34圆周角和圆心角的关系课件北师大版数学九年级下册-1

第三章圆3.4.2圆周角和圆心角的关系北师版

九年级数学（下）导入如图，小明同学设计了一个直径测量器，两把标有刻度的尺子在点O处钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把点O靠在圆周上，两把尺子分别交圆于E，F两点，读得刻度OE＝8cm，OF＝6cm，于是她算出了圆的直径为10cm，你知道她是怎么算的吗？连接EF，因为∠FOE是90°，在Rt△EOF中，利用勾股定理可以得出EF＝10cm小明的算法表明EF就是直径，那么问题来了：为什么90°的圆周角所对的弦EF是直径？那么直径所对的圆周角又是多少度呢？思考导入探究新知探究如图，BC

是⊙O

的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？·OABC解：直径BC所对的圆周角∠BAC＝90°.【归纳】直径所对的圆周角是直角．证明：∵BC为直径，

∴∠BOC＝180°，

∴根据圆周角定理，∠A=∠BOC=90°反过来，如图，圆周角∠A=90°，弦BC

是直径吗？为什么？·OABC解：弦BC是直径.连接OC、OB，∵∠BAC＝90°，∴∠BOC＝2∠BAC＝180°.∴B、O、C三点在同一直线上.∴BC是⊙O的一条直径.注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线.【归纳】

90°的圆周角所对的弦是直径．探究新知推论

直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.∵BC为直径，∴∠BAC=90°.几何语句：∵∠BAC=90°，∴BC为直径.几何语句：归纳总结探究（1）如图，A，B，C，D

是⊙O

上的四点，AC为⊙O

的直径，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？·ODBCA解：∠BAD与∠BCD互补∵AC为直径，∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD与∠BCD互补.探究新知（2）如图，点C

的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间关系还成立吗？为什么？·ODBCA解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立连接OB，OD，则∵∠1+∠2=360°,∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD与∠BCD互补.12探究新知思考·ODBCA·ODBCA这两个四边形ABCD有什么共同的特点？探究新知·ODBCA·ODBCA四边形ABCD

的四个顶点都在⊙O

上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.探究新知·ODBCA·ODBCA我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？探究新知·ODBCA·ODBCA推论

圆内接四边形的对角互补.归纳·ODBCA·ODBCA几何语句：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）.归纳探究如图，∠DCE

是圆内接四边形ABCD

的一个外角，∠A

与∠DCE

的大小有什么关系？·ODBCAE解：∠A=∠CDE∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°.∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE.【归纳】圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．探究新知典例精讲例1如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝140°，则∠BCD等于(

)A．140°B．110°C．70°D．20°B【分析】由圆周角定理可求得∠A＝∠BOD＝70°，再根据圆内接四边形的对角互补可得∠C＝180°－∠A＝110°.例2圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数比是2∶3∶6，求四边形各内角的度数．【分析】可由圆内接四边形对角互补列方程求角的度数，由∠A，∠B，∠C的度数比是2∶3∶6，可设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝6x，再由∠A与∠C是圆内接四边形的对角，得∠A＋∠C＝180°，于是求出x，进而求出四边形各内角的度数．典例精讲解：设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝6x，∴∠A＋∠C＝8x＝180°，解得x＝22.5°，∴∠A＝45°，∠B＝67.5°，∠C＝135°，则∠D＝180°－∠B＝180°－67.5°＝112.5°，∴四边形ABCD各内角的度数分别是∠A＝45°，∠B＝67.5°，∠C＝135°，∠D＝112.5°.例2圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数比是2∶3∶6，求四边形各内角的度数．典例精讲课堂小结圆周角定理推论2推论3圆内接四边形的对角互补.直径所所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径随堂练习1.如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长.·OBCA解：∵AB为直径，

∴∠BCA=90°.

在Rt△ABC中，

∠ABC=30°，AB=10，∴.2.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？（1）（2）（3）（4）随堂练习3.在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度数之比为4∶5，求∠C的度数.·ODBCA解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°.∵∠A∶∠C=4∶5，∴.即∠C的度数为100°.随堂练习4.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度数.解：在⊙O中，∵∠BOD=80°，∴（圆周角定理）.又∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∴∠C=180°-∠A=180°-40°=140°.随堂练习5.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数.解：如图所示，连接BD.∵∠ACD=∠ABD,∠ACD=15°∴∠ABD=15°.又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.在Rt△ADB中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-15°=75°.随堂练习6.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A的度数.解：如图所示，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC=∠ABC=180°，∠1=∠2=∠A，∴∠EDC+∠CBF=180°-∠ADC+180°-∠ABC=360°-180°=180°∴∠E+∠1+∠2+∠F=180°，∴2∠A+∠E+∠F=180°.又∵∠E=40°，∠F=60°，∴2∠A=80°,∠A=40°.随堂练习7.如图，⊙O1与⊙O2都经过A,B两点，且点O2在⊙O1上.点C是上的一点（点C不与A