2025-2026年北师版高一下册数学期末考试卷及答案

2025—2026年北师版高一下册数学期末考试卷及答案（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。已知角α的终边经过点P(3,-4)，则sinα的值为（）

A.3/5B.-3/5C.4/5D.-4/5

函数f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期为（）

A.π/2B.πC.2πD.4π

在等差数列{aₙ}中，若a₂=3，a₅=9，则公差d的值为（）

A.1B.2C.3D.4

已知向量a=(2,1)，b=(1,-2)，则a·b的值为（）

A.0B.1C.2D.3

若直线l₁：2x+y-1=0与直线l₂：ax+2y+3=0平行，则a的值为（）

A.4B.-4C.1D.-1

一个几何体的三视图均为半径为1的圆，则该几何体的体积为（）

A.4π/3B.πC.2π/3D.π/3在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，A=π/3，则角B的值为（）

A.π/6B.π/4C.π/3D.2π/3

已知等比数列{aₙ}中，a₁=1，a₄=8，则该数列的前5项和S₅为（）

A.15B.31C.63D.127

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。下列函数中，是偶函数的有（）

A.f(x)=cosxB.f(x)=sinxC.f(x)=x²cosxD.f(x)=xsinx

关于向量a、b、c，下列说法正确的有（）

A.若a·b=a·c，则b=cB.若a∥b，b∥c，则a∥c（b≠0）

C.|a+b|≤|a|+|b|D.(a·b)c=a(b·c)

下列说法正确的有（）

A.垂直于同一条直线的两条直线平行

B.平行于同一个平面的两条直线平行

C.垂直于同一个平面的两条直线平行

D.平行于同一条直线的两条直线平行

在△ABC中，下列条件能判断△ABC为直角三角形的有（）

A.A+B=CB.a²+b²=c²C.sinA=cosBD.a=2b，c=√5b

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。计算：tan(π/4)+cos(π/2)=________。已知直线l过点(1,2)，且斜率为-1，则直线l的方程为________。在正四面体ABCD中，棱长为2，则异面直线AB与CD所成的角为________。已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=aₙ+2ⁿ，则a₅=________。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（10分）

已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，求cosα和tanα的值。

（12分）

已知数列{aₙ}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12。

（1）求数列{aₙ}的通项公式；

（2）求数列{aₙ}的前n项和Sₙ，并求S₁₀的值。

（12分）

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=3。

（1）求异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值；

（2）求证：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁。

（注：图略，可根据长方体性质作答）

（12分）

已知直线l₁：x-y+1=0，l₂：2x+y-4=0，两直线相交于点P。

（1）求点P的坐标；

（2）求过点P且与直线l₃：3x+4y-5=0垂直的直线方程。

（12分）

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足bcosA=(2c-a)cosB。

（1）求角B的大小；

（2）若b=√3，△ABC的面积为3√3/4，求a+c的值。

（12分）

已知等比数列{aₙ}的公比q>0，且a₂=1，a₄=a₃+2a₂。

（1）求数列{aₙ}的通项公式；

（2）设bₙ=n·aₙ，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）1.D2.B3.B4.A5.A6.A7.A8.B二、多项选择题（每小题5分，共20分）9.ACD10.BC11.CD12.ABD三、填空题（每小题5分，共20分）13.114.x+y-3=015.90°（或π/2）16.31四、解答题（共70分）17.（10分）解：∵sin²α+cos²α=1，sinα=3/5，α∈(π/2,π)，

∴cosα=-√(1-sin²α)=-√(1-9/25)=-4/5，

tanα=sinα/cosα=(3/5)/(-4/5)=-3/4。

综上，cosα=-4/5，tanα=-3/4。18.（12分）解：（1）设等差数列{aₙ}的公差为d，

由a₁+a₂+a₃=12，得3a₁+3d=12，

又a₁=2，代入得3×2+3d=12，解得d=2，

∴通项公式aₙ=a₁+(n-1)d=2+2(n-1)=2n。

（2）前n项和Sₙ=n(a₁+aₙ)/2=n(2+2n)/2=n(n+1)，

∴S₁₀=10×11=110。19.（12分）解：（1）以D为原点，DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则A₁(1,0,3)，B(1,2,0)，A(1,0,0)，D₁(0,0,3)，

向量A₁B=(0,2,-3)，AD₁=(-1,0,3)，

设异面直线所成角为θ，则cosθ=|A₁B·AD₁|/(|A₁B|·|AD₁|)=|0×(-1)+2×0+(-3)×3|/(√(0²+2²+(-3)²)·√((-1)²+0²+3²))=|-9|/(√13·√10)=9√130/130。

（2）证明：∵长方体中，BC⊥平面A₁ABB₁，

又BC⊂平面A₁BC，

∴平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁。20.（12分）解：（1）联立l₁与l₂的方程：

{x-y+1=0

{2x+y-4=0

两式相加得3x-3=0，解得x=1，代入x-y+1=0得y=2，

∴点P的坐标为(1,2)。

（2）直线l₃的斜率为-3/4，与其垂直的直线斜率为4/3，

由点斜式得y-2=(4/3)(x-1)，整理得4x-3y+2=0，

∴所求直线方程为4x-3y+2=0。21.（12分）解：（1）由正弦定理得sinBcosA=(2sinC-sinA)cosB，

展开得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosB，

即sin(A+B)=2sinCcosB，

∵A+B=π-C，∴sin(π-C)=2sinCcosB，即sinC=2sinCcosB，

又sinC≠0，∴cosB=1/2，

∵B∈(0,π)，∴B=π/3。

（2）由△ABC的面积S=(1/2)acsinB=3√3/4，

代入B=π/3，得(1/2)ac×√3/2=3√3/4，解得ac=3，

由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，代入b=√3，得3=a²+c²-2×3×1/2，

即a²+c²=6，∴(a+c)²=a²+c²+2ac=6+6=12，

∴a+c=2√3（边长为正，舍去负根）。22.（12分）解：（1）由a₄=a₃+2a₂，得a₂q²=a₂q+2a₂，

∵a₂≠0，两边除以a₂得q²-q-2=0，

解得q=2或q=-1，又q>0，∴q=2，

∵a₂=a₁q=1，∴a₁=1/2，

∴通项公式aₙ=a₁qⁿ⁻¹=(1/2)×2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻²。

（2）bₙ=n·aₙ=n×2ⁿ⁻²，

前n项和Tₙ=1×2⁻¹+2×2⁰+3×2¹+...+n×2ⁿ⁻²，①

2Tₙ=1×2⁰+2×2¹+3×2²