期末复习压轴真题必刷01 实数和勾股定理（压轴30题5种题型训练）解析版

压轴真题必刷01：实数和勾股定理【题型归纳】题型一：实数新定义问题1．（重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）对于两个实数x，y，我们定义：，有下列说法：①；②；③若，则．其中说法正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据定义新运算的规则，逐一进行计算，进而得出结论即可．【详解】解：∵，∴，故①错误；∵，∴；故②正确；∵，∴，∴，∴，即：，无法得到；故③错误；综上：正确的有1个；故选B．【点睛】本题考查定义新运算，有理数的加减运算，分式的运算．理解并掌握定义新运算的规则，是解题的关键．2．（重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）对于各个数位均不为0的三位数，将的各个数位中任取两个数位构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，这六个两位数叫做的“强化数”，例如：，则的强化数字是25、52、23、32、53、35，的所有“强化数”之和与11的商记为，若，；若和是两个三位数，它们都有“强化数”，，（，、、均为整数），若的值能被5整除，记，则的最小值为．【答案】12/【分析】根据题目所给定义即可求出的结果；根据题意可知三位数是“强化数”，则，可得，由，，，得，根据的值能被5整除，可知，即，要求的最小值，则只需满足题意的取最小（越小），取最大（越大），再根据从大到小逐一判断是否符合题意即可求解．【详解】解：，则的强化数字是32、23、31、13、21、12，则，设三位数是“强化数”，则，∵，（，、、均为整数），都有“强化数”，∴，∵，，，∴，，则又∵的值能被5整除，∴，即要求的最小值，则只需满足题意的取最小（越小），取最大（越大），则当时，此时不符合题意；当时，此时不符合题意；当时，此时不符合题意；当时，此时，即当越小，则最小，则，，不符合题意；，，不符合题意；，，不符合题意；，，符合题意；即：最小为，最大为，∴的最小值为．【点睛】题主要考查了新定义，不定方程的应用，关键是正确理解新定义和求解不定方程．3．（重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如果一个四位整数P能分解成两个两位数的乘积，且这两个两位数各数位上的数字之和相等，把这样的整数P称为“可爱数”，把这样的分解称为“可爱分解”，即，，（且a，b，c，d均为整数）．若恰好为完全平方数，且A是5的倍数，则满足条件的最大“可爱数”为．【答案】5625【分析】由题意知，，，，，且为正整数，则的值为0或5，，即，由且a，b，c，d均为整数，可得，，可知且是3的整数倍，则的最大值为15，，即，①当时，，，根据，确定适当的值，然后求；②当时，，根据，确定适当的值，然后求；比较大小，然后作答即可．【详解】解：由题意知，，，，，且为正整数，∴的值为0或5，，即，∵且a，b，c，d均为整数，∴，，∴且是3的整数倍，∴的最大值为15，∴，即，①当时，，，当时，，，；当时，，舍去；当时，，舍去；②当时，，当时，，舍去；当时，，舍去，当时，，，；当时，，舍去；当时，，舍去；∵，∴满足条件的最大“可爱数”为5625．【点睛】本题考查了新定义的运算．解题的关键在于根据题意确定等量关系．4．（重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期末）对于四位数正整数，若满足，则把M叫做“友好数”．将“友好数”M的个位字去掉得到的三位数记为s，将千位数字去掉得到的三位数记为t，并规定．则；若四位正整数（，，，x，y，m，n为整数）是“友好数”，且除以5余1，则满足条件的N的最大值为．【答案】【分析】根据题意知的s为，t为，，根据即可得；先根据除以5余1知四位正整数N的个位是6，再结合，那么，N是“友好数”，所以，即，因为，，则，，因为要求满足条件的N的最大值，所以，即可知道满足条件的N的最大值．【详解】解：根据题意知的s为，t为，，根据即可得；∵除以5余1知四位正整数N的个位是6，再结合，那么，即，因为N是“友好数”，所以，即，因为，，则，，因为要求满足条件的N的最大值，，所以，即可知道满足条件的N的最大值，把，，，代入中，即此时N的最大值为，故答案为：，．【点睛】本题考查的是实数的新定义运算内容，熟练掌握新定义运算法则是解题的关键．5．（四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例：，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则．【答案】33或127/127或33【分析】根据“神奇区间”的定义，还有二元一次方程正整数解这两个条件，寻找符合的情况．【详解】解：“神奇区间”为，、为连续正整数，，，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，符合条件的，有，，；，，．，，时，，，，，，，时，，，，，故的值为或，故答案为：或．【点睛】本题考查新定义，估算无理数大小，二元一次方程整数解相关知识，综合考查学生分析、计算能力．6．（湖南永州·八年级统考期末）某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中，当时．表示非负实数a的整数部分，例如．按此方案，第2021棵树种植在点处，则．【答案】674【分析】首先根据题目条件分析的取值情况，探究的规律，继而利用规律求解．【详解】解：由题意可得：当，7，10，时，，当等于其余大于等于2的正整数时，均等于0，∴，，，．且，∴，故答案为：674．【点睛】本题主要考查了数字之间的关系，解题的关键是读懂题目信息，列举部分数字，找到的规律，利用规律进行求解．题型二：二次根式的化简求值问题7．（浙江·八年级阶段练习）已知，则代数式的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可．【详解】解：∵，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．8．（重庆开州·八年级统考期末）二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以；②若a是的小数部分，则的值为；③比较两个二次根式的大小：；④计算；⑤若，，且，则整数．以上结论正确的是（

）A．①③④ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③⑤【答案】D【分析】①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化；②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简；③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小；④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值；⑤与y可以利用分母有理化化简，可得出x与y互为倒数，故，然后观察方程特点，求得n的值．【详解】解：，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①对；∵a是的小数部分，∴，∴，故②错误；∵，，又∵，，∴，∴，∴，∴，故③对；∵，故④错误；⑤∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，，，，，∵，∴，即，解得.故⑤正确．故选：D．【点睛】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化,解决二次根式的化简、比较大小和运算的问题．9．（河南洛阳·九年级校考阶段练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【详解】∴a的小数部分为，∴b的小数部分为，∴，故选：B．【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．10．（湖南常德·八年级统考期末）观察下列分母有理，……从计算结果中找出规律．【答案】2022【分析】先分母有理化，然后合并同类二次根式，最后用平方差公式计算．【详解】解：原式．故答案为：2022．【点睛】本题主要考查了规律型问题——二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，探究规律，合并同类二次根式，平方差公式，二次根式的乘法法则是解决问题的关键．11．（广西南宁·八年级南宁二中校联考期末）已知：；；；……按此规律，请表示出第2021个式子．【答案】【详解】∵第1个数：第2个数：第3个数：第4个数：∴第n个数当n=2021时，故答案为.【点睛】本题考查的是找规律，找出式子与序号的关系是解决本题的关键.12．（北京大兴·八年级统考期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”．下面是小单的深究过程：①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则．②观察、归纳，得出猜想：当时，．③证明猜想：当时，∵，∴，∴．当且仅当时，．请你利用小华发现的规律解决以下问题：(1)当时，的最小值为(2)当时，的最小值为；(3)当时，求的最大值．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）直接由题中规律即可完成；（2）当时，，则可由题中规律完成；（3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最大值，则最后可求得原式的最大值．【详解】（1）解：当时，均为正数，由题中规律得：，当且仅当，即时，，∴当x＞0时，的最小值为2；故答案为：2；（2）解：当时，，由题中规律得：，当且仅当，即时，，∴当x＜0时，的最小值为；故答案为：；（3）解：∵，∴当时，，∴，当且仅当，即时，，∵，∴，∴，∴，当且仅当时，的最大值为，∴当时，的最大值为．【点睛】本题考查了求代数式的最大值或最小值问题，读懂题目中的规律是解题的关键，另外特别注意规律中两个字母均为正数，在使用时要注意．题型三：勾股定理在几何在的应用13．（河南南阳·八年级统考期末）如图，在中，．顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形．将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作轴于，在中，，，可得，根据四边形是正方形以及等腰直角三角形的性质可得，将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，每旋转8次回到最初位置，从而得到第98次旋转结束时，相当于将逆时针旋转了，作轴于，通过证明，即可得到答案．【详解】解：如图，过点作轴于，，顶点的坐标为，，在中，，，，，，四边形是正方形，，，，是等腰直角三角形，，，，，，将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，每旋转8次回到最初位置，，第98次旋转结束时，相当于将逆时针旋转了，如图所示，，则，，作轴于，则，，，，，，，，第98次旋转结束时，点的坐标为，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、坐标与旋转规律问题、三角形全等的判定与性质，，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质，是解题的关键．14．（辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】将沿着向左平移使与重合，得到，根据动点最值问题“将军饮马”模型，作关于的对称点，连接，此时的最小值为线段长，利用勾股定理求解即可得到答案．【详解】解：将沿着向左平移使与重合，得到，如图所示：

由平移性质得到，，作关于的对称点，连接，如图所示：

由对称性得到，，由图可知，，此时，当三点共线时，有最小值，为线段长，，，在长方形中，，，由矩形性质可得，，是的中点，，与关于的对称，，在长方形中，，在中，，，，由勾股定理得到，的最小值，故选：C．【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及平移性质、对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型题型的识别及做题方法步骤是解决问题的关键．15．（江苏淮安·八年级校考期末）如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（

）

A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】由勾股定理可得，作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，根据对称可得：，得到当三点共线时，最小，再根据垂线段最短，得到时，最小，据此求解即可．【详解】解：在中，，∴作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，

∵，∴当三点共线时，最小，∵垂线段最短，∴时，最小，连接，∵关于对称，∴，∴，∵，∴，即：，∴．故选D．【点睛】本题主要考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称解决线段和最小是解题的关键．16．（吉林长春·八年级统考期末）如图，中，，，．点P从点C出发，沿折线运动，速度为2个单位长度秒．点D为的中点，连接、．点P运动时间为t秒．

(1)的长度为______．(2)当时，求线段的长．(3)数学小组在探究“当t为何值时，为等腰三角形”．①小彤推断：当点P在边上运动时，为直角，故若为等腰三角形，只能是．请你按照她的思路，求出此时的t值．②小园推断：当点P在边上运动时，有可能等于．请你延续她的思路，直接写出此时的t值．③小南猜想：当点P在边上运动时，不可能出现的情况．请你证明她的猜想是正确的．【答案】(1)10(2)10(3)①2；②4.8；③见解析【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）根据求出点P的位置，从而得解；（3）①按照小彤的思路，根据列出方程求解即可；②按照小彤的思路，根据列出方程求解即可；③按照小南的思路，利用垂线段最短和②中的结论可知，从而证明．【详解】（1）解：∵中，，，，∴，故答案为：10；（2）当时，路程为，又∵，，∴，∴此时点P即为点B，∴；（3）∵点D为的中点，，∴，①当点P在边上运动时，为直角，故若为等腰三角形，只能是，又依题意得到：，∴，解得：，②当点P在边上运动时，，∴，．连接，

假设等于成立，则有，∴，又∵∴，即∴，即，∴，∴，解得：，即有可能等于，此时的t值为；③由②可知点C到AB的距离为4.8，∴当点P在边上运动时，，又∵，∴，∴当点P在边上运动时，不可能出现的情况．【点睛】本题考查等边三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，正确作图和作辅助线，以及掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．（福建福州·八年级校联考期末）如图1，，，，．

(1)求的面积；(2)如图2，点M在边上，点N在边上，求的最小值；(3)如图3，点P是在边上，过点P分别作直线、直线的对称点D、E，当周长最小时，求线段的长．【答案】(1)；(2)的最小值为；(3)线段的长为．【分析】（1）作于点D，利用含30度角的直角三角形的性质求得的长，再利用三角形面积公式即可求解；（2）作点关于的对称点，连接，作交于点M，交于点N，则的最小值为的长，证明是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解；（3）利用轴对称的性质求得是等腰三角形，且顶角为定角，当取最小值时，的周长有最小值，即当时，的周长有最小值，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】（1）解：作于点D，

∵，，∴，∴的面积为；（2）解：作点关于的对称点，连接，作交于点M，交于点N，

此时，，则的最小值为的长，∵点与点关于对称，∴，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴的最小值为；（3）解：∵点D、E是点P关于直线和的对称点，∴，，，，∴，，∴是等腰三角形，且顶角为定角，∴当取最小值时，的周长有最小值，∴当时，的周长有最小值，

∵，，∴，∴，∴，∴线段的长为．【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．18．（浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在中，，的一个动点，作点关于的对称点，，交直线于点．

(1)若，，是边上的高线．①求线段的长；②当，求线段的长；(2)在的情况下，当是等腰三角形时，直接写出的度数．【答案】(1)①；②；(2)或【分析】（1）①根据题意，作出高线，利用等面积法列等式求解即可得到答案；②根据对称性，结合①中，得到即可得到；（2）根据是等腰三角形，分三种情况：①；②；③；结合条件求解即可得到答案．【详解】（1）解：①如图，过点作，

在中，，，，是边上的高线，，即，解得：；②根据题意，如图所示：

点关于对称点为，，由①知，则，；（2）如图所示：

由是等腰三角形，分三种情况：①；②；③；①当时，点关于对称点为，，在中，，'是的一个外角，，即；②当时，点关于对称点为，，在中，，是的一个外角，，即；③当时，点关于对称点为，，是的一个外角，，即（舍弃），综上所述，在的情况下，或．题型四：勾股定理的实际应用19．（山东临沂·八年级统考期末）如图，圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是cm．【答案】10【分析】过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AD和BD的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．【详解】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，AD＝×16＝8（cm），∠D＝90°，BD＝6cm，由勾股定理得：（cm）．故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出AB的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．20．（重庆·七年级校联考期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．【答案】17【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：，解得．故答案为：17．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．21．（浙江·八年级统考期末）在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索：如图1，一根长为5米的木棍斜靠在一竖直的墙上，为4米，如果木棍的顶端沿墙下滑米，底端向外移动米，下滑后的木棍记为，则与满足的等式，即关于的函数解析式为，小明利用画图软件画出了该函数图象如图2，（1）请写出图象上点的坐标（1，）（2）根据图象，当的取值范围为时，的周长大于的周长．【答案】【分析】（1）把的横坐标代入，求解点的纵坐标即可；（2）先分别求解的周长，的周长，可得：当的周长的周长时，即，再画出直线的图象，直线过点、，观察函数图象可得答案.【详解】解：（1）当时，，故点的坐标为，故答案为1；（2）由，得：，由题意得：，，则的周长，而的周长，则当的周长的周长时，即，由（1）知，当时，，当时，，则在原图象的基础上，画出直线的图象如下，直线过点、，从图象看，当时，，即的周长大于的周长，故答案为：．【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，二次根式的化简，理解图象上点的横坐标与纵坐标的含义，利用两个函数图象的交点坐标解决有关不等关系问题是解题的关键.22．（山东青岛·八年级统考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：S梯形ABCD＝，S△EBC＝，S四边形AECD＝，再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为，化简后，可得到勾股定理．【知识运用】如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为米．【知识迁移】借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝．【答案】（小试牛刀），，，；（知识运用）米；（知识迁移）【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可，四边形面积为和的面积和，求解即可；（知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小；（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小．【详解】解：（小试牛刀）由图形可得化简可得故答案为：，，，；（知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图：由题意可得：，则的最小值，即为的最小值由三角形三边关系可得：，当三点共线时∴的最小值为，米故答案为米；（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小，最小为，故答案为【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．23．（江苏苏州·苏州市立达中学校校考二模）上午8点，某台风中心在A岛正南方向处由南向北匀速移动，同时在A岛正西方向处有一艘补给船向A岛匀速驶来，补给完后改变速度立即向A岛正北方向的C港匀速驶去，如图所示是台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象．已知台风影响的半径是（包含边界），请结合图象解答下列问题：（1）台风的速度是_________，补给船在到达A岛前的速度是_________，图中点P的实际意义是_______________；（2）从几点开始，补给船将受到台风的影响？（3）设补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，出于安全考虑，补给船速度不超过、．求出图中补给船航行时间m的正整数值及此时补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间．【答案】（1）20，60，补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等；（2）8点12分；（3）补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间为小时．【分析】（1）首先根据图像为台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象，台风在上午8点距离A岛100km，即可得出线段DE为台风中心距离A岛的距离S和时间t的图象；补给船上午8点距离A岛40km，即可得出线段FG为补给船与A岛的距离S和时间t的图象，从图像获取信息即可求得各自的速度；由题目可知，补给船到达A岛后，还要去C港，此时与台风的图像相交，结合各自的速度，即可得出点P的实际意义；（2）由台风影响的半径是（包含边界），即可画出此情况下的图形，利用勾股定理列出方程，求解即可得出答案；（3）根据补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，即可列出方程，解出a，根据题目要求，补给船速度不超过且，列出不等式，再根据m为正整数，即可求出m；补给船受台风影响总时间为驶向C港受影响的时间加上驶向A岛受影响的时间，即可求得答案．【详解】（1）由题分析得，线段DE为台风中心与A岛之间的距离S与时间t的图像，∴台风的速度,线段FG是补给船与A岛的距离S与时间t的图像，∴补给船的速度，∴点P表示：补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等；（2）如图所示开始受影响，即BH=100km，设t小时后补给船开始受台风影响，则在中，由勾股定理得，，解得，（不合题意，舍去），∴补给船出发（分钟），开始受台风影响，∴从8点12分开始补给船开始受台风影响；（3）由图可得，补给船离开A岛时，台风已经移动了1小时，台风中心距离A岛的距离为：，由图可知，补给船离开A岛驶向C港的路程为120km，时间为，故补给船离开A岛驶向C港的速度为：(km/h)，∵补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，∴解得，∵∴，由图可知，去分母得，解得：，又∵补给船速度不超过，∴由图可知，去分母得，解得：∴∵m为正整数，∴当即补给船驶出A岛到驶到C港之前受台风影响的时间为，在补给船出发驶向A岛的过程中，有没有受台风影响，∴补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间．【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，勾股定理，一元二次方程的应用，解不等式组，解题关键是正确理解题意，能从函数图像中获取需要信息进行求解．24．（四川达州·八年级校考阶段练习）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．【详解】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）甲方案所修的水渠较短；理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC，∴CH＝（m），∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），∴AC+BC＜CH+AH+BH，∴甲方案所修的水渠较短．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键．题型五：勾股定理与其他知识交汇25．（北京海淀·八年级校考期末）在中，，为内一点，连接，，延长到点，使得．(1)如图1，延长到点，使得，连接，．若，求证：；(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2．若，试探究，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)见详解(2)，证明过程见详解【分析】（1）证明由全等三角形的性质得出，证出，即可得出结论；（2）由题意画出图形，延长到，使，连接，，由（1）得，，由勾股定理的逆定理证出，得出，再由勾股定理得出结论．【详解】（1）在和中，，，，，．（2）由题意补全图形如下：延长到，使，连接，，，，，由（1）得，，，，，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，勾股定理和它的逆定理，证出是解本题的关键．26．（福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期末）如图1，长方形，，点是线段上一动点（不与，重合），点是线段延长线上一动点，连接，，，交于点．设，，已知与之间的函数解析式如图2所示．(1)与之间的函数关系式，边的长为；(2)小黄认为：“的度数不会随着点的运动而发生变化”．你同意小黄的观点吗？请说明理由．(3)是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)同意，理由见解析(3)存在，【分析】（1）设与的函数表达式为，根据图像经过，得到关于、二元一次方程组，求解即可，再求出当时的的值即可得出的长；（2）根据勾股定理定理表示出、、，再根据勾股定理的逆定理即可得出的度数；（3）设存在的值，使得，根据等边对等角及平行线的性质可得，证明，继而得到，在中利用勾股定理得到关于的方程，求解即可；【详解】（1）解：设与的函数表达式为，图像经过、，∴，解得：，∴与的函数表达式为，当时，得：，解得：，∵，，∴，∴与之间的函数关系式，边的长为，故答案为：；；（2）同意，理由如下：∵四边形是长方形，，∴，，，∵，，∴，，在中，，在中，，在中，，∴，∴，∴，∴的度数不会随着点的运动而发生变化，∴小黄的说法正确；（3）设存在的值，使得，∵，∴，∵，∴，∴，由（1）知：，在和中，，∴，∴，∵，，在中，，∴，解得：，∴存在，使得．【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质等知识，正确分析几何图形的特点、掌握勾股定理定理及勾股定理的逆定理是解题的关键．27．（四川成都·八年级统考期末）在四边形中，，．(1)如图1，若，，．①连接，试判断的形状，并说明理由；②连接，过作，交的延长线于点，求的面积；(2)如图2，若，，四边形的面积为，求的长．【答案】(1)①直角三角形，理由见解析②(2)【分析】（1）①利用勾股定理的逆定理即可判断的形状；②证明，利用全等三角形的性质可得，易得，即可获得答案；（2）过作交的延长线于点，连接，过作，交的延长线于点，首先证明是等腰直角三角形，可得；结合（1）中，可得，，再由，可解得，进而可求得，然后由即可获得答案．【详解】（1）解：①是直角三角形，理由如下：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴是直角三角形；②∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即；（2）过作交的延长线于点，连接，过作，交的延长线于点，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，同（1）②，可证，∴，，由（1）②，可知，即，∴，解得，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．28．（四川成都·八年级统考期末）平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，点在直线上，且点的横坐标为3，直线：经过点，两点，与轴交于点．(1)求直线的函数表达式；(2)如图，点在轴下方的直线上，连接，若的面积等于的面积，求点的坐标；(3)如图，点在直线上，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接，若，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】利用，两点坐标代入，解方程组即可解决问题．设，根据，解方程即可．过点作轴的平行线，分别过、作该平行线的垂线，垂足分别为、，证明≌，可得，，设，可得，求出，，由得，则，可得，，根据勾股定理的逆定理得，则，即可得．【详解】（1）解：直线：分别与轴，轴交于点，，，，点在直线上，且点的横坐标为．，直线：经过点，两点，则，解得，直线的解析式为．（2）∵直线的解析式为，，，，，设，，，解得，点的坐标为．（3）如图，过点作轴的平行线，分别过、作该平行线的垂线，垂足分别为、，，，，，，，≌，，，设，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．综合训练一、选择题1.如图,带阴影的长方形的面积是()A.9cm2 B.24cm2C.45cm2 D.51cm22.若a,b,c是直角三角形的三条边,下列说法正确的是()A.a2,b2,c2能组成三角形B.3a,3b,3c能组成直角三角形C.a+3,b+4,c+5能组成直角三角形D.3a,4b,5c能组成直角三角形3.如图,在长方形纸片ABCD中,点E是AD的中点,且AE=1,BE的垂直平分线MN恰好过点C,则长方形纸片的一边AB的长度为()A.1 B.2 C.3 D.24.如图,在Rt△ABC中,AC=8cm,BC=6cm,∠ACB=90°,分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为()A.14cm2 B.18cm2 C.24cm2 D.48cm25.如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C坐标为()A.(-1,0) B.(-2,0) C.(-5+4,0) D.(-1.5,0)6.下列命题的逆命题是真命题的是()A.若a=b,则|a|=|b| B.全等三角形的周长相等C.若a=0,则ab=0 D.有两边相等的三角形是等腰三角形7.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按如图②所示的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()图①图②A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和8.如图①,第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=30°,则点B到OC的距离为()图①图②A.55 B.255 C.1 二、填空题9.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.如果设AC=x,则可列方程为.

10.命题“在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是

,它是命题.

11.如图①,直角三角形的两个锐角分别是40°和50°,其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作:由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形,再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形,图③是重复上述步骤若干次后得到的图形,人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2,则10次操作后图形中所有正方形的面积和为.

12.如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要cm.

三、解答题13.若a,b,c为△ABC的三边长,且a,b,c满足等式(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0.(1)求出a,b,c的值;(2)△ABC是直角三角形吗?请说明理由.14.为了减少交通事故的发生,某条例规定:小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽车在一条由东向西的城市街道上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边车速监测仪的正前方30m处,过了2s后,测得小汽车与车速监测仪的距离为50m,问这辆小汽车超速了吗?15.如图,在正方形ABCD中,M为AB的中点,N为AD上的一点,且AN=14AD,试猜想△CMN是什么三角形,请证明你的结论16.[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.[定理表述]请你根据图①中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述).图①图②[尝试证明]以图①中的直角三角形为基础,可以构造出以a,b为底,以a+b为高的直角梯形(如图②),请你利用图②,验证勾股定理.[知识拓展]利用图②中的直角梯形,我们可以证明a+b因为BC=a+b,AD=,

又因为在直角梯形ABCD中有BCAD(填大小关系),即,

所以a+17.阅读:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a,b,c,称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》,其勾股数组公式为a=12(m2-n应用:当n=1时,求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.综合训练一、选择题1.C2.B