山西大学附属中学2025-2026学年高三1月月考数学（含答案）

2025~2026学年第一学期高三1月模块诊断(总第八次)考试时间：120分钟总分：150分一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩RB=()A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|I≤x<2}2.设α,β∈R,则“sinα=sinβ”是“α+β=π”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.有一组数据，从小到大的排序为：63,65,68,72,77,83,84,89,90,95.则这组A.68B.724.若点P在抛物线C:x²=8y上，点P的纵坐标为1,则点P到抛物线C的准线的距离为A.9B.56.在(1+x)”的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n=()A.16B.147.已知圆O为deABC的外接圆，D是边BC上一点，且AD平分∠BAC,若试卷第1页，共4页试卷第2页，共4页8.若方程eˣ=aln(x-2)+alna-2a在(2,+∞)上有解，则实数a的取值范围是()A.(3,+∞)B.(0,3)C.[e³,+]二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.已知数列{a,}满足aq₁=3,(,则()A.数列是等差数列C.数列的前n项和是递减数列10.已知双曲线C)的左、右焦点分别为F,F₂,若以F₁F₂为直径的圆与双曲线C及双曲线C的一条渐近线分别交于点P,M,则下列说法正确的是()B.当|MF₂I=3|MF₁|时，双曲线C的离心率为C.当|MF₂I²-|MF₁I²=2|OMP时，双曲线C的离心率为4D.当|PFI²-|PF₂I²=2|OP¹²时，双曲线C的离心率为√3+111.Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记S'(x)为Sigmoid函数的导函数，则()A.S'(x)=S(x)[1-S(x)]B.Sigmoid函数是单调减函数三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.13.已知三个圆M、圆N、圆P两两外切，半径分别为3,4,5,则△MNP的内切圆半径为14.按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为(A,A₂,A₃,…A,…);已知全集U={1,2,3,4}的子集A₁,A₂,A₃满足(A₁∩A₂)UA₃=U.若A₃恰有两个元素，则这样的集合四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.的中点.点(a₃an+1)在函数f(x)=x²+6x+6的图象上，其中n为正整数.(2)设b=(2n-1)lg(aₙ+3),求数列{b,}的前n项和Sₙ.17.同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束);比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近123456甲乙(2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；试卷第3页，共4页试卷第4页，共4页(3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小(2)若椭圆E过点(1,e),且焦距为2,其中e为椭圆E的离心率，求椭圆E的标准方程；(3)在(2)条件下，设O为坐标原点，直线1与E交于A,C两点，以OA,OC为邻边四边形OABC,且点B恰好在E上，试问：平行四边形OABC的面积是否为定值?若是定值，求出此定值；若不是，说明理由.19.函数f(x)=sinx-22sinxcosx(λ∈R).(3)证明：,n∈N.2025~2026学年第一学期高三1月模块诊断(总第八次)考试时间：120分钟总分：150分一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩O₈B=()【详解】由题设【详解】由题设B={x|x<1},则AnB={x|0<x<1}.故选：B2.设α,β∈R,则“sina=sinβ”是“α+β=π”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【详解】由α,β∈R,sina=sinβ,可得α=β+2kπ,k∈Z或α+β=π+2kπ,k∈Z.则可知“sina=sinβ”是“a+β=π”的必要不充分条件.故选：B.3.有一组数据，从小到大的排序为：63,65,68,72,77,83,84,89,90,95.则这组A.68B.72【详解】因为10×75%=7.5,所以这组数据的第75百分位数是89.故选：D4.若点P在抛物线C:x²=8y上，点P的纵坐标为1,则点P到抛物线C的准线的距离为【详解】由抛物线方程x²=8y可得其焦点在V轴正半轴上，且2p=8,解得p=4,故其准线方程为又点P的纵坐标为1,则点P到准线的距离为1-(-2)=3.故选：D试卷第1页，共13页6.在(1+x)”的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n=()【详解】根据题意可得【详解】根据题意可得,所以n=2+12=14.故选：B的外接圆，D是边BC上一点，且AD平分∠BAC,若)因为AD因为AD是∠BAC的平分线，所以AB:AC=BD:CD=SABD:SACD=3:2,设AB=3t,AC=2t,A.(3,+∞)B.(0,3)即ex-1na+x-Ina=In(x-2)+x-2=e(×-2)+In(x-4.设f(t)=e+t,则f(x-Ina)=f(In(x-2)),因为f'(t)=e²+1>1,所以f(t)在R上单调递增，所以x-lna=ln(x-2),即Ina=x-In(x-2),试卷第2页，共13页试卷第3页，共13页二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.A.数列是等差数列B.C.数列的前n项和D.数列是递减数列【详解】对于A,由a₁=3,可得所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确；对于B,由A知,所以,故B错误；对于D,由A知，,所以数列是递增数列，故D错误.故选：AC.的圆与双曲线C及双曲线C的一条渐近线分别交于点P,M,则下列说法正确的是()C.当|MF₂I²-|MF₁I²=2|OM²时，双曲线C的离心率为4【详解】双曲线C:的焦点F₁(-c,0),F₂(c,0),渐近线方程为以F₁F₂为直径的圆与曲线C及曲线C的一条渐近线分别交于点P,M,得∠F₁PF₂=∠F₁MF₂=90°,试卷第4页，共13页由勾股定理得(4a)²+(2a)²=(2c)²,即c=√5a,曲线C的离心率为对于B,|MF₂I=3|MF₁|,不妨令M(-a,b),则(c+a)²+b²=9[(c-a)²+b²],即(c+a)²=9(c-a)²+8(c²-a²),整理得曲线C的离心率为对于C,|MF₂P-|MF₁P²=2|OM²,则(c+a)²+b²-[(c-a)²+b²]=2c²,解得c=2a,曲线C的离心率为e=2,C错误；e=√3+1,D正确.常被用作神经网络的激活函数.记S'(x)为Sigmoid函数的导函数，则()A.S'(x)=S(x)[1-S(x)]B.Sigmoid函数是单调减函数对于B,Vx∈R,,则Sigmoid函数是增函数，故B错误；对于C,,当且仅当eˣ=e×,即x=0时取等号，故C正确；对于D,因为,D,D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.【详解】依题意，,所以所求虚部为13.已知三个圆M、圆N、圆P两两外切，半径分别为3,4,5,则△MNP的内切圆半径为.【详解】【详解】N7NM由题意，△MNP的三边长分别为7,8,9,设内切圆半径为r,则·r=12r.根据余弦定理，14.按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为(A₁,A₂,A₃,…A,…);已知全集U={1,2,3,4}的子集A₁,A₂,A₃满足(A₁∩A₂)UA₃=U.若A₃恰有两个元素，则这样的集合列列(A₁,A₂,A₃)有个；所有满足条件的集合列(A₁,A₂,A₃)有个.【详解】空①:A₃有2个元素，是从U={1,2,3,4}中任选2个数字，有C²种不同的可能；由于(A₁∩A₂)UA₃=U,所以A₁∩A₂中必须而且只需包含没有被A₃选中的2个元素；其余的2个元素都可以任意的在或不在A,A₂中，各有4种不同的处置方法，每种方法都确保了集合列(A₁,A)的不同，从而有4²=16种不同的处置方式，得到集合列(A₁,A₂)的16种不同的结果，所以集合列(A₁,A₂,A₃)有C²×16=96种不同的结果.空②:类似空①的过程，可知当card(A₃)=i(i=0,1,2,3,4)时，试卷第5页，共13页因为,所以所有满足条件的集合列有625种不同的结果.故答案为：96;625.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【详解】(1)连接AC交BD于N,连接MN,因为四边形ABCD是正方形，故N为AC中点，M是AE的中点，所以在△ACE中，有MN//EC,又EC4平面BDM,MNc平面BDM,所以EC//平面BDM;5分则B(4,4,0),C(0,4,0),F(4,4,a),A(4,0,0),E(0,0,a),又M是AE的中点，故,即设P(x,y,z),4,即试卷第6页，共13页试卷第7页，共13页又AF=(0,4,4),AE=(-4,0,4),设平面AEF的一个法向量为n=(x₁,y,z),设直线PM与平面AEF所成角为θ,11分13分13分点(a,an+1)在函数f(x)=x²+6x+6【详解】(1)∵点(a₃an+1)在函数f(x)=x²+6x+6的图象上，对a+1+3=(aₙ+3)²两边同时取对数得lg(aη++3)=2lg(a+3),数列{1g(aₙ+3)}是以1为首项、2为公比的等比数列；7分则Sₙ=1×2⁰+3×2¹+5×2²+……+(2n-1)·2”-1,2Sₙ=1×2¹+3×2²+……+(2n-3)·2”⁻¹两式相减可得-Sₙ=1+2(2+2²+……+2”-)-(2n-1)·2”=-3+(3-2n)·2”,17.同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束);比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近123456甲乙(2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；(3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小【详解】(1)由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,可得：所以X的分布列为X0123试卷第8页，共13页试卷第9页，共13页P设第i场甲、乙两队积分分别为X,Y,则X,=3-Y,i=1,2,因两队积分相等，所以X₁+X₂=Y₁+Y₂,即X₁+X₂=10分10分所以P(A)=P(X₁=0)P(X₂=3)+P(X₁=1)P(X₂=2)+P(X₁=2)P(X₂=1)+P(X所以P(A)=P(X₁=0)P(X₂=3)+P(X₁=1)P(X₂=2)+P(X₁=2)P(X₂=1)+P(X13分因为,所以两队积分相等的概率小于15分(2)若椭圆E过点(1,e),且焦距为2,其中e为椭圆E的离心率，求椭圆E的标准方程；(3)在(2)条件下，设O为坐标原点，直线l与E交于A,C两点，以OA,OC为邻边作平行四边形OABC,且点B恰好在E上，试问：平行四边形OABC的面积是否为定值?若是定值，求出此定值；若不是，说明理由.【详解】(1)∵【详解】(1)∵在椭圆，∴,有又∵,所以(2)设椭圆E的焦距为2c,则c=1,由题意可得解得故E的标准方程为8分(3)平行四边形OABC的面积为定值理