：a2-2ab+b2≥0，整理可得a2+b2≥2ab教师总结：这个不等式叫做重要不等式，对于任意实数a，b都成立，当且仅当a=b时，等号成立。2.基本不等式的推导提问：如果我们对重要不等式中的a，b加上一些限制条件，比如a>0，b>0当a>0，b>0时，我们可以用a和b分别代替上述不等式中的a和b，得到

(a)2+(b)2≥2a⋅b，

即a+b≥2ab。其中，a+b2称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。思考：能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？要证明ab≤a+b2，

只需证明2ab≤a+b，

即2ab−a−b≤0。

注意到2ab−a−b=−(a+b−2ab)=−(强调：(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.注意：一正二定三相等.3.基本不等式的几何意义利用几何画板展示：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在圆中，直径是最长的弦。构造图形：如图所示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，且AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。由于AB是直径，故∠ADB=90∘。在直角三角形ADB中，CD是斜边上的高，根据射影定理或相似三角形关系，可得△ACD∼△DCB，从而有

ACCD=CDCB⇒CD2=AC⋅CB=ab，

因此CD=ab。

总结：基本不等式的几何意义是，直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高；或者说，圆的半直径不小于圆上一点到直径的垂线段的长度。典例分析例1（1）已知x>0，求x+1x的最小值。（2）已知x<0，求x+1解：（1）因为x>0，所以所以x+当且仅当x=1（2）因为x<0，所以−x>0，所以≥2−所以≤−2所以当x<0当且仅当-x=1−x即x总结：利用基本不等式求最值的条件：一正（各项均为正数）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能够成立）。三者缺一不可。例2已知x,y都是正数，求证：

(1)如果积xy=P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2P；

(2)如果和x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值1证明：因为x>0,y>0，所以x+y2≥xy

（1）当积当且仅当x=y时等号成立，于是当x=y=P时，x+y有最小值2(2)当和x+y=S为定值时，xy所以xy≤(当且仅当x=y时等号成立。于是当x=y时，积xy有最大值14总结：①在“积为定值”时，用于放缩“和”，得到最小值；

②在“和为定值”时，用于放缩“积”，得到最大值；例3.(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x

m,ym，篱笆的长度为2x+y(1)由已知得xy=100.由x+y2≥xy，可得x+y≥2当且仅当x=y=10时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10ｍ的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40ｍ．(2)由已知得2x+y=36由xy⩽x+y2=182=9,可得因此，当这个矩形菜园是边长为9ｍ的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81ｍ2.总结：利用基本不等式解决实际问题设出未知数x，y，根据已知条件，列出关系式，然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题。（注意运用基本不等式讲究“一正二定三等”）四、课堂小结1.基本不等式及成立条件。2.基本不等式的几何意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。3.利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。4.基本不等式的应用：比较大小、求最值、